暑期预习讲义（第10讲）——因式分解 - 2026-2027学年人教版八年级数学上册

暑期预习讲义（第10讲）——因式分解（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】因式分解的定义 1 【知识点二】提公因式法（首选方法） 2 【知识点三】公式法——平方差公式（二项式分解） 2 【知识点四】公式法——完全平方公式（三项式分解） 2 【知识点五】标准解题流程（必考顺序） 2 【知识点六】高频易错清单 2 二.经典题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】因式分解的判断（基础必考） 2 【题型 2】公因式（基础必考） 4 【题型 3】单纯提公因式分解（基础必考） 5 【题型 4】单纯公式法分解（高频） 6 【题型 5】提公因式+公式综合分解（核心重难点） 8 【题型 6】因式分解简便运算（计算必考） 9 【题型 7】因式分解化简求值（期末常考） 11 三.经典题型精析（综合提升） 12 【题型 8】提取公因式法与公式法综合 12 【题型 9】因式分解的应用 14 【题型 10】因式分解的应用 17 四.同步自测 21 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 21 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 24 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 27 预习方法：读概念→记公式→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。 核心关系：因式分解 ↔ 整式乘法（互为逆运算） 判定关键：左边是多项式，右边是几个整式相乘的形式。 终极要求：分解要彻底，直到每一个因式不能再分解为止。 【知识点二】提公因式法（首选方法） 公因式确定规则： 1. 系数：取各项系数的最大公约数； 2. 字母：取各项公共字母，且取最低次幂； 3. 整体：多项式整体也可作为公因式。 公式： 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1守空坑。 【知识点三】公式法——平方差公式（二项式分解） 适用条件：两项、异号、均可写成平方形式： 【知识点四】公式法——完全平方公式（三项式分解） 适用条件：三项式、首尾平方、中间两倍乘积： ， 【知识点五】标准解题流程（必考顺序） 第一步：先提公因式（只要有公因式，必须先提取） 第二步：再套公式（剩余多项式判断是否符合平方差/完全平方） 第三步：检查彻底性（确认无法继续分解） 【知识点六】高频易错清单 1. 分解不彻底：只提公因式不套公式，或套公式后仍有公因式； 2. 漏项：提公因式后某项被全部提走，剩余位置要留1，不能空； 3. 符号错误：首项为负时，优先提取负号，统一括号内符号； 4. 乱用公式：二项式优先平方差，三项式优先完全平方； 5. 混淆运算：因式分解结果是乘积形式，不能留有加减运算。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】因式分解的判断（基础必考） 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）不是因式分解，见分析；（2）是；（3）不是因式分解，见分析 【分析】（1）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可； （2）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可； （3）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可． 解：（1）解：不是因式分解，理由：从左到右的变形不是化成整式积的形式， 故不是因式分解； （2）解：从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； （3）解：不是因式分解，理由：等式右边不是整式的形式， 故不是因式分解． 【变式1】（25-26八年级下·四川成都·期末）下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，即把多项式化为几个整式乘积的形式，逐一判断各选项即可． 解：A选项：右边为和的形式，不是整式乘积，不属于因式分解，不符合题意； B选项：右边不是整式，结果不是几个整式的乘积，不属于因式分解，不符合题意； C选项：是整式的乘法，不属于因式分解，不符合题意； D选项：，将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知多项式可分解成，则_________． 【答案】 【分析】本题先将因式分解的结果展开，再根据多项式相等对应项系数相等，即可求出的值，用到多项式乘多项式的运算法则． 解：由题意得展开右侧多项式： ， 对比等式两边对应项系数，可得 【变式3】（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）分解因式时，嘉嘉看错了a的值，分解的结果是，琪琪看错了b的值，分解的结果是，求的值． 【答案】 【分析】根据因式分解及整式的乘法进行求解即可． 解：∵嘉嘉看错了a的值，分解的结果是，且， ∴， ∵琪琪看错了b的值，分解的结果是，且， ∴， ∴． 【题型 2】公因式（基础必考） 【例题2】（25-26八年级上·全国·单元复习）找出的公因式． 【答案】 【分析】本题考查了公因式：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式，熟记公因式的定义是解题关键．根据公因式的定义求解即可得． 解：和系数的公因数可取，相同字母的最低次幂是1，相同字母的最低次幂是1， 所以的公因式为． 【变式1】（25-26八年级下·江苏无锡·期末）运用提公因式法将分解因式，应提取的最大公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求系数的最大公约数，再找各项相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到最大公因式； 解：∵ 多项式中，系数4和12的最大公约数为4，各项共有的字母是a和b，a的最低次幂为，b的最低次幂为，c仅在第二项出现，不参与公因式构成， ∴ 最大公因式为； 【变式2】（25-26八年级下·福建漳州·期末）多项式，则各项的最大公因式是________． 【答案】/ 【分析】本题考查多项式最大公因式的求解，按照先找系数的最大公约数，再找各项共有的相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到结果． 解：多项式的各项系数为，其绝对值的最大公约数是． 各项都含有的字母为，只出现在第二项中，因此公因式不含．的最低次幂是，的最低次幂是． 因此该多项式各项的最大公因式为． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列多项式各项的公因式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】找多项式各项的公因式，需分别确定系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次幂，再将二者相乘即可． 解：（1）解：对于多项式，系数3、、6的最大公约数是3，各项都含有的相同字母为，且的最低次幂是1， ∴各项的公因式为． （2）解：对于多项式，系数4、的最大公约数是2，各项都含有的相同字母为、，的最低次幂是1，的最低次幂是2， ∴各项的公因式为． 【题型 3】单纯提公因式分解（基础必考） 【例题3】（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解：； （2）解： ． 【变式1】（2026·广西·中考真题）因式分解：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查提公因式法因式分解，找出多项式各项的公因式，提取公因式即可得到结果． 解：． 【变式2】（2026·浙江舟山·二模）分解因式：_____． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，解题思路为找出多项式各项的公因式，提取公因式即可得到结果． 解：对多项式分解因式，提取公因式得：． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）因式分解 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）提公因式即可分解因式； （2）先处理符号问题得到，再提公因式，结合整式运算即可解答． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型 4】单纯公式法分解（高频） 【例题4】（25-26八年级下·山东济南·期中）因式分解 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）直接运用完全平方公式分解即可； （2）变形为平方差形式后，利用平方差公式分解，合并同类项后提取公因式即可得到结果． 解：（1）解： （2）解：原式 【变式1】（25-26八年级下·重庆南岸·期末）下列多项式中，因式分解结果是的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题只需将给定的因式分解结果展开，计算得到原多项式，即可匹配得到正确选项． 解：∵， 分解结果为的多项式是． 【变式2】（25-26八年级下·江苏常州·期末）分解因式：_____． 【答案】/ 解： ． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列多项式中，哪些可以用公式法因式分解？你是怎样分解的？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）可以用公式法因式分解，结果为；（2）不可以用公式法因式分解；（3）可以用公式法因式分解，结果为；（4）不可以用公式法因式分解 解：（1）解：可以用完全平方公式分解因式； ； （2）解：不符合完全平方公式特点，不能用公式分解因式； （3）解：可以用完全平方公式分解因式： （4）解：不符合完全平方公式特点，不能用公式分解因式． 【题型 5】提公因式+公式综合分解（核心重难点） 【例题5】（25-26七年级下·北京平谷·期末）分解因式：． 【答案】 解： ． 【变式1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）分解因式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，按照先提取公因式，再用平方差公式分解到每个因式无法继续分解的步骤计算即可． 解：． 【变式2】（25-26八年级·全国·暑假作业）因式分解：__________． 【答案】 解：． 【变式3】（25-26八年级下·江苏镇江·期末）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型 6】因式分解简便运算（计算必考） 【例题6】（23-24八年级上·吉林长春·期中）请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算． 例1：； 例2：． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）1； 【分析】（1）根据完全平方公式即可求出答案． （2）根据平方差公式即可求出答案． 解：（1）原式 ； （2） ． 【点拨】本题考查了用完全平方公式和平方差公式进行简便运算，解题关键根据数据特征选择适当公式进行计算． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）简便计算等于（   ） A．1800 B．180000 C．225000 D．100000 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解中的提取公因式法和完全平方公式，掌握观察式子结构，提取公因式后用完全平方公式简化计算是解题的关键． 通过观察，表达式可提取公因数后应用完全平方公式简化计算． 解：∵ ， ∵ ， ∴ 原式=． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·江西九江·阶段检测）简便运算：________． 【答案】10000 【分析】本题考查了因式分解、完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 根据完全平方公式计算，即可解答． 解： ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）简便运算： （1） （2） 【答案】（1）4000；（2）4 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式对算式进行变形简化． （1）先根据平方差公式因式分解，然后再计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可． 解：（1）解： （2）解： 【题型 7】因式分解化简求值（期末常考） 【例题7】（25-26八年级上·重庆江北·阶段检测）先化简再求值：其中：． 【答案】； 【分析】此题考查整式的化简求值，因式分解，熟练计算是解题的关键． 运用完全平方公式进行因式分解，再代值计算． 解： ， ． 当，时，原式． 【变式1】（25-26八年级上·广西·期中）化简，结果为（　　） A． B．