1.1.2 空间向量的数量积运算 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量的数量积运算，涵盖定义、性质、运算律、投影向量及应用。课堂导入通过回忆平面向量夹角定义迁移至空间向量，类比向量投影定义平面投影，搭建从平面到空间的学习支架，衔接前后知识。 导学案以探究问题引导学生用数学眼光抽象空间向量关系，结合几何体典例培养数学思维，训练运算与推理能力，结构化梳理知识并设计分层习题，帮助学生用数学语言表达几何问题，提升解决立体几何问题的能力。

1.1.2 空间向量的数量积运算 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ⚪学习目标　1.掌握空间向量的夹角与长度的概念. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.能用向量的数量积解决立体几何问题. 一、空间向量数量积的运算 探究1　回忆平面向量夹角的定义，对于空间向量a，b，这两向量的夹角又该如何定义？ 探究2　类似于向量向向量投影，请尝试定义并画出向量向平面的投影. ⚪梳理教材 1.空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则｜a｜｜b｜cos＜a，b＞叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝ ； 零向量与任意向量的数量积为0 性质 ①a⊥b⇔ ； ②a·a＝｜a｜｜a｜cos＜a，a＞＝｜a｜2 运算律 ①（λa）·b＝λ（a·b），λ∈R； ②a·b＝b·a（交换律）； ③（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律） 2.投影向量 （1）向量a在向量b上的投影向量 先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图1，向量c称为向量a在向量b上的投影向量. 图1 （2）向量a在直线l上的投影向量 先将向量a与直线l平移到同一平面α内，如图2，向量c称为向量a在直线l上的投影向量. 图2 （3）向量a在平面β上的投影向量 如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，则向量（a'）称为向量a在平面β上的投影向量. 图3 3.直线与平面所成的角 如图3，向量a与向量a'的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）零向量与任意向量的数量积都为0.（　 　） （2）对于任意向量a，b，c，都有（a·b）·c＝a·（b·c）.（　 　） （3）若a·b＝0，则a＝0或b＝0.（　 　） （4）对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.（　 　） 【典例1】　在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则（a＋b）·（a＋b＋c）的值为（　 　） A.1 B.2 C.－1 D.－2 ⚪解题感悟 在几何体中求空间向量的数量积的步骤 （1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积. （3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. （4）代入公式a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞求解. 【练习1】　（1）如图，三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于（　 　） A.－2 B.2 C.－2 D.2 (2)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： ①·； ②·； ③·； ④·. 二、利用数量积证明垂直问题 【典例2】　如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB. ⚪解题感悟 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路 　　（1）要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可. （2）用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可. 【练习2】　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 三、用数量积求解夹角和模 【典例3】　（1）如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝2且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则AC1＝（　 　） A.2 B. C.2 D. （2）已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，四边形ABB1A1和四边形BB1C1C都是正方形，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角. ⚪解题感悟 求向量夹角与模的方法 　　（1）求两个向量的夹角：利用公式cos＜a，b＞＝，求cos＜a，b＞，进而确定＜a，b＞. （2）求线段长度（距离）：①取此线段对应的向量；②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用｜a｜＝，计算出｜a｜，即得所求长度（距离）. 【练习3】　 (1)如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长为____ ____． （2）已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求向量与夹角的余弦值. ⚪课堂达标 1.（多选）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是（　 　） A.与 B.与 C.与 D.与 2. （多选）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积可能为0的是（　 　） A.　　　 B. C.　　　 D. 3.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE和四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是（　 　） A. B. C.1 D. 4.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD. 1.1.2　空间向量的数量积运算 ⚪学习目标　1.掌握空间向量的夹角与长度的概念. 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 3.能用向量的数量积解决立体几何问题. 一、空间向量数量积的运算 探究1　回忆平面向量夹角的定义，对于空间向量a，b，这两向量的夹角又该如何定义？ 提示：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作＜a，b＞. 探究2　类似于向量向向量投影，请尝试定义并画出向量向平面的投影. 提示：如图，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. ⚪梳理教材 1.空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则｜a｜｜b｜cos＜a，b＞叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝　｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　； 零向量与任意向量的数量积为0 性质 ①a⊥b⇔　a·b＝0　； ②a·a＝｜a｜｜a｜cos＜a，a＞＝｜a｜2 运算律 ①（λa）·b＝λ（a·b），λ∈R； ②a·b＝b·a（交换律）； ③（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律） 2.投影向量 （1）向量a在向量b上的投影向量 先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图1，向量c称为向量a在向量b上的投影向量. 图1 （2）向量a在直线l上的投影向量 先将向量a与直线l平移到同一平面α内，如图2，向量c称为向量a在直线l上的投影向量. 图2 （3）向量a在平面β上的投影向量 如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，则向量（a'）称为向量a在平面β上的投影向量. 图3 3.直线与平面所成的角 如图3，向量a与向量a'的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）零向量与任意向量的数量积都为0.（　√　） （2）对于任意向量a，b，c，都有（a·b）·c＝a·（b·c）.（　✕　） （3）若a·b＝0，则a＝0或b＝0.（　✕　） （4）对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.（　✕　） 【典例1】　在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，则（a＋b）·（a＋b＋c）的值为（　B　） A.1 B.2 C.－1 D.－2 解析：由题意得（a＋b）·（a＋b＋c）＝a2＋a·b＋a·c＋b·a＋b2＋b·c＝a2＋b2＝2. ⚪解题感悟 在几何体中求空间向量的数量积的步骤 （1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积. （3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. （4）代入公式a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞求解. 【练习1】　（1）如图，三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于（　A　） A.－2 B.2 C.－2 D.2 解析：∵＝－，∴＝·（－）＝－＝0－2×2×cos 60°＝－2.故选A. (2)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： ①·； ②·； ③·； ④·. 解：①·＝· ＝||·||·cos 〈，〉 ＝×1×1·cos 60°＝， 所以·＝. ②·＝· ＝||·||·cos 〈，〉 ＝×1×1·cos 0°＝， 所以·＝. ③·＝· ＝||·||·cos 〈，〉 ＝×1×1·cos 120°＝－， 所以·＝－. ④·＝(＋)·(＋)＝[·(－)＋·(－)＋·＋·]＝[－·－·＋(－)·＋·]＝×(－－＋－＋)＝－， 所以·＝－. 二、利用数量积证明垂直问题 【典例2】　如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB. 证明：设＝p，＝q，＝r， 则＝＝＝a，且p，q，r两两夹角均为60°，连接AN（图略）， ＝－＝－＝， ＝·p＝（q·p＋r·p－p2）＝＝0，则MN⊥AB. ⚪解题感悟 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路 　　（1）要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可. （2）用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可. 【练习2】　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD. 证明：设＝a，＝b，＝c， 则a·b＝b·c＝c·a＝0，｜a｜＝｜b｜＝｜c｜. ∵＝－＝b－a， ＝－ ＝（＋）－ ＝a＋b－c， ＝＋＝＋ ＝（＋）＋ ＝a＋b＋c， ∴＝（b－a）·（a＋b－c） ＝b2－a2＝0， ＝（a＋b－c）·（a＋b＋c）＝a2＋b2－c2＝0， ∴⊥，⊥，即BD⊥A1O，A1O⊥OG. 又∵BD∩OG＝O，BD，OG⊂平面GBD， ∴A1O⊥平面GBD. 三、用数量积求解夹角和模 【典例3】　（1）如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝2且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则AC1＝（　B　） A.2 B. C.2 D. 解析：因为底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝2且∠A1AD＝∠A1AB＝60°， 则＝1，＝1，＝4，＝0，＝｜｜·｜｜·cos∠A1AB＝1，＝｜｜·｜｜·cos∠A1AD＝1，则｜｜＝｜＋＋｜ ＝ ＝ ＝＝.故选B. （2）已知BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，四边形ABB1A1和四边形BB1C1C都是正方形，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角. [解]　如图所示.因为＝＋，＝＋， 所以＝（＋）·（＋）＝＋＋＋. 因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，AB＝a， 所以＝0，＝0，＝0且＝－a2. 所以＝－a2. 又＝｜｜·｜｜cos＜，＞， 所以cos＜，＞＝＝－. 又因为＜，＞∈[0，π]， 所以＜，＞＝120°， 又因为异面直线所成的角是锐角或直角，所以异面直线BA1与AC所成的角为60°. ⚪解题感悟 求向量夹角与模的方法 　　（1）求两个向量的夹角：利用公式cos＜a，b＞＝，求cos＜a，b＞，进而确定＜a，b＞. （2）求线段长度（距离）：①取此线段对应的向量；②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用｜a｜＝，计算出｜a｜，即得所求长度（距离）. 【练习3】　 (1)如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长为________． 解析：设＝a，＝b，＝c. 由题意，知|a|＝|b|＝|c|＝2， 且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°. 因为＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－a＋b＋c， 所以||2＝2＝a2＋b2＋c2＋ 2(－a·b＋b·c－a·c) ＝×22＋×22＋22＋2×(－)×2×2cos 60°＝1＋1＋4－1＝5， 所以||＝，即EF＝. （2）已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求向量与夹角的余弦值. 解：如图，设＝a，＝b，＝c，｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1， 易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，则a·b＝b·c＝c·a＝. 因为＝（＋）＝（a＋b），＝－＝－＝c－b，｜｜＝｜｜＝， 所以＝（a＋b）·（c－b）＝a·c＋b·c－a·b－b2＝－， 所以cos＜，＞＝＝－. 所以向量与夹角的余弦值是－. ⚪课堂达标 1.（多选）如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是（　AD　） A.与 B.与 C.与 D.与 2. （多选）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积可能为0的是（　ABC　） A.　　　 B. C.　　　 D. 解析：选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，所以AD1⊥B1C，此时有＝0； 选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，又AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，BD，BB1⊂平面BB1D1D，所以AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时＝0； 选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，所以AB⊥AD1，所以＝0. 选项D，由长方体的性质易知BD1与BC不可能垂直，所以≠0. 3.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE和四边形CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是（　D　） A. B. C.1 D. 解析：因为二面角A－EF－D的大小为45°，BF⊥EF，CF⊥EF，所以∠BFC＝45°，则＜，＞＝135°.因为＝＋＋，所以｜｜2＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2＋2＋2＝1＋1＋1－，所以｜｜＝.故选D. 4.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD. 证明：在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得，BD＝AD，所以AD2＋BD2＝AB2， 所以DA⊥BD，则＝0. 由PD⊥底面ABCD，知PD⊥BD， 则＝0. 又＝＋， 所以＝（＋）·＝＋＝0，故PA⊥BD. 页 学科网（北京）股份有限公司 $