第二十四讲：分式的基本性质（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第二十三讲：分式及其基本性质 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：分式的基本性质 1. 分式的基本性质: 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变 字母表示:＝，＝ (C ≠ 0)，其中A，B，C是整式 2. 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变. 用字母表示如下： (1)＝＝－＝－； (2)－＝－＝＝ . 知识点02：分式的约分 1. 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分. 2. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式. 3. 找公因式的方法 (1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； (2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式. 知识点03：分式的通分 1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. 2.最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫作最简公分母. 3. 确定最简公分母的方法 (1)当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式； (2)当各分母都是多项式且能因式分解时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母. 4. 通分的一般步骤 (1)确定最简公分母； (2)用最简公分母分别除以各分式的分母求商； (3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式. 考点1：判断分式变形是否正确 【典型例题】 不改变分式的值，下列各式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】 下列各式从左到右的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 下列各等式中成立的有个．（　　） ①； ； ； ． A．1 B．2 C．3 D．4 考点2：约分 【典型例题】 下列约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 把分式约分的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练2】 下列约分正确的是（　　　） A．=a3 B．=0 C．=x+1 D．=a+b 考点3：最简分式 【典型例题】 下列分式为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】 下列分式中，是最简分式的是（　　）． A． B． C． D． 考点4：最简公分母 【典型例题】 分式的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】 式子的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 在计算通分时，分母确定为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．以下式子中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．若把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍 3．根据分式的基本性质，分式变形可得到下列结果中的（    ） A． B． C． D． 4．与分式的值相等的是（    ） A． B． C． D． 5．将分式的分子与分母中的各项系数化为整数，正确的是 （    ） A． B． C． D． 6．下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 7．与分式相等的是（    ） A． B． C． D． 8．要把分式与通分，分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．约分： ． 10．的最简公分母是 ，通分的结果为 ． 11．，， 的最简公分母是 ． 12．化简 ；已知3，则分式的值为 ． 13．分式，，的最简公分母是 ． 14．分式的值是整数，则正整数的值等于 ． 15．把，通分，则= ， = . 16．分式和的最简公分母是 三、解答题 17．通分： (1)与； (2)与． 18．约分： (1)； (2)； (3)． 19．把分式中的，同时扩大为原来的2倍后，分式的值会如何变化? 20．已知为整数，且分式的值是整数，求的所有可能值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第二十三讲：分式及其基本性质 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：分式的基本性质 1. 分式的基本性质: 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变 字母表示:＝，＝ (C ≠ 0)，其中A，B，C是整式 2. 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变. 用字母表示如下： (1)＝＝－＝－； (2)－＝－＝＝ . 知识点02：分式的约分 1. 分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分. 2. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式. 3. 找公因式的方法 (1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式； (2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式. 知识点03：分式的通分 1.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分. 2.最简公分母：通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫作最简公分母. 3. 确定最简公分母的方法 (1)当各分母都是单项式时，取各分母系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积，凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式； (2)当各分母都是多项式且能因式分解时，要先把它们分解因式，再按照各分母都是单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面确定最简公分母. 4. 通分的一般步骤 (1)确定最简公分母； (2)用最简公分母分别除以各分式的分母求商； (3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式. 考点1：判断分式变形是否正确 【典型例题】 不改变分式的值，下列各式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质即可求出答案．解题的关键是熟练运用分式的基本性质． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 【变式训练1】 下列各式从左到右的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟知分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、，原式变形错误，不符合题意； B、，原式变形错误，不符合题意； C、，原式变形正确，符合题意； D、，原式变形错误，不符合题意； 故选：C． 【变式训练2】 下列各等式中成立的有个．（　　） ①； ； ； ． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变，据此即可求解． 【详解】解：，故不符合题意． ，故不符合题意． ，故不符合题意． ，故符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 考点2：约分 【典型例题】 下列约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是：熟练掌握分式的基本性质．根据分式的基本性质，分别进行判断，即可求解， 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、不能够约分，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项错误，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式训练1】 把分式约分的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式对分子进行因式分解，然后化简即可． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式和分式的化简；正确运用公式是解题的关键． 【变式训练2】 下列约分正确的是（　　　） A．=a3 B．=0 C．=x+1 D．=a+b 【答案】C 【分析】利用分式约分的定义和步骤逐项判断即可． 【详解】解：A．原式=，故A不符合题意． B．原式=1，故B不符合题意． C．原式，故C符合题意． D．该分式已经是最简分式，不需要约分，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查分式的约分，掌握其定义和步骤是解答本题的关键． 考点3：最简分式 【典型例题】 下列分式为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简分式，分式的基本性质．根据分式的基本性质进行约分，化出最简分式即可进行判断． 【详解】解：A、，不是最简分式，本选项不符合题意； B、，不是最简分式，本选项不符合题意； C、不能约分，是最简分式，本选项不符合题意； D、，不是最简分式，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练1】 下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意； B、，不是最简分式，故本选项不符合题意； C、，不是最简分式，故本选项不符合题意； D、是最简分式，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键． 【变式训练2】 下列分式中，是最简分式的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简分式是指分式的分子和分母没有公因式，不能再约分的分式，根据最简分式的概念即可求解． 【详解】解：A项，故不符合题意； B项，故不符合题意； C项，故不符合题意； D项是最简分式，故符合题意。 故选：D． 【点睛】本题主要考查最简分式的概念，解决本题的关键是要熟练掌握最简分式的概念． 考点4：最简公分母 【典型例题】 分式的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简公分母，解题的关键在于能够熟记最简公分母的定义． 根据最简公分母的定义：各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的乘积，进行求解即可 【详解】解：根据题意可得：分式的最简公分母是， 故选：B． 【变式训练1】 式子的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查找最简公分母，根据最简公分母的定义即可求解． 【详解】∵分式的分母为、、， ∴最简公分母是． 故选：D． 【变式训练2】 在计算通分时，分母确定为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将分母因式分解，进而确定公分母即可． 【详解】， 计算通分时，分母确定为． 故选B 【点睛】本题考查了找最简公分母，先将分母因式分解是解题的关键． 一、单选题 1．以下式子中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式运算以及化简， 幂的乘方运算，分别化简每个选项中等号的左边式子，再与等号的右边式子比较，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是正确的； D、，故该选项是错误的； 故选：C 2．若把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（　　） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍 【答案】C 【分析】本题考查的是对分式的性质的理解，根据分式的基本性质分式中元素扩大或缩小倍，只要将原数乘以或除以，再代入原式求解即可． 【详解】解：把原式中的、分别换成、，那么 把分式中的和都扩大倍，分式的值缩小倍， 故选：C． 3．根据分式的基本性质，分式变形可得到下列结果中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的性质进行变形是解此题的关键．根据分式的基本性质逐个判断即可． 【详解】解：， 故选：B． 4．与分式的值相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把分式的分子、分母同时乘以，即可得出结论． 【详解】把分式的分子、分母同时乘以得， ， 故选Ｃ． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变时解答此题的关键． 5．将分式的分子与分母中的各项系数化为整数，正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使分子与分母中的各项系数化为整数，只需要求出2、3、4的最小公倍数即可． 【详解】解：分子，分母同得： ； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式化简，正确运算是解题关键． 6．下列各式中，化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A、，故错误，不合题意； B、，故错误，不合题意； C、，故错误，不合题意； D、，故正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式的基本性质的应用，要熟练掌握． 7．与分式相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子、分母都乘以，进而得出答案． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质：分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变是解题的关键． 8．要把分式与通分，分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简公分母定义是各分母的最小公倍数即可求解． 【详解】解：根据最简公分母是各分母的最小公倍数， ∵系数2与1的公倍数是2，与的最高次幂是，与的最高次幂是，对于只在一个单项式中出现的字母c直接作公分母中的因式， ∴公分母为： ． 故选择：A． 【点睛】本题考查最简公分母，熟练掌握最简公分母是解题关键． 二、填空题 9．约分： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了约分，掌握约分的定义是解题关键． 直接将分子与分母约去公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．的最简公分母是 ，通分的结果为 ． 【答案】 【分析】此题考查分式的通分和最简公分母，根据最简公分母的定义和通分的法则进行解答即可． 【详解】解：的最简公分母是，通分的结果是， 故答案为：， 11．，， 的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简公分母的概念，先将各个分母因式分解，然后再结合最简公分母的定义即可解答．掌握最简公分母（取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母）的定义成为解题的关键 【详解】解：∵，，， ∴它们的最简公分母是． 故答案为：． 12．化简 ；已知3，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】①将的分子、分母分别因式分解，再约分即可； ②将3化为3，进而得到，然后整体代入求解． 【详解】解：①； ②∵3， ∴3， 即，则， ． 故答案为； 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题关键是学会因式分解及约分． 13．分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】根据最简公分母的求法，即可得出答案． 【详解】解：因为分式，，的分母分别是、、，数字部分取三个数字的最小公倍数，字母部分取相同因数指数最大的，可得最简公分母为：； 故答案为． 【点睛】本题考查最简公分母的找法，注意数字部分要找最小公倍数，相同的因数，包括有的是因式，要取相同因式指数最大的，然后乘积就是最简公分母，这部分比较简单，遇到分母为多项式的要先进行因式分解． 14．分式的值是整数，则正整数的值等于 ． 【答案】2或3或5 【分析】根据分式的值是整数可知4是（m-1）的倍数，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：或或， ∵m为正整数 ∴=2或3或5， 故答案为：2或3或5． 【点睛】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式的值是解题的关键． 15．把，通分，则= ， = . 【答案】 【分析】先找出，的最简公分母，再利用分式的性质将，的分母均化为即可． 【详解】解：，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查分式通分，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 16．分式和的最简公分母是 【答案】/ 【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这个公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】分式和的最简公分母是 故答案为：． 【点睛】本题考查最简公分母的定义及求法，掌握确定最简公分母的方法是解答的关键． 三、解答题 17．通分： (1)与； (2)与． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】找到各分式的最简公分母即可完成通分． 【详解】（1）解：，； （2）解：，． 【点睛】本题考查通分．确定最简公分母是解题关键． 18．约分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先提公因式2，再利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提负号和公因式m，然后再利用平方差公式进行分解即可； （3）把看成整体，利用平方差公式、完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【点睛】本题考查了综合利用提公因式法和公式法分解因式，分解因式首先要看是否有公因式，如果有公因式应该先提公因式，然后再观察是否可利用公式，注意一定要分解到不能再分解为止． 19．把分式中的，同时扩大为原来的2倍后，分式的值会如何变化? 【答案】分式的值扩大为原来的2倍 【分析】将分子、分母中的分别扩大到原来的２倍，化简后即可求解 【详解】， 因此，分式的值扩大为原来的2倍． 【点睛】本题考查分式的性质．按照题意进行相关操作即可求解． 20．已知为整数，且分式的值是整数，求的所有可能值． 【答案】的所有可能值为0，， 【分析】本题考查了分式的值，解题的关键是得出2是的倍数． 根据x为整数，且分式的值为整数，可得2是的倍数，可得答案． 【详解】解：． 由题意知或或或， ． 又， 舍去， 故的所有可能值为0，，． 学科网（北京）股份有限公司 $$