22027 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘法，以及因式分解的应用． 把原式变形为，然后提取计算即可． 解：原式 ． 故选B． 【变式2】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）化简___________． 【答案】 解：． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河北衡水·期末）先化简并分解因式，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算、因式分解及求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先去括号，再合并同类项，再因式分解，然后把的值代入式子进行计算即可解答． 解： ， ， ， 当时， 原式 ． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 8】提取公因式法与公式法综合 【例题8】（山西省太原市2025-2026学年第二学期八年级期末数学试卷）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先提取a，再使用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取，再进行运算即可． 解：（1）解： ； （2）解：    ． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃兰州·阶段检测）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：州，爱，我，数，学，兰．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．我爱兰州 B．爱兰州 C．我爱数学 D．兰州数学 【答案】A 【分析】先对多项式提取公因式，再利用平方差公式完成因式分解，根据各因式对应密码得到最终信息，选出正确选项，正确分解因式是解题关键. 解：∵， 又∵ ∴ 根据题意，对应关系为：我，爱，州，兰， 因此结果呈现的密码信息可能为我爱兰州. 【变式2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 例：． 请用分组分解法将因式分解为___． 【答案】 【分析】观察多项式结构，将后三项分为一组，可利用完全平方公式分解，前两项分为一组，可利用提公因式法分解，分组后再提取公因式即可完成因式分解． 解： ． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁辽阳·阶段检测）分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解：； （2）解：． 【题型 9】因式分解的应用 【例题9】（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）解答下列问题： （1）计算：； （2）利用因式分解说明：能被120整除． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）运用多项式乘多项式法则展开原式，去括号后合并同类项即可得到结果，用到整式乘法的基础运算法则； （2）先将转化为以为底数的幂，统一底数后提取公因式因式分解，变形得到含因数的式子，即可证明结论． 解：（1）解： ； （2）解： ， 是120的整数倍，即能被120整除． 【变式1】（25-26八年级下·重庆南岸·期末）如图所示，是一张边长为的正方形纸板，将它的四个角各剪去边长为的小正方形，然后将四周凸出部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用表示这个无盖的长方体纸盒的底面积与侧面积的差，则可因式分解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据图形表示出长方体纸盒的底面边长和高，进而表示出底面积和侧面积，最后作差并提取公因式分解因式即可． 解：由题意可知，折叠成的无盖长方体纸盒的底面是边长为的正方形，高为y， ∴底面积为，侧面积为， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）已知二元一次方程组，则代数式的值为________． 【答案】36 【分析】用减去得出，然后根据因式分解可进行求解． 解：∵， ∴得：， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 请你利用分组分解法分解因式： （1）； （2）； 【应用】 （3）若，，是△的三边，当时，判断△的形状． 【答案】（1）；（2）；（3）是等腰三角形 【分析】（1）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把整体提公因式； （2）利用分组分解法分解因式，可得：原式，再把看作整体，运用完全平方公式分解因式； （3）把方程左边分解因式，可得：，因为，，是的三边，不可能是，可得：，所以是等腰三角形． 解：（1）解： ；    （2）解： ；   （3）解：， ， ， ，     ，，是的三边， ，， ， ， ， 是等腰三角形． 【题型 10】因式分解的应用 【例题10】（25-26七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）阅读材料：整体思想是数学中的重要思想，其核心是通过全局视角处理问题，将多个局部元素视为整体，简化运算或发现隐藏关系，主要有整体代入，整体运算，整体构建等方法． 例：因式分解：，把“”看成整体，即， 原式＝，原式＝． 请依据上面的材料解决有关问题： （1）因式分解：________； （2）已知，则________； （3）若，求的值，写出过程． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题考查了整式的混合运算、因式分解、求代数式的值，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）把看作整体，利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）把原式变形后把已知条件整体代入计算即可； （3）利用多项式乘以多项式法则分组计算后，把已知条件变形后整体代入计算即可． 解：（1）解：， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ ； 故答案为：． （3）解：∵， ∴， ∴ ． 【变式1】（23-24八年级上·山东泰安·阶段检测）在对多项式进行因式分解时我们经常用到“整体思想”，请同学们将进行因式分解结果是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是把多项式看成整体进行分解因式，注意分解的正确性和彻底性．把看成整体，将多项式展开，再运用完全平方公式进行分解因式即可． 解：， ， ， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，得原式．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请利用上述方法将分解因式的结果是___________． 【答案】 【分析】令，代入后因式分解后，再将还原即可得到答案． 解：令， 则原式， 再将还原，原式， 故答案为：． 【点拨】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． 【变式3】（25-26八年级上·四川泸州·期末）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体,令,则原式．再将“A”还原,可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）用上述整体思想将代数式化为完全平方的形式． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将A还原即可； （2）设，则原式后，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可； （3）先整理得，再计算得到，然后利用完全平方公式即可． 解：（1）解：令， ， 将“A”还原，可以得到： 原式； （2）解：令， 则 ， 将“B”还原，可以得到： 原式 ； （3） 解： ． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（山西省太原市2025-2026学年第二学期八年级期末数学试卷）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：A、，不是多项式，故不是因式分解，不符合题意； B、，等式右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、是整式乘法，故不是因式分解，不符合题意． 2．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）若多项式可因式分解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用多项式乘多项式法则展开因式分解后的式子，根据多项式相等对应系数相等求出和的值，再计算即可． 解：∵， 又∵， ∴，， ∴． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）运用提公因式法将多项式分解因式，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查公因式的确定方法，公因式是多项式各项共有的因式，确定规则为：取相同字母的最低次幂，乘积即为公因式． 解：∵ 多项式包含两项 和 ，且两项都含有字母和，其中的最低次幂是次，的最低次幂是次， ∴ 应提取的公因式为 ． 4．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式为（     ） A． B．y C． D． 【答案】C 【分析】先求系数的最大公约数，再找各项共有的相同字母的最低次幂，两者乘积即为公因式． 解：∵多项式的系数为和，和的最大公约数是， 又∵两项共有的相同字母为，的最低次幂是，多项式第一项不含字母， ∴应提取的公因式为． 5．（2026·贵州黔西南·模拟预测）下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据能用平方差公式因式分解的多项式的条件判断，条件为：多项式共两项，两项都可写成平方的形式，且两项符号相反; 解： A. ∵中两项符号相同，不符合平方差公式因式分解的要求，∴A错误； B. ∵，是两项，两项均为平方项，且符号相反，符合平方差公式因式分解的要求，∴B正确； C. ∵是三项多项式，不符合要求，∴C错误； D. ∵，两项符号相同，不符合要求，∴D错误; 6．（2026·江苏苏州·中考真题）若，其中，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先对等式左边用平方差公式因式分解，对比右边的因式形式，结合得到和的值，即可计算出的结果． 解： 又∵，且， ∴ ，， ∴ ． 7．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）下列各式能用完全平方公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】完全平方公式的结构为，逐一判断选项是否符合该结构即可． 解：A．中，中间项不满足，不符合结构，不能用完全平方公式因式分解； B．中，常数项为负数，无法写成某个整式的平方，不符合结构，不能分解； C．是平方差形式，只能分解为，不符合完全平方公式结构； D．，符合完全平方公式结构，可以因式分解． 8．（24-25八年级上·河南南阳·期末）将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法因式分解． 利用完全平方公式和平方差公式进行解答． 解： ． 故选：C． 9．（25-26八年级下·陕西·期末）下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解要求结果为几个整式乘积的形式，结合因式分解的基本方法逐一判断即可． 解：A、是整式乘法，是将乘积展开为多项式，不是因式分解，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、右边是和的形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解定义，该选项不符合题意； D、，正确，符合要求，该选项符合题意． 10．（25-26七年级下·全国·期末）=在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．从图①到图②的变化过程中，解释的因式分解的公式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：根据题意得：． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·广东·中考真题）因式分解：_____． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 解：原式 ． 12．（25-26八年级下·四川成都·期中）若二次三项式分解因式为，则a的值为______． 【答案】 解：， ∵， ∴， 对比等式两边对应项的系数可得． 故答案为：． 13．（25-26八年级下·陕西·期末）已知，，则的值为________． 【答案】 【分析】把所求代数式因式分解为，再代入求值即可． 解：∵，， ∴． 14．（25-26八年级下·陕西西安·期末）分解因式：______． 【答案】 【分析】先提取多项式各项的公因式，再对括号内的二次三项式运用完全平方公式继续分解因式． 解： ． 15．（25-26九年级上·山西晋中·期末）我们学习了配方法，小王发现有的代数式可以用配方法分解因式， 例如：分解因式； 请你根据材料中小王的探究方法解决下列问题：分解因式______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，理解题意，掌握配方法因式分解是解题的关键． 通过配方法，添加和减去一次项系数一半的平方，再应用平方差公式进行因式分解． 解： =． 故答案为：． 16．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）若，则代数式的值_____ ． 【答案】 【分析】先将因式分解后，再把整体代入求值，即可解题． 解：， ． 17．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）一位密码编译者，设置以下规则：，，，，，分别对应下列六个字：数，爱，我，浙，江，学．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是___________（只需写出一种）． 【答案】我爱数学 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式对多项式进行因式分解，得到因子后对应密码字，并按顺序排列形成密码信息． 解：∵ ， ， ∵对应密码字：我， 爱，学，数， ∴密码信息为“我爱数学”． 18．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 【答案】（）（） 【分析】利用拼图前后面积相等，将多项式因式分解为长方形的长乘宽． 解：据图可知，左边图形的面积为， 右边图形的面积为， 故． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）将下列各式因式分解 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】根据提公因式法解题． 解：（1）解：原式； （2）解：原式． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·福建宁德·期中）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解：原式； （2）解：原式． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·北京房山·期末）把下列各式分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： ； （2）解： ． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）因式分解： （1）； （2）； （3） （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解； （2）先提出公因式，再利用完全平方公式分解即可； （3）利用完全平方公式分解即可； （4）先用平方差公式，再用完全平方公式进行因式分解． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·陕西西安·期末）“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．阅读以下材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得原式． 请你参考上述方法解答下列问题： （1）因式分解：__________________； （2）试说明无论n为何值，的值一定是一个非负数． 【答案】（1）；（2）将“”看成整体，令， 则原式 ， 再将“A”还原，得原式， ∵无论n为何值，， ∴无论n为何值，的值一定是一个非负数． 【分析】（1）将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原即可； （2）将“”看成整体，令，则原式，再将“A”还原即可． 解：（1）解：将“”看成整体，令，则原式， 再将“A”还原，得原式； （2）略． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·山西晋中·期末）阅读理解 【阅读材料】：我们在因式分解中，除了基本公式法、提公因式法外，还可以使用分组分解法． 例：分解因式 解：原式 分组分解法核心：将多项式合理分组，分组后可提公因式或用公式继续分解． 根据以上材料，解答下列问题： （1）用分组分解法分解因式：； （2）已知、、为的三边，且，判断的形状． 【答案】（1）；（2）等腰三角形 【分析】（1）根据题意，分组进行因式分解； （2）先进行分组因式分解，得出或，即可判断三角形形状． 解：（1）解： ； （2）解： 分组得： 或， 为等腰三角形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第10讲）——因式分解（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 2 【知识点一】因式分解的定义 2 【知识点二】提公因式法（首选方法） 2 【知识点三】公式法——平方差公式（二项式分解） 2 【知识点四】公式法——完全平方公式（三项式分解） 2 【知识点五】标准解题流程（必考顺序） 2 【知识点六】高频易错清单 2 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】因式分解的判断（基础必考） 3 【题型 2】公因式（基础必考） 3 【题型 3】单纯提公因式分解（基础必考） 4 【题型 4】单纯公式法分解（高频） 4 【题型 5】提公因式+公式综合分解（核心重难点） 4 【题型 6】因式分解简便运算（计算必考） 5 【题型 7】因式分解化简求值（期末常考） 5 三.经典题型精析（综合提升） 5 【题型 8】提取公因式法与公式法综合 5 【题型 9】因式分解的应用 6 【题型 10】因式分解的应用 7 四.同步自测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 10 预习方法：读概念→记公式→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。 核心关系：因式分解 ↔ 整式乘法（互为逆运算） 判定关键：左边是多项式，右边是几个整式相乘的形式。 终极要求：分解要彻底，直到每一个因式不能再分解为止。 【知识点二】提公因式法（首选方法） 公因式确定规则： 1. 系数：取各项系数的最大公约数； 2. 字母：取各项公共字母，且取最低次幂； 3. 整体：多项式整体也可作为公因式。 公式： 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1守空坑。 【知识点三】公式法——平方差公式（二项式分解） 适用条件：两项、异号、均可写成平方形式： 【知识点四】公式法——完全平方公式（三项式分解） 适用条件：三项式、首尾平方、中间两倍乘积： ， 【知识点五】标准解题流程（必考顺序） 第一步：先提公因式（只要有公因式，必须先提取） 第二步：再套公式（剩余多项式判断是否符合平方差/完全平方） 第三步：检查彻底性（确认无法继续分解） 【知识点六】高频易错清单 1. 分解不彻底：只提公因式不套公式，或套公式后仍有公因式； 2. 漏项：提公因式后某项被全部提走，剩余位置要留1，不能空； 3. 符号错误：首项为负时，优先提取负号，统一括号内符号； 4. 乱用公式：二项式优先平方差，三项式优先完全平方； 5. 混淆运算：因式分解结果是乘积形式，不能留有加减运算。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】因式分解的判断（基础必考） 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由． （1）； （2）； （3）． 【变式1】（25-26八年级下·四川成都·期末）下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）已知多项式可分解成，则_________． 【变式3】（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）分解因式时，嘉嘉看错了a的值，分解的结果是，琪琪看错了b的值，分解的结果是，求的值． 【题型 2】公因式（基础必考） 【例题2】（25-26八年级上·全国·单元复习）找出的公因式． 【变式1】（25-26八年级下·江苏无锡·期末）运用提公因式法将分解因式，应提取的最大公因式是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·福建漳州·期末）多项式，则各项的最大公因式是________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）写出下列多项式各项的公因式： （1）； （2）． 【题型 3】单纯提公因式分解（基础必考） 【例题3】（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）分解因式： （1）； （2）． 【变式1】（2026·广西·中考真题）因式分解：（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·浙江舟山·二模）分解因式：_____． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）因式分解 （1） （2） 【题型 4】单纯公式法分解（高频） 【例题4】（25-26八年级下·山东济南·期中）因式分解 （1） （2） 【变式1】（25-26八年级下·重庆南岸·期末）下列多项式中，因式分解结果是的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏常州·期末）分解因式：_____． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列多项式中，哪些可以用公式法因式分解？你是怎样分解的？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型 5】提公因式+公式综合分解（核心重难点） 【例题5】（25-26七年级下·北京平谷·期末）分解因式：． 【变式1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）分解因式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级·全国·暑假作业）因式分解：__________． 【变式3】（25-26八年级下·江苏镇江·期末）因式分解： （1）； （2）． 【题型 6】因式分解简便运算（计算必考） 【例题6】（23-24八年级上·吉林长春·期中）请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式进行简便计算：利用乘法公式有时可以进行简便计算． 例1：； 例2：． （1）； （2）． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）简便计算等于（   ） A．1800 B．180000 C．225000 D．100000 【变式2】（24-25八年级下·江西九江·阶段检测）简便运算：________． 【变式3】（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）简便运算： （1） （2） 【题型 7】因式分解化简求值（期末常考） 【例题7】（25-26八年级上·重庆江北·阶段检测）先化简再求值：其中：． 【变式1】（25-26八年级上·广西·期中）化简，结果为（　　） A． B．22027 C． D．0 【变式2】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）化简___________． 【变式3】（25-26八年级上·河北衡水·期末）先化简并分解因式，再求值：，其中． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 8】提取公因式法与公式法综合 【例题8】（山西省太原市2025-2026学年第二学期八年级期末数学试卷）因式分解： （1）； （2）． 【变式1】（25-26八年级下·甘肃兰州·阶段检测）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：州，爱，我，数，学，兰．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（     ） A．我爱兰州 B．爱兰州 C．我爱数学 D．兰州数学 【变式2】（25-26八年级下·江苏盐城·期中）对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 例：． 请用分组分解法将因式分解为___． 【变式3】（25-26八年级下·辽宁辽阳·阶段检测）分解因式： （1）； （2）． 【题型 9】因式分解的应用 【例题9】（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）解答下列问题： （1）计算：； （2）利用因式分解说明：能被120整除． 【变式1】（25-26八年级下·重庆南岸·期末）如图所示，是一张边长为的正方形纸板，将它的四个角各剪去边长为的小正方形，然后将四周凸出部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用表示这个无盖的长方体纸盒的底面积与侧面积的差，则可因式分解为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）已知二元一次方程组，则代数式的值为________． 【变式3】（25-26八年级下·江苏扬州·阶段检测）分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如 分解因式： 请你利用分组分解法分解因式： （1）； （2）； 【应用】 （3）若，，是△的三边，当时，判断△的形状． 【题型 10】因式分解的应用 【例题10】（25-26七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）阅读材料：整体思想是数学中的重要思想，其核心是通过全局视角处理问题，将多个局部元素视为整体，简化运算或发现隐藏关系，主要有整体代入，整体运算，整体构建等方法． 例：因式分解：，把“”看成整体，即， 原式＝，原式＝． 请依据上面的材料解决有关问题： （1）因式分解：________； （2）已知，则________； （3）若，求的值，写出过程． 【变式1】（23-24八年级上·山东泰安·阶段检测）在对多项式进行因式分解时我们经常用到“整体思想”，请同学们将进行因式分解结果是（      ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“”还原，得原式．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请利用上述方法将分解因式的结果是___________． 【变式3】（25-26八年级上·四川泸州·期末）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体,令,则原式．再将“A”还原,可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）用上述整体思想将代数式化为完全平方的形式． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（山西省太原市2025-2026学年第二学期八年级期末数学试卷）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）若多项式可因式分解为，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）运用提公因式法将多项式分解因式，应提取的公因式是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式为（     ） A． B．y C． D． 5．（2026·贵州黔西南·模拟预测）下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏苏州·中考真题）若，其中，则的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）下列各式能用完全平方公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·河南南阳·期末）将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·陕西·期末）下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·全国·期末）=在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．从图①到图②的变化过程中，解释的因式分解的公式是（     ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·广东·中考真题）因式分解：_____． 12．（25-26八年级下·四川成都·期中）若二次三项式分解因式为，则a的值为______． 13．（25-26八年级下·陕西·期末）已知，，则的值为________． 14．（25-26八年级下·陕西西安·期末）分解因式：______． 15．（25-26九年级上·山西晋中·期末）我们学习了配方法，小王发现有的代数式可以用配方法分解因式， 例如：分解因式； 请你根据材料中小王的探究方法解决下列问题：分解因式______． 16．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）若，则代数式的值_____ ． 17．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）一位密码编译者，设置以下规则：，，，，，分别对应下列六个字：数，爱，我，浙，江，学．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是___________（只需写出一种）． 18．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）将下列各式因式分解 （1） （2） 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·福建宁德·期中）因式分解： （1）； （2）． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·北京房山·期末）把下列各式分解因式： （1）； （2）． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）因式分解： （1）； （2）； （3） （4）． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·陕西西安·期末）“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．阅读以下材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得原式． 请你参考上述方法解答下列问题： （1）因式分解：__________________； （2）试说明无论n为何值，的值一定是一个非负数． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·山西晋中·期末）阅读理解 【阅读材料】：我们在因式分解中，除了基本公式法、提公因式法外，还可以使用分组分解法． 例：分解因式 解：原式 分组分解法核心：将多项式合理分组，分组后可提公因式或用公式继续分解． 根据以上材料，解答下列问题： （1）用分组分解法分解因式：； （2）已知、、为的三边，且，判断的形状． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $