1.1.1空间向量及其线性运算（导学案） 数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量及其线性运算，涵盖空间向量概念、线性运算及共线共面向量定理。通过类比平面向量，以对比表格和探究问题为支架，引导学生自主迁移知识，构建空间向量与平面向量的联系脉络。 突出类比迁移思想与探究式学习，设置小组讨论证明定理、复杂几何体向量表示等活动，结合分层习题，培养学生抽象能力、推理能力和应用意识，助力学生系统掌握空间向量知识，提升数学思维与表达能力。

1.1.1空间向量及其线性运算 （导学案） 1. 类比平面向量建立空间向量完整概念，能区分向量与数量，规范书写各类空间向量。 1. 类比平面向量，掌握空间向量加减、数乘线性运算，熟记全部线性运算律。 1. 理解共线向量定理、直线方向向量；掌握共面向量定理与四点共面充要推论，会简单证明与参数求解。 1. 体会类比迁移数学思想，能借助长方体、平行六面体完成向量基底转化、化简计算。 重点： 1. 空间向量的基础概念、四类特殊向量辨析； 1. 空间向量线性运算（加减、数乘）与运算律； 1. 共线向量定理、共面向量定理及四点共面推论。 难点： 1. 类比平面向量自主推导空间向量相关结论； 1. 复杂几何体中用基底线性表示目标向量； 1. 四点共面充要条件的理解与应用。 阅读教材P3-P8，完成以下基础填空： 知识点一　向量与数量 (1)向量： 叫做向量． (2)数量： 称为数量． [注意]　数量可以比较大小，而向量无法比较大小． 知识点二　向量的表示 具有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素： 、 、 ，如图所示．以A为起点，B为终点的有向线段记作 ，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作 ． 表示法 几何表示：用 来表示向量， 表示向量的大小， 表示向量的方向 字母表示：向量也可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c， 书写用，，) 向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作 ． [注意]　向量有两要素，有向线段有三要素，因此这是两个不同的量．向量可以用有向线段表示，但这并不是说向量就是有向线段． 知识点三　向量的有关概念 向量名称 定义 零向量 叫做零向量，记作0 单位向量 ，叫做单位向量 平行向量(共线向量) 叫做平行向量；向量a与b平行，记作a∥b， 规定： 与任意向量平行 相等向量 叫做相等向量；向量a与b相等，记作a＝b [注意]　(1)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． (2)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量． (3)判断两个向量的关系：一要判断大小，二要判断方向，如遇上零向量，必须注意其方向的任意性． 探究1：（1）我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给出空间向量的概念？ 学生：回顾平面向量的概念，进行类比分析，得出对比表格 预设： 平面向量的概念 空间向量的概念 平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，记作或. 空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模，记作或. 探究1：（2）你能继续类比平面向量，得出空间向量如何表示 学生：回顾平面向量的表示方法，进行类比分析，得出对比表格 预设： 平面向量的表示法 空间向量的表示法 （1）有向线段： （2）字母表示： a，b，c，··· 印刷体：a 手写体： （3）坐标表示： （1）有向线段： （2）字母表示： a，b，c，··· 印刷体：a 手写体： （3）坐标表示： 探究1：（3）你能继续类比平面向量，得出空间向量的相关概念 学生：回顾平面向量的相关概念，进行类比分析，得出对比表格 预设： 平面向量的相关概念 空间向量的相关概念 零 向 量：模为 0 的向量，记作 ；零向量的方向任意； 单位向量：模为 1 的向量； 相等向量：模和方向都相同的两个向量，记作 ； 相反向量：模相同，方向相反的两个向量，记作 ； 探究1：（4）你能继续类比平面向量，得出空间向量的相关概念 学生：回顾平面向量共线的概念，进行类比分析，得出对比表格 预设： 平面向量的相关概念 空间向量的相关概念 共线向量：方向相同或相反的两个非零向量，叫做共线向量或平行向量，记作 a∥b； 规定，零向量和任意向量共线。 共线向量：若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 a∥b； 规定，零向量和任意向量共线。 探究2：在学习完平面向量的相关概念以后，我们研究了平面向量的线性运算，你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？ 学生：回顾平面向量的线性运算有加法、减法和数乘运算。根据平面向量知识先研究它们的定义及运算法则，再研究它们的运算律。 预设：如图,已知空间向量，以任意点为起点，作向量， 我们就可以把它们平移到同一个平面内。 空间向量的线性运算 平面向量的线性运算 要求：类比平面向量的线性运算，得出空间向量的线性运算 预设： 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 (1) 加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算。 法则：三角形和平行四边形法则 (2) 数乘运算：实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： ① ； ②当时，方向与相同且； 当时，方向与相反且； 当时，为零向量. (1) 加、减运算：求两个空间向量的和与差的运算。 法则：三角形和平行四边形法则 (2) 数乘运算：实数λ与空间向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： ①； ②当时，方向与相同且； 当时，方向与相反且； 当时，为零向量. 探究3：平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得出空间向量线性运算的运算律吗？ 学生：回顾平面向量的线性运算的运算律，进行类比分析，得出对比表格 预设： 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 (3)运算律： ①交换律： a + b＝b + a； ②结合律： a + (b + c) ＝(a + b) + c， λ(μa)＝(λμ)a； ③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa， λ(a+b)＝λa + λb. (3)运算律： ①交换律： a + b＝b + a； ②结合律： a + (b + c) ＝(a + b) + c， λ(μa)＝(λμ)a； ③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa， λ(a+b)＝λa + λb. 思考： 如何证明空间向量的加法结合律呢？ 学生：小组讨论，结合平面向量的知识，得出证明方法 预设： 在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，记 则 a + (b + c)＝ (a +b) + c＝ 所以a + (b + c)＝(a +b) + c 总结：证明空间向量的加法结合律： 一般地，对于三个不共面的向量 a，b，c，以任意点 O为起点， a，b，c为邻边作平行六面体，则 a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量。 探究4：平面向量的线性运算可以解决平面中的很多问题，空间向量的线性运算是否可以解决空间中的相关问题呢？ 学生：回顾平面向量共线的充要条件，得出空间向量共线的充要条件 预设： 平面向量共线的充要条件 空间向量共线的充要条件 对任意两个平面向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是： 存在实数λ，使a＝λb . 对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是： 存在实数λ，使a＝λb . 直线的方向向量定义： 直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量 ，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数, 使得 直线l可以由其上一点和它的方向向量确定。 共面向量的定义： 如图，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线．如果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面． 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors)． 思考：空间中的任意三个向量是否共面，什么条件下三个空间向量共面？ 学生：小组讨论得出结论 预设：如图： （1）若 p在α内，则有 p＝xa +yb； （2）若 p＝xa +yb，则 p在α内。 总结：三个不共线的空间向量共面的充要条件 如果两个向量，，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是： 存在唯一的有序实数对,使. 三个不共线的空间向量共面定理的推论： 若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O， 有，则：的充要条件为：P，A，B，C四点共面. 思考：如何证明三个不共线的空间向量共面定理的推论？ 学生：独立思考，尝试得出证明方法 预设： 充分性：因为，且； 所以 所以 即, 由共面定理可得，、四点共面； 必要性：因为、四点共面，所以由共面定理可得，存在唯一的有序实数对,使. 由向量的减法可得，，， 所以 所以 即，， 所以. 如图，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线．如果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面． 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors)． 思考：空间中的任意三个向量是否共面，什么条件下三个空间向量共面？ 学生：小组讨论得出结论 预设：如图： （1）若 p在α内，则有 p＝xa +yb； （2）若 p＝xa +yb，则 p在α内。 总结：三个不共线的空间向量共面的充要条件 如果两个向量，，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是： 存在唯一的有序实数对,使. 三个不共线的空间向量共面定理的推论： 若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O， 有，则：的充要条件为：P，A，B，C四点共面. 思考：如何证明三个不共线的空间向量共面定理的推论？ 学生：独立思考，尝试得出证明方法 预设： 充分性：因为，且； 所以 所以 即, 由共面定理可得，、四点共面； 必要性：因为、四点共面，所以由共面定理可得，存在唯一的有序实数对,使. 由向量的减法可得，，， 所以 所以 即，， 所以. 1.（25-26高二上·广东江门·阶段检测）空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 2.（25-26高二上·北京朝阳·期末）设，，，为空间向量且均为非零向量，已知，给出下列四个结论：①与共线；②与不共线；③，，共面；④，，不共面．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 3.（25-26高二上·北京朝阳·期末）设，，，为空间向量且均为非零向量，已知，给出下列四个结论：①与共线；②与不共线；③，，共面；④，，不共面．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 4.（24-25高二上·贵州黔东南·期中）在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 5.（24-25高二上·广西桂林·期末）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1空间向量及其线性运算 （导学案） 1. 类比平面向量建立空间向量完整概念，能区分向量与数量，规范书写各类空间向量。 1. 类比平面向量，掌握空间向量加减、数乘线性运算，熟记全部线性运算律。 1. 理解共线向量定理、直线方向向量；掌握共面向量定理与四点共面充要推论，会简单证明与参数求解。 1. 体会类比迁移数学思想，能借助长方体、平行六面体完成向量基底转化、化简计算。 重点： 1. 空间向量的基础概念、四类特殊向量辨析； 1. 空间向量线性运算（加减、数乘）与运算律； 1. 共线向量定理、共面向量定理及四点共面推论。 难点： 1. 类比平面向量自主推导空间向量相关结论； 1. 复杂几何体中用基底线性表示目标向量； 1. 四点共面充要条件的理解与应用。 阅读教材P3-P8，完成以下基础填空： 知识点一　向量与数量 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量． [注意]　数量可以比较大小，而向量无法比较大小． 知识点二　向量的表示 具有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．以A为起点，B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||． 表示法 几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向 字母表示：向量也可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写用，，) 向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||． [注意]　向量有两要素，有向线段有三要素，因此这是两个不同的量．向量可以用有向线段表示，但这并不是说向量就是有向线段． 知识点三　向量的有关概念 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量 平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量；向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；向量a与b相等，记作a＝b [注意]　(1)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． (2)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量． (3)判断两个向量的关系：一要判断大小，二要判断方向，如遇上零向量，必须注意其方向的任意性． 探究1：（1）我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给出空间向量的概念？ 学生：回顾平面向量的概念，进行类比分析，得出对比表格 预设： 平面向量的概念 空间向量的概念 平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，记作或. 空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模，记作或. 探究1：（2）你能继续类比平面向量，得出空间向量如何表示 学生：回顾平面向量的表示方法，进行类比分析，得出对比表格 预设： 平面向量的表示法 空间向量的表示法 （1）有向线段： （2）字母表示： a，b，c，··· 印刷体：a 手写体： （3）坐标表示： （1）有向线段： （2）字母表示： a，b，c，··· 印刷体：a 手写体： （3）坐标表示： 探究1：（3）你能继续类比平面向量，得出空间向量的相关概念 学生：回顾平面向量的相关概念，进行类比分析，得出对比表格 预设： 平面向量的相关概念 空间向量的相关概念 零 向 量：模为 0 的向量，记作 ；零向量的方向任意； 单位向量：模为 1 的向量； 相等向量：模和方向都相同的两个向量，记作 ； 相反向量：模相同，方向相反的两个向量，记作 ； 探究1：（4）你能继续类比平面向量，得出空间向量的相关概念 学生：回顾平面向量共线的概念，进行类比分析，得出对比表格 预设： 平面向量的相关概念 空间向量的相关概念 共线向量：方向相同或相反的两个非零向量，叫做共线向量或平行向量，记作 a∥b； 规定，零向量和任意向量共线。 共线向量：若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 a∥b； 规定，零向量和任意向量共线。 探究2：在学习完平面向量的相关概念以后，我们研究了平面向量的线性运算，你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？ 学生：回顾平面向量的线性运算有加法、减法和数乘运算。根据平面向量知识先研究它们的定义及运算法则，再研究它们的运算律。 预设：如图,已知空间向量，以任意点为起点，作向量， 我们就可以把它们平移到同一个平面内。 空间向量的线性运算 平面向量的线性运算 要求：类比平面向量的线性运算，得出空间向量的线性运算 预设： 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 (1) 加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算。 法则：三角形和平行四边形法则 (2) 数乘运算：实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： ① ； ②当时，方向与相同且； 当时，方向与相反且； 当时，为零向量. (1) 加、减运算：求两个空间向量的和与差的运算。 法则：三角形和平行四边形法则 (2) 数乘运算：实数λ与空间向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： ①； ②当时，方向与相同且； 当时，方向与相反且； 当时，为零向量. 探究3：平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得出空间向量线性运算的运算律吗？ 学生：回顾平面向量的线性运算的运算律，进行类比分析，得出对比表格 预设： 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 (3)运算律： ①交换律： a + b＝b + a； ②结合律： a + (b + c) ＝(a + b) + c， λ(μa)＝(λμ)a； ③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa， λ(a+b)＝λa + λb. (3)运算律： ①交换律： a + b＝b + a； ②结合律： a + (b + c) ＝(a + b) + c， λ(μa)＝(λμ)a； ③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa， λ(a+b)＝λa + λb. 思考： 如何证明空间向量的加法结合律呢？ 学生：小组讨论，结合平面向量的知识，得出证明方法 预设： 在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，记 则 a + (b + c)＝ (a +b) + c＝ 所以a + (b + c)＝(a +b) + c 总结：证明空间向量的加法结合律： 一般地，对于三个不共面的向量 a，b，c，以任意点 O为起点， a，b，c为邻边作平行六面体，则 a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量。 探究4：平面向量的线性运算可以解决平面中的很多问题，空间向量的线性运算是否可以解决空间中的相关问题呢？ 学生：回顾平面向量共线的充要条件，得出空间向量共线的充要条件 预设： 平面向量共线的充要条件 空间向量共线的充要条件 对任意两个平面向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是： 存在实数λ，使a＝λb . 对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是： 存在实数λ，使a＝λb . 直线的方向向量定义： 直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量 ，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数, 使得 直线l可以由其上一点和它的方向向量确定。 共面向量的定义： 如图，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线．如果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面． 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors)． 思考：空间中的任意三个向量是否共面，什么条件下三个空间向量共面？ 学生：小组讨论得出结论 预设：如图： （1）若 p在α内，则有 p＝xa +yb； （2）若 p＝xa +yb，则 p在α内。 总结：三个不共线的空间向量共面的充要条件 如果两个向量，，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是： 存在唯一的有序实数对,使. 三个不共线的空间向量共面定理的推论： 若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O， 有，则：的充要条件为：P，A，B，C四点共面. 思考：如何证明三个不共线的空间向量共面定理的推论？ 学生：独立思考，尝试得出证明方法 预设： 充分性：因为，且； 所以 所以 即, 由共面定理可得，、四点共面； 必要性：因为、四点共面，所以由共面定理可得，存在唯一的有序实数对,使. 由向量的减法可得，，， 所以 所以 即，， 所以. 如图，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线．如果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面． 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors)． 思考：空间中的任意三个向量是否共面，什么条件下三个空间向量共面？ 学生：小组讨论得出结论 预设：如图： （1）若 p在α内，则有 p＝xa +yb； （2）若 p＝xa +yb，则 p在α内。 总结：三个不共线的空间向量共面的充要条件 如果两个向量，，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是： 存在唯一的有序实数对,使. 三个不共线的空间向量共面定理的推论： 若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O， 有，则：的充要条件为：P，A，B，C四点共面. 思考：如何证明三个不共线的空间向量共面定理的推论？ 学生：独立思考，尝试得出证明方法 预设： 充分性：因为，且； 所以 所以 即, 由共面定理可得，、四点共面； 必要性：因为、四点共面，所以由共面定理可得，存在唯一的有序实数对,使. 由向量的减法可得，，， 所以 所以 即，， 所以. 1.（25-26高二上·广东江门·阶段检测）空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 【答案】A 【详解】A选项，，向量和为零向量，A选项错误. B选项，，B选项正确. C选项，单位向量的长度为1，C选项正确. D选项，零向量的方向任意，D选项正确. 故选：A 2.（25-26高二上·北京朝阳·期末）设，，，为空间向量且均为非零向量，已知，给出下列四个结论：①与共线；②与不共线；③，，共面；④，，不共面．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【详解】①由，所以与共线，因此本序号结论正确； ②， 所以与共线，所以本序号结论不正确； ③由上可知：， 所以由， 所以，，共面，因此本序号说法正确； ④由上可知：因为任意两个空间向量总是共面的， 所以，是共面向量，又与共线，即， 所以向量可以平移到向量，所在的平面内， 所以，，是共面向量，因此本序号说法不正确； 故选：A 3.（25-26高二上·北京朝阳·期末）设，，，为空间向量且均为非零向量，已知，给出下列四个结论：①与共线；②与不共线；③，，共面；④，，不共面．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【详解】①由，所以与共线，因此本序号结论正确； ②， 所以与共线，所以本序号结论不正确； ③由上可知：， 所以由， 所以，，共面，因此本序号说法正确； ④由上可知：因为任意两个空间向量总是共面的， 所以，是共面向量，又与共线，即， 所以向量可以平移到向量，所在的平面内， 所以，，是共面向量，因此本序号说法不正确； 故选：A 4.（24-25高二上·贵州黔东南·期中）在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，在正方体中，. 故选：A. 5.（24-25高二上·广西桂林·期末）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【答案】BC 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $