暑期预习讲义（第11讲）分式的运算与化简求值（知识梳理+题型精析+同步自测）2026-2027学年人教版八年级数学上册

暑期预习讲义（第11讲）——分式的运算与化简求值（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 2 【知识点一】分式的定义 2 【知识点二】分式的意义（必考选择填空） 2 【知识点三】分式的基本性质 2 【知识点四】约分与最简分式 2 【知识点五】通分与最简公分母 2 【知识点六】分式四则运算法则（核心重点） 2 【知识点七】分式混合运算顺序 3 【知识点八】高频易错点清单 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】分式识别（基础） 3 【题型 2】分式取值范围（基础） 4 【题型 3】分式约分与化简 4 【题型 4】分式乘除运算 4 【题型 5】分式加减运算 5 【题型 6】分式混合运算（必考） 6 【题型 7】化简求值（期末核心题型） 6 三.经典题型精析（综合提升） 6 【题型 8】分式的混合运算（综合提升） 6 【题型 9】分式的化简求值（综合提升） 7 四.同步自测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 9 预习方法：读概念→掌握运算法则→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】分式的定义 一般地，如果A、B是整式，且B中含有字母，同时，那么式子 叫做分式。 核心区分：分母含字母是分式，分母不含字母是整式（分数是整式，不是分式）。 【知识点二】分式的意义（必考选择填空） 设分式 （1）分式有意义：分母 （2）分式无意义：分母 （3）分式的值为0：分子且分母（缺一不可） 【知识点三】分式的基本性质 （1） （2）应用：分式约分、通分、符号变形的依据 （3）分式符号法则： 【知识点四】约分与最简分式 （1）约分：把分子、分母的公因式约去； （2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式（运算结果必须化为最简）。 （3）约分步骤：先因式分解 → 再约去相同因式。 【知识点五】通分与最简公分母 （1）通分：把异分母分式化为同分母分式； （2）最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积。 【知识点六】分式四则运算法则（核心重点） （1）分式乘法： （分子乘分子，分母乘分母，先约分再计算） （2）分式除法：（除以一个分式=乘它的倒数） （3） 分式乘方： （4）分式加减：（1）同分母：；（2）异分母：（先通分，再加减） 【知识点七】分式混合运算顺序 先乘方 → 再乘除 → 后加减 → 有括号先算括号内 → 结果化为最简分式 【知识点八】高频易错点清单 1. 分式值为0，只看分子为0，必须检验分母不为0； 2. 加减运算不能直接分子分母分别加减，必须先通分； 3. 约分只能约整体公因式，不能约多项式中的单项； 4. 化简求值必须先化简、后代入，严禁直接代值硬算； 5. 代值时必须保证原式所有分式有意义。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】分式识别（基础） 【例题1】（25-26八年级下·河南周口·期末）下列代数式中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 选项B 中，分子5是整式，分母是含字母的整式，符合分式的定义． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）在式子，，，，，中，分式是_________，整式是__________． 【变式2】（25-26八年级下·四川巴中·期末）代数式，，，，中，属于分式的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】（25-26八年级上·云南昭通·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为，江水的流速为，它以最大航速沿江顺流航行，所用的时间可表示为______． 【题型 2】分式取值范围（基础） 【例题2】（25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）对于分式． （1）当取什么值时，分式有意义？ （2）当取什么值时，分式的值为零？ 【变式1】（25-26八年级下·山西运城·期末）要使分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（海南儋州市2025-2026学年八年级下学期期中学业质量监测数学试题）当_________时，分式的值为0． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若分式有意义，则分母_______0，则a应满足_______； （2）若分式没有意义，则分母_______0，则x应满足_______． 【题型 3】分式约分与化简 【例题3】（25-26八年级上·全国·单元复习）判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． ①    ②     ③     ④ 【变式1】（山西省太原市2025-2026学年第二学期八年级期末数学试卷）将分式化成最简分式的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·河南·阶段检测）化简： =__________ 【变式3】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段检测）化简下列分式： （1）； （2）． 【题型 4】分式乘除运算 【例题4】（25-26九年级下·河北衡水·开学考试）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 （1）请指出在第几步开始出现错误，并写出正确的解答过程； （2）若x是8的立方根，求这道试题的计算结果． 【变式1】（24-25八年级上·山东菏泽·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段检测）的结果是__________． 【变式3】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． 【题型 5】分式加减运算 【例题5】（24-25八年级下·山东济南·阶段检测）化简分式： （1）； （2）． 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖北恩施·二模）计算：________． 【变式3】（24-25八年级下·江苏徐州·阶段检测）计算： （1） （2） （3） （4）； （5）先化简，再求值：，其中． 【题型 6】分式混合运算（必考） 【例题6】（25-26八年级上·天津·阶段检测）分式计算 （1） （2） 【变式1】（2025·河北邯郸·三模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·周测）已知，计算：______． 【变式3】（25-26八年级下·贵州·期末）下面是小红进行分式混合运算的过程，请认真阅读并完成相应任务， ·····················第一步 ·································第二步 ·········································第三步 ·····························································第四步 （1）任务一：小红的解答从第______步开始出现错误，这一步的错误原因是______； （2）任务二：请写出正确的解答过程． 【题型 7】化简求值（期末核心题型） 【例题7】（25-26八年级下·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（2026·北京石景山·二模）如果，那么代数式的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2026·四川成都·一模）已知，则代数式的值为_____． 【变式3】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）先化简，再在，0，1，2中选取一个适当的数代入求值． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 8】分式的混合运算（综合提升） 【例题8】（25-26八年级上·山东烟台·期中）下面的分式化简题呈现了小明的正确解答过程，但部分算式被遮挡． （1）请求出被遮挡部分的代数式（化为最简）； （2）小颖认为“原算式的值不可能为7”，请你回答下面的两个问题并说明理由： ①你知道小颖为什么这样判断吗？ ②小颖的说法全面吗？ 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·黑龙江绥化·模拟预测）化简：____________． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： （1）． （2）． 【题型 9】分式的化简求值（综合提升） 【例题9】（25-26八年级下·重庆南岸·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（2026·江苏镇江·一模）若，，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）若，则的值等于 _______ ． 【变式3】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）先化简，再求值，其中x满足． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·河南周口·期末）下列代数式中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山西长治·期末）要使分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·福建泉州·期末）下列各式从左到右变形中，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）若把分式 中的x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（     ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定 5．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数化为整数，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·山西晋中·期末）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西咸阳·三模）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·广西桂林·期末）若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 10．（24-25八年级下·全国·阶段检测）照相机成像时，照相机镜头的焦距f，物体到镜头的距离u，胶片（像）到镜头的距离v，满足（）（）．已知f，u，则（   ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·贵州·三模）当______时，分式无意义． 12．（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）已知，均为非0常数，要使等式成立，则括号内应填入_____． 13．（24-25七年级下·浙江宁波·阶段检测）不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 14．（25-26八年级下·山西晋中·期末）要将化成最简分式，应将分子、分母同时约去它们的公因式，这个公因式为_______． 15．（2026·河南平顶山·三模）化简：__________． 16．（25-26八年级下·四川遂宁·期末）计算：_________． 17．（2026·湖北十堰·模拟预测）计算的结果是________． 18．（2026·广东深圳·二模）已知实数，满足，则的值为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·河北邯郸·三模）下面的分式化简题呈现了小李的正确解答过程，但都分算式被遮挡． （1）求被遮挡部分的代数式（化为最简）； （2）小王认为“该分式的值不可能为6”，请你回答下面的两个问题并说明理由； ①你知道小王为什么这样判断吗？ ②小王的说法全面吗？ 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）计算： （1） （2） 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河南周口·期末）化简： （1） （2） 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·云南楚雄·期末）已知：． （1）求的值； （2）求证：； （3）若，以下结论：，，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）阅读理解 【提出问题】已知，求分式的值； 【分析问题】本题已知条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数，得出，，与的关系，然后再代入待求的分式化简即可； （1）【解决问题】设，则，，，将它们分别代入中并化简，可得分式的值为________； （2）【拓展应用】已知，求分式的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第11讲）——分式的运算与化简求值（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 2 【知识点一】分式的定义 2 【知识点二】分式的意义（必考选择填空） 2 【知识点三】分式的基本性质 2 【知识点四】约分与最简分式 2 【知识点五】通分与最简公分母 2 【知识点六】分式四则运算法则（核心重点） 2 【知识点七】分式混合运算顺序 3 【知识点八】高频易错点清单 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】分式识别（基础） 3 【题型 2】分式取值范围（基础） 5 【题型 3】分式约分与化简 7 【题型 4】分式乘除运算 8 【题型 5】分式加减运算 10 【题型 6】分式混合运算（必考） 13 【题型 7】化简求值（期末核心题型） 15 三.经典题型精析（综合提升） 17 【题型 8】分式的混合运算（综合提升） 17 【题型 9】分式的化简求值（综合提升） 20 四.同步自测 22 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 22 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 25 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 27 预习方法：读概念→掌握运算法则→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】分式的定义 一般地，如果A、B是整式，且B中含有字母，同时，那么式子 叫做分式。 核心区分：分母含字母是分式，分母不含字母是整式（分数是整式，不是分式）。 【知识点二】分式的意义（必考选择填空） 设分式 （1）分式有意义：分母 （2）分式无意义：分母 （3）分式的值为0：分子且分母（缺一不可） 【知识点三】分式的基本性质 （1） （2）应用：分式约分、通分、符号变形的依据 （3）分式符号法则： 【知识点四】约分与最简分式 （1）约分：把分子、分母的公因式约去； （2）最简分式：分子、分母没有公因式的分式（运算结果必须化为最简）。 （3）约分步骤：先因式分解 → 再约去相同因式。 【知识点五】通分与最简公分母 （1）通分：把异分母分式化为同分母分式； （2）最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积。 【知识点六】分式四则运算法则（核心重点） （1）分式乘法： （分子乘分子，分母乘分母，先约分再计算） （2）分式除法：（除以一个分式=乘它的倒数） （3） 分式乘方： （4）分式加减：（1）同分母：；（2）异分母：（先通分，再加减） 【知识点七】分式混合运算顺序 先乘方 → 再乘除 → 后加减 → 有括号先算括号内 → 结果化为最简分式 【知识点八】高频易错点清单 1. 分式值为0，只看分子为0，必须检验分母不为0； 2. 加减运算不能直接分子分母分别加减，必须先通分； 3. 约分只能约整体公因式，不能约多项式中的单项； 4. 化简求值必须先化简、后代入，严禁直接代值硬算； 5. 代值时必须保证原式所有分式有意义。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】分式识别（基础） 【例题1】（25-26八年级下·河南周口·期末）下列代数式中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据分式的定义进行判断即可，分式的定义为：若A，B是两个整式，B中含有字母且，则式子是分式． 解： 选项A 的分母是常数5，不含字母，属于整式，不是分式； 选项C 是单项式，属于整式，不是分式； 选项D 是二次根式，不是分式； 选项B 中，分子5是整式，分母是含字母的整式，符合分式的定义． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）在式子，，，，，中，分式是_________，整式是__________． 【答案】 ，， ，， 【分析】本题考查了分式与整式的定义，掌握分式是分母中含有字母的代数式，整式是分母中不含字母的代数式是解题的关键． 根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式，否则是整式，逐个判断即可． 解：分式是指分母中含有字母的代数式，整式是分母中不含有字母的代数式． 对于，分母是字母，是分式； 对于，分母是字母，是分式； 对于，分母是数字，没有字母，是整式； 对于，分母是数字，没有字母，是整式； 对于，分母是多项式，含有字母，是分式； 对于，分母是数字，没有字母，是整式． 故答案为： 、、； 、、 【变式2】（25-26八年级下·四川巴中·期末）代数式，，，，中，属于分式的有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】分式的定义为：是整式，且分母B中含有字母，则是分式，需要注意是常数，不是字母． 解：根据分式定义逐个判断：的分母是常数，中是常数，分母不含字母，二者都属于整式，不是分式； ，，的分母都含有字母，都符合分式的定义， ∴共有个分式． 【变式3】（25-26八年级上·云南昭通·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为，江水的流速为，它以最大航速沿江顺流航行，所用的时间可表示为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式，根据“时间路程速度”，列出分式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：最大航速沿江顺流航行，所用的时间可表示为， 故答案为：． 【题型 2】分式取值范围（基础） 【例题2】（25-26八年级上·甘肃定西·阶段检测）对于分式． （1）当取什么值时，分式有意义？ （2）当取什么值时，分式的值为零？ 【答案】（1）当时，分式有意义；（2）当时，分式的值为零 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式的值为零的条件，掌握知识点是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件，即分母不为0，列式求解即可； （2）根据分式的值为零的条件，即分子为0，且分母不为0，列式求解即可． 解：（1）解：∵分式有意义， ∴， 解得， 答：当时，分式有意义； （2）∵分式的值为零， ∴且， 即且， ∴， 答：当时，分式的值为零． 【变式1】（25-26八年级下·山西运城·期末）要使分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式有意义的要求是分母不为，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 解：∵ 分式有意义时，分母不能为， ∴ ， 解得 ． 【变式2】（海南儋州市2025-2026学年八年级下学期期中学业质量监测数学试题）当_________时，分式的值为0． 【答案】2 【分析】分式值为零需满足分子为零，且分母不为零，根据该条件求解即可． 解：∵分式的值为0， 依题意得 且. 解方程 ， 因式分解得， 解得或， 解不等式 ， 因式分解得， 解得且， 综上可得． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）若分式有意义，则分母_______0，则a应满足_______； （2）若分式没有意义，则分母_______0，则x应满足_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有无意义的条件， 对于（1），根据分式有意义可知，可得答案； 对于（2），根据分式没有意义可得，可得答案. 解：∵有意义， ∴， 解得； ∵没有意义， ∴， 解得. 故答案为：；；=，. 【题型 3】分式约分与化简 【例题3】（25-26八年级上·全国·单元复习）判断下列分式是否是最简分式，如果不是，请化为最简分式． ①    ②     ③     ④ 【答案】①是；②不是，；③不是，；④不是， 【分析】本题主要考查了最简分式，即一个分式的分子与分母没有公因式，解题的关键是熟练掌握最简分式的形式． 根据最简分式的形式进行判断，分子分母进行因式分解，再进行约分，化成最简分式． 解： ①是最简分式； ②，不是最简分式； ③，不是最简分式； ④，不是最简分式． 【变式1】（山西省太原市2025-2026学年第二学期八年级期末数学试卷）将分式化成最简分式的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：， ∴将分式化成最简分式的结果是． 【变式2】（25-26八年级下·河南·阶段检测）化简： =__________ 【答案】/ 解：． 【变式3】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段检测）化简下列分式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式约分，解题的关键是明确分式约分的方法． （1）根据分式的约分的方法可以化简本题； （2）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题． 解：（1）解：； （2）解：． 【题型 4】分式乘除运算 【例题4】（25-26九年级下·河北衡水·开学考试）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 （1）请指出在第几步开始出现错误，并写出正确的解答过程； （2）若x是8的立方根，求这道试题的计算结果． 【答案】（1）第三步开始出现错误，见分析；（2） 【分析】（1）根据分式乘除运算法则逐步判断即可； （2）先根据立方根的定义求出x的值，然后把x的值代入（1）中化简的结果计算即可． 解：（1）解：错误步骤：第三步开始出现错误． 错误原因：忽略了与互为相反数的关系． 正确解答： 原式 ； （2）解：∵x是8的立方根， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·山东菏泽·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对分式乘方进行展开，再将除式的分子分母分别因式分解，接着把除法转化为乘法并取除式的倒数，最后通过约去分子分母的公因式，得到最简分式． 解： ． 【变式2】（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段检测）的结果是__________． 【答案】 【分析】此题考查了分式的乘除混合运算．把分式的分子因式分解，同时把除法变为乘法，进行约分即可． 解： 故答案为： 【变式3】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式乘除混合运算． 对分子和分母进行因式分解，将除法转化为乘法，约去公因式即可． 解： ． 【题型 5】分式加减运算 【例题5】（24-25八年级下·山东济南·阶段检测）化简分式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照同分母分式减法法则计算化简即可得到结果． 解： ． 【变式2】（2026·湖北恩施·二模）计算：________． 【答案】 【分析】先将整式1通分为与原式同分母的分式，再根据同分母分式的减法法则计算，化简得到结果． 解：． 【变式3】（24-25八年级下·江苏徐州·阶段检测）计算： （1） （2） （3） （4）； （5）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）， 【分析】本题主要考查了分式的加减混合运算，以及分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减的运算法则． （1）（2）（3）（4）利用分式的加减运算法则进行计算即可； （5）先利用分式的加减计算法则进行化简，然后代数求值即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： 将代入上式得， 原式． 【题型 6】分式混合运算（必考） 【例题6】（25-26八年级上·天津·阶段检测）分式计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等知识点，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键． （1）先算括号内的减法，再进行除法运算即可得解； （2）先算括号内的减法，再进行除法运算即可得解． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（2025·河北邯郸·三模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．括号内先通分，再利用同分母分式的减法法则计算，再将分式除法运算转化为乘法，通过约分和因式分解化简表达式． 解： ． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·全国·周测）已知，计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，准确的计算是解题的关键． 先算括号里的，然后用分式的除法法则进行计算即可． 解： ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·贵州·期末）下面是小红进行分式混合运算的过程，请认真阅读并完成相应任务， ·····················第一步 ·································第二步 ·········································第三步 ·····························································第四步 （1）任务一：小红的解答从第______步开始出现错误，这一步的错误原因是______； （2）任务二：请写出正确的解答过程． 【答案】（1）三 ，括号前面是负号去括号没变号；（2） ． 【分析】（1）根据小红的运算过程分析即可得出结果； （2）根据分式的混合运算法则计算即可得出结果． 解：（1）解：由小红的运算过程可得：小红的解答从第三步开始出现错误，这一步的错误原因是括号前面是负号去括号没变号； （2）略． 【题型 7】化简求值（期末核心题型） 【例题7】（25-26八年级下·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】结果为，值为 解： ， ∵， ∴原式． 【变式1】（2026·北京石景山·二模）如果，那么代数式的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先通过通分、因式分解约分化简代数式，再利用已知条件整体代入计算即可． 解： ， ∵， ∴， 将代入得，原式． 【变式2】（2026·四川成都·一模）已知，则代数式的值为_____． 【答案】2026 【分析】本题考查分式的混合运算（通分、约分）、分式的化简以及代数式的整体代入求值． 根据分式的混合运算法则，经过通分，除法转化为乘法，运用完全平方公式进行因式分解，约分等步骤后得到化简后的整式，再将已知分式进行通分，根据整体代入思想转化为所求整式的值. 解：， ， ， ， ， 等式两边同时乘，得， ， 原式． 【变式3】（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）先化简，再在，0，1，2中选取一个适当的数代入求值． 【答案】；当时，原式的值为 解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴，且， ∴当时，原式． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 8】分式的混合运算（综合提升） 【例题8】（25-26八年级上·山东烟台·期中）下面的分式化简题呈现了小明的正确解答过程，但部分算式被遮挡． （1）请求出被遮挡部分的代数式（化为最简）； （2）小颖认为“原算式的值不可能为7”，请你回答下面的两个问题并说明理由： ①你知道小颖为什么这样判断吗？ ②小颖的说法全面吗？ 【答案】（1）；（2）①小颖认为“该分式的值不可能为”的判断依据是分式的分母不能为0；见分析；②小颖的说法不全面，见分析 【分析】该题考查了分式的混合运算以及分式有意义，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）设被遮挡部分表示的式子为，根据题意可知，，计算即可解答； （2）①根据分式有意义解答即可；②根据分式有意义解答即可； 解：（1）解：设被遮挡部分表示的式子为， 根据题意可知，， ∴； （2）解：①小颖认为“该分式的值不可能为”的判断依据是分式的分母不能为0． 理由：∵该分式有意义时，的取值范围为且， ∴且， ∴当时，， ∴小颖认为“该分式的值不可能为”； ②小颖的说法不全面， 理由：∵， ∴， 即该分式的值也不可能为． 【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的混合运算，先通分并化简括号内的分式，再将除法运算转化为乘法运算即可求解 解：原式 ， 故选：A 【变式2】（2026·黑龙江绥化·模拟预测）化简：____________． 【答案】 解： 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2）. 【分析】本题涉及分式的加减与除法运算，需要先对括号内的分式进行通分相加，再将除法转化为乘法进行计算． 解：（1）原式 ． （2）原式 ． 【点拨】在分式混合运算中，通分是关键步骤，要注意将分子分母因式分解后再进行运算． 【题型 9】分式的化简求值（综合提升） 【例题9】（25-26八年级下·重庆南岸·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值也为 【分析】先分别化简整式部分和分式部分，合并得到最简结果，再计算出的值，代入得到最终结果． 解：原式 ， 当时，原式结果仍为． 【变式1】（2026·江苏镇江·一模）若，，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由变形得，代入整理得到，再整体代入式子求值即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ． 【变式2】（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）若，则的值等于 _______ ． 【答案】 【分析】先将所求分式化简为，再将条件的等式变形成后，整体代入即可． 解：， ， ， ， ∵， ∴， ∴原式． 【变式3】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）先化简，再求值，其中x满足． 【答案】， 解： ， 由，得， ∴原式． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·河南周口·期末）下列代数式中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式定义为：若是两个整式且 ，B中含有字母，则式子是分式，据此逐一判断选项即可． 解：选项A．的分母是常数，不含字母，是整式不是分式； 选项B．的分母是常数，分母不含字母，是整式不是分式； 选项C．的分母含有字母，分子分母均为整式符合分式定义，是分式； 选项D．的分母是常数，不含字母，是整式不是分式． 2．（25-26八年级下·山西长治·期末）要使分式有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式有意义时分母不为，据此列不等式求解即可得到正确结果． 解：∵分式有意义， ∴， 解得． 3．（25-26八年级下·福建泉州·期末）下列各式从左到右变形中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：对于A选项，，故A错误． 对于B选项， ，故B正确． 对于C选项，，故C错误． 对于D选项， 与没有公因式，无法约分，，故D错误． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）若把分式 中的x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（     ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定 【答案】B 【分析】将扩大后的x,y代入原分式，利用分式基本性质化简后，与原分式比较，即可得到分式值的变化． 解：∵ x,y都扩大到原来的3倍，即变为和， ∴将其代入原分式可得 与原分式对比，可知分式的值扩大3倍． 5．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数化为整数，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质将分子分母同乘适当的数，即可在不改变分式值的前提下把系数化为整数． 解：分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘一个不等于的整式，分式的值不变， 将原分式的分子分母同时乘以，可得：． 6．（25-26八年级下·山西晋中·期末）化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：． 7．（2026·陕西咸阳·三模）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用平方差公式分解多项式，再约去分子分母的公因式，即可得到最简结果． 解：∵， ∴ 原式 ， 约去分子分母的公因式和，得原式 ． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，先将除法转化为乘法，再进行乘法运算即可，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 解：， 故选：． 9．（25-26八年级上·广西桂林·期末）若，则的值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式加法运算，利用异分母分式加法运算法则计算等式右边，比较分子系数即可求解． 解：∵，， ∴ ， ∴， 故的值为3． 故选：A． 10．（24-25八年级下·全国·阶段检测）照相机成像时，照相机镜头的焦距f，物体到镜头的距离u，胶片（像）到镜头的距离v，满足（）（）．已知f，u，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减，掌握异分母分式的加减是解题的关键．利用分式的基本性质，把等式（）变形即可求解． 解：（）， ， ， 故选：C． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·贵州·三模）当______时，分式无意义． 【答案】 解：根据分式无意义的条件，当分母为时，分式无意义． ∴， ∴. 12．（25-26八年级上·河北唐山·阶段检测）已知，均为非0常数，要使等式成立，则括号内应填入_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质即可求解． 解：∵，均为非0常数， ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·浙江宁波·阶段检测）不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质计算即可． 解：． 14．（25-26八年级下·山西晋中·期末）要将化成最简分式，应将分子、分母同时约去它们的公因式，这个公因式为_______． 【答案】 【分析】本题考查分式约分中公因式的确定，公因式由分子分母系数的最大公约数和相同字母的最低次幂组成，利用公因式的确定方法解题． 解：分子与分母中， 系数和的最大公约数为， 两个式子共有的字母为和， 相同字母的最低次幂分别为和， 仅出现在分子中，不属于公因式的组成部分， 因此可得公因式为． 15．（2026·河南平顶山·三模）化简：__________． 【答案】x 解： 16．（25-26八年级下·四川遂宁·期末）计算：_________． 【答案】 【分析】根据分式的加法运算求解即可． 解： ． 17．（2026·湖北十堰·模拟预测）计算的结果是________． 【答案】 【分析】将整式通分为分母为的分式，再根据同分母分式的减法法则计算，化简得到结果． 解：原式． 18．（2026·广东深圳·二模）已知实数，满足，则的值为______． 【答案】 【分析】利用分式的基本性质对分式进行化简求值． 解： ， 原式． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025·河北邯郸·三模）下面的分式化简题呈现了小李的正确解答过程，但都分算式被遮挡． （1）求被遮挡部分的代数式（化为最简）； （2）小王认为“该分式的值不可能为6”，请你回答下面的两个问题并说明理由； ①你知道小王为什么这样判断吗？ ②小王的说法全面吗？ 【答案】（1）；（2） 解：①小王认为“该分式的值不可能为6”的判断依据是分式的分母不能为0． 理由：∵该分式有意义时，的取值范围为且， ∴且， ∴当时，， ∴小王认为“该分式的值不可能为6”； ②小王的说法不全面， 理由：∵， ∴， 即该分式的值也不可能为8． 【分析】该题考查了分式的混合运算以及分式有意义，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）设被遮挡部分表示的式子为，根据题意可知，，计算即可解答； （2）①根据分式有意义解答即可；②根据分式有意义解答即可； 解：（1）解：设被遮挡部分表示的式子为， 根据题意可知，， ∴； （2）解：①略； ②略． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了分式的加减运算，正确掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先通分，再运算分式的减法，即可作答； （2）先通分，再运算分式的加法，即可作答． 解：（1）解： ； （2）解： ． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河南周口·期末）化简： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据同分母分式加减法法则计算即可； （2）先计算括号内的分式加减法，再计算分式的除法即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代入数值计算即可． 解： ． ， ， 原式． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级上·云南楚雄·期末）已知：． （1）求的值； （2）求证：； （3）若，以下结论：，，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 【答案】（1）；（2）见分析；（3），证明见分析 【分析】（1）将变形为，再把整理为，最后整体代入计算即可； （2）把变形为，然后两边同时平方即可得到结论； （3）把变形为，代入可得 ，进一步可得结论． 解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴，即， ∴． （3），证明如下： ∵由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵由（2）知， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式以及分式的运算，熟练掌握相关的运算法则是解答本题的关键 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）阅读理解 【提出问题】已知，求分式的值； 【分析问题】本题已知条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数，得出，，与的关系，然后再代入待求的分式化简即可； （1）【解决问题】设，则，，，将它们分别代入中并化简，可得分式的值为________； （2）【拓展应用】已知，求分式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）用k表示出，，，再代入分式进行化简即可； （2）设，用含m的式子表示出，，，再代入分式进行化简即可． 解：（1）解：∵， ∴，，， ∴， 故答案为：； （2）设， 则，，， ∴ 【点拨】本题主要分式的化简求值以及乘法公式在代数式求值中的综合运用，熟练掌握相关公式是解题关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $