湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题

**基本信息** 立足高一数学核心内容，通过集合运算、立体几何证明、概率统计分析等试题，考查数学抽象、逻辑推理与数据观念，体现知识整合与能力梯度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、向量、不等式、立体几何、概率|多选题第10题结合独立事件考查推理能力| |填空题|3题15分|函数奇偶性、统计方差、平面向量|第13题分层抽样方差计算体现数据观念| |解答题|5题77分|立体几何、统计概率、解三角形、新定义函数|第16题频率分布直方图与概率结合，第18题四棱锥面面垂直证明考查空间观念，第19题新定义问题发展创新意识|

高一数学参考答案 一、二、选择题 题号 1 4 6 7 8 9 10 11 答案 AA D C B D ACD ABC ABD 1.C【解析】A={x|x2+x一6≤0》=(x|-3≤≤2}，故A∩B=(0,1,2). 2.A【解析】因为a⊥b,所以a·b=0,即2以一4=0，解得A=2. A【解折】雀公-1时+10，所以+年=十1+一122√2+1)·系-1=8， 4 当且仅当十1=，即=1时等号成立，放十有的最小位为3 4.D【解析】对于A,若1Lm,mLn,则n∥1、相交或异面，故A错误； 对于B,若a⊥B,Y⊥A,则Y∥a或相交；故B错误； 对于C,若m⊥a,a⊥B,则m∥B或mCB,故C错误； 中A 对于D,如图，因为m∥B,经过直线m和平面B内一点A可作平面y,设y∩B-a,则m∥a, 因为mLa,故a⊥a,又aCB,故a⊥B,故D正确. 5.C【解析】甲命中的概率为号，不命中的瓶率为1-号=子；乙命中的概率为号不命中的概率为1一是-号 设格好有-人命中的瓶率为卫，则P=号×号十号×号-品 6.C【解标]在△ABC中，由正胺定理得品厂击B一品即品An品解得6@sA=号， 4 3 2 而0KA<,故sinA=V1-cos万-5,6血B=s血2A=2 2sin Acos A=4 9 osB=6as2A=2csA-1=-青，所以血C-血AosB叶o血B-号x(-号)+号×45-25 27 则Ssae=号alsin C-l4g5 9 7.B【解析】原式=cos10°.in70.Bsim202os20-2cs10°sim（20°-302=二2cos10sm10=-1, c0s709 c0s20° sin20° sin 20 8.D【解析】连接DM交DA的延长线于点P,连接PE,交BC于，点F,交DC的延长线 D 于点Q,连接DQ,交CC于点N,连接ME,FN,DN,所以过点D,M,E的平面裁直 四棱柱ABCD-A,BCD1的截面为五边形D MEFN. 由平行线分线段比例可知：AP=AD=6,BF=合PA=3, 故点F为BC中点，kQ-B=2,-2瓷-号=8， 故CN=6,NC=2. 故DM=√AD2+AM证=√62+4=213， ME=√AM+AE=√+平=4√2， EF=√EB+BF=√2+3=√/13，FN=√FC+CNz=√32+2=√13， DN=√DC2+CN=√/62+6=6√2，所以五边形的周长为10W2+4√13. 9.ACD【解折】z==31-1=3)1-=二2，一=-1-2i 1+i(1+i)(1-i) 2 对于A,之的虚部为一2，正确； 对于B,|x=√（一1）干（-2)严=√5，蜡误， 对于C,z的共轭复数为一1十2i,正确； 对于D,2=(-1-2i)2=1-4+4i=-3十4i,正确. 高一数学参考答案(Q)一1 10,ABC【解折】振搭题毫得，PA)=号-合，P(B)-是-，P(C)=品=合PCD)=器-合 途项AP(AB)=品=克PCAP(B)=日×宁-是，PAB)=PAP(B,A正确； 选项BP(AC)=品，P(AP(C)=合×日-高，P(AC)=P(AP(C,B正确， 选项CP(AD)=品-立，PAP(D)=言X号-品P(AD)=PAP(D,C正确： 选项D,P(CD)=希=合，P(CP(D)=名×号=，P(CD)≠P(CP(D),D错误. 1.ABD【解标】时于A选项，通教f✉)=si血(2x十)，当x∈[0，晋]时，2z+晋∈[，受]特合题意，故A正确； 对于B选项，由于fx)=sin(ae+晋)，f(晋)=f(）,所以sim(+晋)=in(肾+）： 即肾+年=2x+弩+或x一管-吾+2x=弩+平（∈z,所以w=-12k或a=1+(∈刀， 又w>0,所以0的最小值为1，故B正确； 管+≥， 对于C选项，由已知得 整理得-是+2≤≤是+，∈2D, ar十吾≤+r, 当=0时，0<≤，当及=1时，号<w<子，故u的取值范周为(0，星]U[受，冬]，故C蜡误 对于D选项，由于f)=sin(ax十)在（受）内单调遂减，由于画数)=sinx在（受，）内单调递减，则满足 管+晋≥登+2m, 解得十4长≤号+2k,(∈2D,当k=0时，u∈[合，是]故D正确。 ar+<7+2ax, 三、填空题 12.一4【解析】由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)=0,又当x>0时，f(x)=2,则f(一2)=一f(2)=一22= 一4，所以f(0)+f(一2)=0-4=一4. 13.220【解析】根据题意，由于男女生人数之比为3：2，则样本中男女生人数之比为3：2， 其中，男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169， 则样本的平均数云=号×176+号×161=170， 样本的方差子=号×[164+(176-170]+号×[169+(161-170P门=20， 用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为220 14.12【解析】如图，设0A=a,O克=b,0C=c, 则BA=a-b,CA=a-c,由al=la-bl=2,la-cl=l, 得点B在以A为圆心，2为半径的圆上，点C在以A为圆心，1为半径的圆上， b·c=|O11OC|cos(O3,OC),由图可知，当A,B,C三点共线(B,C的位置分别如图中的B', C)时，|O|取最大值4，|OC|取最大值3， c0s(O殖，O心)取最大值1，所以b·c的最大值为12. 四、解答题 15.【解析】(1)连接BC交OE于D,因为E为劣弧CB的中，点， 故D是BC中点，又O是AB中点，所以OE∥AC,…(3分) OE吐平面PAC,ACC平面PAC,因此OE∥平面PAC.…(6分） 高一数学参考答案(Q)一2 (2)依题意，PO⊥平面ABC,故POLCO, 又C为半圆孤AB的中点，因此COLAB,AB∩PO=O, 因此COL平面PAB,故∠CPO是直线PC与平面PAB所成的角，…(9分) 因为AB=4,所以OC=2, 的 因为P0=3,所以an∠CP0=6=后=2g. ……（13分) 16.【解析】(1)由频率分布直方图可知(0.010十0.020十0.030十0.025十a)×10=1,解得a=0.015.…(3分) 因为前三组的频率之和为(0.010十0.020+0.030)×10=0.6， 前四组的频率之和为0.6十0.025×10=0.85，所以第75百分位数在[80,90)内. 设这次竞赛成绩的第75百分位数为x,则0.6十(x一80)×0.025=0.75，解得x=86.…(7分) (2)采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8.人， 0.25 竞赛成绩在[80,90)内的有8X0.25十0.15-5人，记为a,6,cde, 竞赛成绩在[90,100]内的有3人，记为F、G、H.…(9分) 所有选法有ab、acad、ae、aF、aG、aH、bc、bd、be、bF、bG、bH、cd、ce、 cF、cG、cH、de、dF、dG、dH、eF、eG、eH、FG、FH、GH,共28，…(12分) 其中恰有1人的竞赛成绩在[90,100]内的选法有 aF、aG、aH、bF、bGbH、cF、cG、cH、dF、dG、dH、eF、eGeH, 共15升，故所家概率为员。 (15分) 17.【解析】(1)△ABC中，acos C+√3 asin C=b+c, 利用正弦定理：sin Acos C十√5 sin Asin C=sinB十sinC,… (2分) 整理得sin Acos C.+√3 sin Asin C-=sin(A十C)十sinC,… (4分) 故5s血A=c08A+1,整理得in(4-晋）=合，由于0<A<,所以A=晋… (6分) (2)因为△ABC的面报为35，则号6 csinA=33,… …(7分) =12,由正孩定理品A盈B益C一2级及血咖C-=是， 则bc=6E 剥级mnc12×兽-29→2R-1巨， bc 3 ……… (10分) 93 则a=2 Rsin A=16,5x×5= =8.… (12分) 3 2 由余弦定理，a2=+c2-2 bccos A-→64=+c2-12→+c2=76, 则十c2十2bc=(6十c)2=100→b十c=10,… (14分) 则△ABC的周长为a+b十c=8十10=18. (15分) 18.【解析】(1)证明：由条件得，DA=DC,BA=BC,则BD是线段AC的中垂线，所以BD LAC,…(2分) 又BD⊥PA,PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC, 所以BDL平面PAC,…(4分) 而BDC平面ABCD,故平面PACL平面ABCD;… (5分) (2)如图所示，记BD与AC交于H点，连接PH, B 高一数学参考答案(Q)一3 因为PA=PC,H为AC的中点，所以PH⊥AC, 由(1)知，平面PACL平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,PHC平面PAC,所以PH⊥平面ABCD, 取PB的中点M,因为PA=AB,故AMLPB,同理CM⊥PB,即∠AMC为二面角A-PB-C的平面角，…(7分) 由PA=23,AH=,得PH=3,因此PB=3E,因此PM=昌E, 周此AM=VaAB-B哑-受，因此CM=厘，… (10分) 又AC=2/3,在△AMC中，由余孩定理，cos∠AMC-=M+CM-AC 15+15-12 2 2 2AM·CM 15 故二面角A-PB-C的余孩位为片 (12分) (3)因为P,A,B,C,D五点同在球O上，且O在平面ABCD内，故O为四边形ABCD的外心，因此A、B、C、D四点 共圆， 由对称性可知，O为BD的中点， …（14分) 设球的半径为R, 则BD=2R,0H=号，AH=R,又P0-R,放PH- 2R, …(15分) 周比=}PH·Sm-子，停R:5R·2R=号， …(16分) -,周长- …(17分) 19【獬折]1(1)旅题意，)=3停s血x号os)十（停cos叶号sn=2区s血g一厄cas工，…(2分） 所以f(x)的相伴向量01=(22，一2)，1可A=√22)2+(-2)=√10.… …(4分) (1)设0成=（中，g),则g(x)=sinx十gcos,OALOB-→OA.Oi=0, 由0i0i=(22,-2)·(p,g)=2W2·力-2·g=0→q=2p.…(5分） 于是g(z)=psin x十2 pcos z-=p(sinx+2cosx)=√5psin(x十p),其中tanp=2, 依题意，2十≠0，即5≠0，p≠0，由|g(x)1在x处取到最大值， 故十p-受十x(∈2ZD,即x=受一叶km(负∈2D,… …(7分) 国此m(2x+=a(。一2g叶晋）-年儡器 …(8分） -盏 …(10分） 3 (2)设OA=(a,b),可i=(p,g),则f(x)=asin x十bcos x,g(x)=sinx+gcos, f(x)g(x)=(asin x+bcos x)(psin x+gcos z)=apsin'x+agsin xcos x+bpsin xcos x+bgcos'x -21-s22+1+gs22+a士b22血2g-2生9+222os2x+22sn2 2 2 2 =(ab+bg)+是/og-ap)+(ag+bp产sim(2x+pl, 因此fx)g(x)的最大值为号(ap叶bg+2g-ap+(ag+p=2026.…(13分） 注意到(-ap十bg)2+(ag十bp)2=dp+t+a2g+8=(a2+8)(p+g)=|0A|2.|0B|, 因此OA.O克+|OA·|OB1=4052, …(15分） 注意到1Oi.1O≥01.可i,因此2可.0≤4052，即0.Oj≤2026，… (16分) 当OA=(2026,0),可i=(1,0)时，aA.O克=2026，且f(x)g(x)=2026sim2x的最大值为2026，特合题意.…(17分) 高一数学参考答案(Q)一4 高一数学 时量：120分钟 满分:150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|x²+x-6≤0},B={0,1,2,3},则A∩B= A.{0,1} B.{1,2} C.{0,1,2} D.{0,1,2,3} 2.已知向量=(-2,1), =(λ,4),若⊥,则λ= A.2 B.8 C.-2 D.-8 3.已知x>-1,则 的最小值为 A.3 B.4 C.5 D.6 4.已知l、m、n为三条不同直线，α、β、γ为三个不同平面，则下列判断正确的是 A.若l⊥m,m⊥n,则l∥n B.若α⊥β,γ⊥β,则γ∥α C.若m⊥α,α⊥β,则m∥β D.若m⊥α,m∥β,则α⊥β 5.甲乙两人投球命中率分别为 , ，且甲乙互不影响，两人各投球一次，恰好有一人命中的概率为 A. B. C. D. 6.记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=3,b=4,B=2A,则 A.1 B.-1 C. 8.已知直四棱柱 的底面是边长为6的正方形， 8,点M是棱AA₁的中点,E是棱AB上的一点,且AE=2EB,则过点D₁，M，E的平面截直四棱柱 所得截面的周长为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数 则 A. z的虚部为-2 B.|z|=5 C. z的共轭复数为-1+2i 10.连续抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有1，2，3，4，5，6的骰子两次，分别记录两次骰子正面朝上的点数，A表示事件“第一次正面朝上的点数为3”，B表示事件“第二次正面朝上的点数为奇数”，C表示事件“两次正面朝上的点数之和为7”，D表示事件“恰有一次正面朝上的点数不大于3”，则 A. A 与B 相互独立 B. A与C 相互独立 C. A 与D 相互独立 D. C与D 相互独立 11.已知函数 则下列说法正确的是 A.若ω=2,则f(x)在 上单调递增 B.若 则ω的最小值为1 C.若f(x)在( 内无零点，则ω的取值范围为 D.若f(x)在( 内单调递减，则ω的取值范围为 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=2x,则 f(0)+f(-2)= . 13.学校为了解学生身高(单位：cm)情况，采用按比例分层随机抽样的方法从3000名学生中抽取了一个容量为100的样本，其中男女生人数之比为3：2，统计数据得到男生平均身高为176，方差为164，女生平均身高为161，方差为169，用样本估计总体，则该学校学生身高的方差为 14.已知平面向量, , 满足||=|- |=2,| - |=1,则·的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB 的中点，E为劣弧CB 的中点，且 (1)求证: (2)求直线 PC与平面 PAB 所成角的正切值. 16.(本小题满分15分) 某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛(满分100分)，共有100名教职工参加，其成绩均落在区间[50,100]内,将竞赛成绩数据分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值，并估计竞赛成绩的第75 百分位数； (2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在[80，90)，[90，100]内的两组教职工中抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在[90，100]内的概率. 17.(本小题满分15分) 在 中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 =b+c. (1)求A的值; (2)若 的面积为 求 的周长. 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中， 是正三角形，DA=DC,PA=PC,BD⊥PA. (1)求证:平面 PAC⊥平面ABCD; (2)设 求二面角A-PB-C的余弦值. (3)若P，A，B，C，D五个点均在球O的球面上，且O在平面ABCD内，若四棱锥P-ABCD的体积与球O 的体积分别为 求 的值. 19.(本小题满分17分) 已知O为坐标原点，对于函数 称向量 为函数的相伴向量，同时称函数为向量 的相伴函数. 已知 分别为函数f(x)，g(x)的相伴向量， (1)若 (i)求 (ii)若 且|g(x)|在x₀处取到最大值,求的值. (2)若f(x)g(x)的最大值为2026,求 的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $