1.1 课时2 空间向量的数量积运算导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1 课时2 空间向量的数量积运算 【学习目标】 1.掌握空间向量的数量积运算的定义与概念,理解投影向量的概念.(数学抽象) 2.理解空间向量的数量积的运算律:交换律和分配律,并能将其与数的乘法进行比较,分析它们的联系与区别.(数学运算) 3.可以结合实际,灵活运用相关知识解决问题.(逻辑推理、数学运算) 【自主预习】 1.类比平面向量的数量积,你能得出空间向量数量积的哪些相关知识? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两向量的数量积是实数. (　　) (2)对于非零向量a,b,<a,b>与<a,-b>相等. (　　) 2.向量a在b上的投影向量是什么? 3.类比平面向量向平面向量投影,你能画出空间向量a向直线l投影及向量a向平面β投影吗? 4.类比平面向量数量积的运算律,空间向量的数量积运算满足哪些运算律? 5.数量积运算能否判断两个非零向量的平行或者垂直关系?能否用来求角? (3)对于任意向量a,b,c,都有(a·b)·c=a·(b·c). (　　) (4)(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2. (　　) 2.已知两异面直线的方向向量分别为a,b,且|a|=|b|=1,a·b=-,则两直线的夹角为(　　). A.30° B.60° C.120° D.150° 3.(人教A版选择性必修第一册P9习题1.1T4改编)(多选题)已知正四面体OABC的棱长为1,如图所示.若E,F分别是OA,OC的中点,则下列结论正确的是(　　). A.·=- B.·= C.·=- D.·=- 4.已知|a|=4,空间向量e为单位向量,且<a,e>=,则空间向量a在向量e上的投影向量为　　　　.  【合作探究】 探究1　向量的夹角与数量积的概念 如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功W=F·s=|F||s|cos θ. 为了在数学中体现“功”这样一个标量,我们引进了“数量积”的概念. 问题1:θ是哪两个量的夹角? 问题2:任意两个向量的数量积是向量吗?两个向量的数量积一定是非负数吗? 问题3:如图所示,四面体ABCD的棱长均等于1,E是BC的中点,则下列结论正确的有哪些? (1)·<0;(2)·=·;(3)·=·. 1.定义:如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则叫作向量a,b的夹角,记作　　　　.  通常规定:0≤　　　　<a,b>　　　　≤π,且　　　　<a,b>　　　　=　　　　<b,a>　　　　. 2.空间向量的数量积 已知两个非零向量a和b,则|a||b|cos<a,b>叫作a,b 的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>.特别地,零向量与任意向量的数量积为0. 例1　已知四面体DABC的每条棱长都等于1,E,F分别是AB,AD的中点,则·=(　　). A. B.- C. D.- 【方法总结】求空间向量的数量积和求平面向量的数量积一样,在确定两个向量之间的夹角以及它们的模后,利用公式a·b=|a||b|cos <a,b>即可解决问题. 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则·=(　　). A.-2 B.2 C.-1 D.1 探究2　空间向量数量积的性质与运算律 问题1: “若a·b=a·c,则b=c”这种说法正确吗? 问题2:数量积的运算满足除法吗? 问题3:数量积的运算满足结合律吗? 1.空间向量数量积的运算律 (1)交换律:a·b=b·a; (2)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c; (3)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R). 2.空间向量数量积的有关结论 (1)a·a=|a||a|cos<a,a>=|a|2; (2)a⊥b ⇔a·b=0; (3)cos<a,b>=(a≠0,b≠0). 例2　如图,已知正四面体OABC的棱长为1,求: (1)(+)·(+); (2)|++|. 【方法总结】空间向量数量积的应用 (1)求夹角:先求向量a与b夹角的余弦值,需求出|a|,|b|和a·b的值,再利用求夹角余弦值的公式cos<a,b>=求解即可知夹角. (2)求线段的长度:向量的模就是表示向量的有向线段的长度,因此,线段的长度可用向量求解. (3)证明向量垂直:立体几何中判断有关线线垂直的问题,通常可以转化为证明向量的数量积为零. 如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,若以A为顶点的三条棱长均为2,AB,AD,AA'两两的夹角为60°,求AC与BD'所成角的余弦值. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,Q是棱BC上的动点,P是棱B1C1上的动点,AB=BC=2,AA1=1,求·的取值范围. 探究3　投影向量 我们在测量树的高度时,常利用阳光下的影子测量其高度,如图所示. 问题1:如何求在上的投影向量? 问题2:平面向量数量积的投影定义在空间中还成立吗? 1.如图1,在空间中,向量a向向量b投影,先将它们平移到同一个平面α内,利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=|a|·cos<a,b>·=·,|c|=|a|·|cos<a,b>|=,向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地,也可以将向量a向直线l投影,如图2. 2.如图3,向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量,向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时,向量,的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.  例3　如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AA1=3,AD=2,∠BAA1=∠DAA1=60°,E为棱C1D1的中点,则||=　　　,在上的投影向量是　　　　.  【方法总结】可用|a|cos<a,b>=求解空间中的距离问题. 在四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD为正方形,AB=AD=SA=1,且SA⊥底面ABCD,则向量在平面ABCD上的投影向量是　　　　,·=　　　　.  探究4　空间向量数量积的应用 例4　(2023年全国乙卷改编)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=2,PB=PC=,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,点F在AC上,BF⊥AO.求证:EF∥平面ADO. 【方法总结】利用向量法证明的核心是利用向量的数量积、数乘向量的运算以及向量垂直的条件等建立等量关系,但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理. 已知正方形ABCD的边长为2,△P'AB为等边三角形(如图1所示).沿着AB折起,点P'折起到点P的位置,使得侧面PAB⊥底面ABCD,M是棱AD的中点(如图2所示).求证:PC⊥BM. 【随堂检测】 1.已知向量a,b,c和实数λ,下列命题中,是真命题的为(　　). A.若a·b=0,则a=0或b=0 B.若λa=0,则λ=0或a=0 C.若a2=b2,则a=b或a=-b D.若a·b=a·c,则b=c 2.在空间四边形OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=,则cos<,>的值为(　　). A. B. C.- D.0 3.如图,A1B1,AB分别是圆台上、下底面的两条直径,且AB=2A1B1,AB∥A1B1,C1是弧A1B1上靠近点B1的三等分点,则在上的投影向量是(　　). A. B. C. D. 4.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=2,∠BAD=∠BAA1=120°,∠DAA1=60°,则线段AC1的长是　　　　.  参考答案 课时2　空间向量的数量积运算 自主预习·悟新知 预学忆思 1.数量积的定义,即a·b=|a||b|cos<a,b>,向量a与b的夹角以及向量垂直. 2.向量a在b上的投影向量为|a|cos<a,b>·. 3.图1、图2分别是空间向量a向直线l投影及向量a向平面β投影. 图1　　　　　　　　图2 4.空间向量数量积的运算满足交换律和分配律. 5.能判断平行关系,若cos<a,b>==±1,则向量a,b平行;能判断垂直关系,若a·b=0,则向量a,b垂直.能用来求角,cos<a,b>=. 自学检测 1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.B　【解析】设向量a,b的夹角为θ,则cos θ==-,所以θ=120°,则两个方向向量对应的直线的夹角为180°-120°=60°. 3.BD　【解析】在正四面体OABC中,||=||=||=||=||=||=1, 则·=||||cos∠AOB=1×1×cos 60°=,A错误; 因为E,F分别是OA,OC的中点, 所以·=·=||||·cos<,>=×1×1×cos 60°=,B正确; ·=·=||2=,C错误; ·=·=||||cos<,>=×1×1×cos 120°=-,D正确. 4.-2e　【解析】空间向量a在单位向量e上的投影向量为|a|cos<a,e>e=4cos ·e=-2e. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1:θ是力F与位移s的夹角. 问题2:不是向量.两个向量的数量积是实数,不一定是非负数. 问题3:∵E是BC的中点,AB=AC,∴⊥,即·=0,∴(1)错误; 由题意知与的夹角为120°,∴·=1×1×cos 120°=-, 由题意知与的夹角为60°,∴·=1×1×cos 60°=,∴(2)错误; ∵E是BC的中点,且△BCD是正三角形,∴BC⊥ED,∴·=0, ∴·=·,∴(3)正确. 综上,只有(3)正确. 新知生成 1.∠AOB　<a,b> 新知运用 例1　B　【解析】如图,∵E,F分别是AB,AD的中点,∴=. ∵四面体DABC的每条棱长都等于1,∴每个面都是等边三角形, ∴·=·=-·=-·||·||·cos =-×1×1×=-.故选B. 巩固训练　C　【解析】·=·=()2·cos<,>=2cos(180°-60°)=2cos 120°=2×-=-1.故选C. 探究2　情境设置 问题1:不正确,向量不能约分. 问题2:数量积的运算不满足除法,即对于向量a,b,若a·b=k,不能得到a=或b=.例如,当非零向量a,b垂直时,a·b=0,但a=显然是没有意义的. 问题3:向量的数量积运算不满足结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c). 新知运用 例2　【解析】(1)(+)·(+) =(+)·(-+-) =(+)·(+-2) =+·-2·+·+-2· =12+1×1×cos 60°-2×1×1×cos 60°+1×1×cos 60°+12-2×1×1×cos 60°=1. (2)|++|= = ==. 巩固训练1　【解析】∵=+,=-=+-, ∴·=(+)·(+-)=·-||2+·+||2=2×2×2×cos 60°=4. ∵||2=|+|2=||2+2·+||2=22+2×2×2×cos 60°+22=12,∴||=2. ∵||2=|+-|2=||2+||2+||2+2·-2·-2·=3×22-2×2×2×cos 60°=8,∴||=2. 设AC与BD'所成的角为θ,则cos θ=|cos<,>|===. 巩固训练2　【解析】·=(++)·(+) =·+·+·+·+·+·, 因为AA1⊥AB,C1P⊥AB,AA1⊥BQ,AB⊥BQ, 所以·=0,·=0,·=0,·=0, 因此·=·+·=||2-||·||. 设||=x,||=y,0≤x≤2,0≤y≤2,则·=4-xy, 因为0≤xy≤4,所以0≤4-xy≤4, 故·的取值范围为[0,4]. 探究3　情境设置 问题1:根据平面向量数量积的几何意义,在上的投影向量为||cos(π-∠OAB)·=-. 问题2:根据空间向量数量积公式可知,依然成立. 新知生成 2.　　a　 新知运用 例3　　　【解析】由题图可知=++, 所以||= = =, ·=·+·+=4×3×cos 60°+0+×42=14, 故在上的投影向量是·=. 巩固训练　　-1　【解析】如图,∵SA⊥底面ABCD, ∴向量在平面ABCD上的投影向量是. ∵SA⊥底面ABCD,∴·=0. ∵四边形ABCD为正方形,AB=AD=SA=1, ∴·=(-)·=-·=-(+)·=-=-1. 探究4 例4　【解析】设=t,因为AB⊥BC,所以·=0. 因为BF⊥AO,所以·=0, 而=+=+t=+t=(1-t)+t, O为BC的中点,所以=+=-+, 所以·=(t-1)+t=4(t-1)+4t=0,解得t=,即F为AC的中点. 因为E为AP的中点,所以EF∥PC,同理OD∥PC,则OD∥EF, 因为EF⊄平面ADO,OD⊂平面ADO,所以EF∥平面ADO. 巩固训练　【解析】如图,取AB的中点O,连接OC交BM于点E,连接OP. ∵△PAB为等边三角形,∴PO⊥AB, 又∵平面PAB⊥平面ABCD,PO⊂平面PAB,平面PAB∩平面ABCD=AB, ∴PO⊥平面ABCD,而BM⊂平面ABCD, ∴PO⊥BM. 又∵=+=+,=+=-+, ∴·=·=-=0,即⊥,∴BM⊥OC. 又∵PO⊂平面POC,OC⊂平面POC,PO∩OC=O, ∴BM⊥平面POC,∵PC⊂平面POC,∴PC⊥BM. 随堂检测·精评价 1.B　【解析】对于A,可举反例,当a⊥b时,a·b=0; 对于C,a2=b2,只能推出|a|=|b|,而不能推出a=±b; 对于D,由a·b=a·c可以通过移项推出a·(b-c)=0,但无法判断b与c的关系. 2.D　【解析】∵·=·(-)=·-·=||||cos∠AOC-||||cos∠AOB=||||-||||=0, ∴⊥,∴cos<,>=0. 3.C　【解析】如图,取C1在下底面的投影C,作CD⊥AB,垂足为D.连接CA,CO,CC1,则∠COD=,在上的投影向量是.设上底面的半径为r,则OD=r,AD=r=AB.故在上的投影向量是. 4.2　【解析】根据平行四边形法则可得=++, 所以||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=4+4+4+2×2×2×2×cos 120°+2×2×2×cos 60°=8,所以AC1=2. 学科网（北京）股份有限公司 $