5.1 函数（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

5.1 函数 题型一 函数的概念 1．下列各个图形中，不可能是函数的图象的是　　 A．B．C．D． 2．（2025高一上·上海·专题练习）中国清朝数学家李善兰在年翻译代数学中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”年美国人给出了集合论的函数定义，已知集合，给出下列四个对应法则：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 3．（24-25高一上·山东青岛·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东青岛·期中）若函数的定义域，值域，则函数的图像可能是（    ） A．    B．  C．    D．   题型二 同一函数的判定 5．（25-26高二上·安徽亳州·期中）下列函数，为同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（24-25高一上·上海闵行·期末）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 7．（24-25高一上·天津滨海新·月考）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·上海·课后作业）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 题型三 求已知函数的定义域 9．（25-26高一上·浙江丽水·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 10．（25-26高一上·甘肃临夏·期末）函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·河北保定·月考）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 12．（2026高一·上海·专题练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D．且 题型四 函数的图象 13．（2025高一上·上海·专题练习）如下图所示，向高为的水瓶 A，B，C，D 同时以等速注水，注满为止；若水深 与注水时间 的函数图象如图，则水瓶的形状是（    ）    A．    B．  C．   D．   14．（2025高一·全国·专题练习）某工厂近6年来生产某种产品的情况：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变．则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是（    ） A．      B．  C．  D．   15．（25-26高一上·上海嘉定·月考）游泳池原有一定量的水．打开进水阀进水，过了一段时间关闭进水阀．再过一段时间打开排水阀排水，直到水排完．已知进水时的流量、排水时的流量各保持不变．用表示游泳池的水深，表示时间．下列各函数图象中能反映所述情况的是（    ） A．B．C． D． 16．（2025湖南·二模）将函数的图象向左平移1个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 题型五 求函数解析式 17．（24-25高一上·湖北鄂州·期中）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·广东江门·期中）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高一上·陕西西安·月考）已知函数，则等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 20．（24-25高一上·广西南宁·期中）已知是一次函数，满足，则（    ）． A． B． C． D． 题型六 分段函数求值问题 21．（25-26高一上·上海·期中）已知函数则（　　） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·广东·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 23．（24-25高一上·上海宝山·月考）已知函数，则（    ） A．2 B． C．1 D．4 24．（24-25高二下·山东·期末）已知函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 25．（24-25高三·安徽蚌埠·月考）设，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型一 求函数的值域 26．（24-25高一上·北京·期中）函数，的值域是（　　） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·湖北·月考）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 28．（2026高一·上海·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一上·上海杨浦·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 30．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高二上·上海徐汇·开学考试）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 题型二 抽象函数的定义域 32．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知函数的定义域为[0,1],则的定义域为 A．[-2,-1] B．[-1,0] C．[0,1] D．[2,3] 35．若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 题型三 分段函数的应用问题 36．（2025·上海虹口·一模）已知， 若，则实数的取值可以是（ ） A． B． C． D． 37．（24-25高三上·陕西西安·期中）设函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 38．（24-25高一上·北京·期中）函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 39．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）在R上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 41．（24-25高一上·河南南阳·期中）已知函数若，则实数（    ） A． B．2 C．4 D．6 42．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 43．（25-26高一上·安徽合肥·期中）如图为函数的图象，则的图象是（    ） A．B．C．D． 44．（25-26高一上·广东中山·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 （   ） A． B． C． D． 45．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知函数，则的单调增区间为 ；若则的值域为 ． 46．（25-26高一上·上海松江·期中）已知函数， 的值域为，则的取值范围是 ． 47．（25-26高一上·福建莆田·期中）设函数 (1)将函数写成分段函数； (2)画出函数的图象； (3)写出函数的定义域、值域和单调区间. 48．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知一次函数，满足，； (1)求的解析式； (2)求的解析式. 49．（25-26高一上·福建泉州·期中）求下列函数的值域 (1)， (2)， 50．（25-26高一上·甘肃武威·期中）（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式． （2）已知函数对任意的都有，求的解析式． （3）已知函数对任意实数，满足，求的解析式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 函数 题型一 函数的概念 1．下列各个图形中，不可能是函数的图象的是　　 A．B．C．D． 【答案】A 【解析】在选项中，当取值时，有很多值与对应，不满足函数的定义， 所以不是函数的图象． 故选：． 2．（2025高一上·上海·专题练习）中国清朝数学家李善兰在年翻译代数学中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”年美国人给出了集合论的函数定义，已知集合，给出下列四个对应法则：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①③ B．①② C．③④ D．②④ 【答案】C 【解析】对应关系若能构成从到的函数， 须满足：对中的任意一个数，通过对应关系在中都有唯一的数与之对应， 对于①，，当时，，故不满足题意； 对于②，，当时，，故不满足题意； 对于③，，当时，，当时，， 当时，，当时，，故满足题意； 对于④，，当时，， 当时，，当时，，故满足题意． 故选：C. 3．（24-25高一上·山东青岛·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数的定义，在集合中任意一个数在中有且只有一个与之对应， 选项A中集合中2对应的数有两个，故错误； 选项B中集合中3没有对应的数，故错误； 选项C中对应法则为从到的函数，箭头应从指向，故错误； 选项D中集合中任意一个数在集合中都有唯一数与之对应，故D正确， 故选：D 4．（24-25高一上·山东青岛·期中）若函数的定义域，值域，则函数的图像可能是（    ） A．    B．  C．    D．   【答案】B 【解析】选项A，定义域为，与条件不符，故A错误； 选项B，定义域、值域均与条件相符，故B正确； 选项C，不符合函数的定义，在内的任一的值，在内并非只有唯一的值与之对应，故C错误； 选项D，值域与条件不符，故D错误． 故选：B． 题型二 同一函数的判定 5．（25-26高二上·安徽亳州·期中）下列函数，为同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A，函数的定义域为， 函数的定义域为， 因为函数与函数的定义域不相等，所以函数，不是同一个函数，A错误， 对于B，函数的定义域为， 函数的定义域为， 因为函数与函数的定义域不相等，所以函数，不是同一个函数，B错误， 对于C，函数的定义域为， 函数的定义域为， 且对于任意的，成立， 所以函数，是同一个函数，C正确， 对于D，函数的定义域为， 函数的定义域为， 因为函数与函数的定义域不相等，所以函数，不是同一个函数，D错误， 故选：C. 6．（24-25高一上·上海闵行·期末）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】A选项，，，两函数对应法则不同，故不是同一函数，A错误； B选项，令，解得，的定义域为， 的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数，B错误； C选项，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，不是同一函数，C错误； D选项，，， 两函数定义域和对应法则均相同，为同一函数，D正确. 故选：D 7．（24-25高一上·天津滨海新·月考）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是相同的函数； 对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是相同的函数； 对于C，的定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数； 对于D，的定义域为，的定义域为，定义域相同，，对应关系不同，所以不是相同的函数； 故选：C 8．（24-25高一上·上海·课后作业）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【解析】对于A，的定义域为,而的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，A错误， 对于B,与的定义域均为，且对应关系相同，故为相同函数，B正确， 对于C，的定义域为,而的定义域为，定义域不相同，故不是相同函数,C错误， 对于D，的定义域为，与的定义域为,定义域不相同，故不是相同函数,D错误， 故选：B 题型三 求已知函数的定义域 9．（25-26高一上·浙江丽水·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【解析】由题可知，解得且. 故选：D 10．（25-26高一上·甘肃临夏·期末）函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使函数有意义，则，即， 解得：或3＜x＜4，故函数的定义域为． 故选：D． 11．（25-26高一上·河北保定·月考）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，函数满足 解得且 故函数的定义域为 故选：D 12．（2026高一·上海·专题练习）函数的定义域是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【解析】因为且， 所以且， 解得，且. 故选：D 题型四 函数的图象 13．（2025高一上·上海·专题练习）如下图所示，向高为的水瓶 A，B，C，D 同时以等速注水，注满为止；若水深 与注水时间 的函数图象如图，则水瓶的形状是（    ）    A．    B．  C．   D．   【答案】D 【解析】A中的水瓶水面上升的速率越来越慢，不符合题意； B中的水瓶水面上升的速率越来越快，不符合题意； C中的水瓶的水面上升是均匀的，图象是一条直线，不符合题意； D中的水瓶的水面上升的速率先变慢再变快，和给出的图象相符， 故选：D． 14．（2025高一·全国·专题练习）某工厂近6年来生产某种产品的情况：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变．则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是（    ） A．      B．  C．  D．   【答案】A 【解析】∵前3年年产量的增长速度越来越快，∴当时，总产量增长速度原来越快，图象上升的速度越来越快． 又后3年年产量的增长速度保持不变，∴当时，图象的上升速度不变，图象为直线型，且c随t的增大而增大． 故选：A． 15．（25-26高一上·上海嘉定·月考）游泳池原有一定量的水．打开进水阀进水，过了一段时间关闭进水阀．再过一段时间打开排水阀排水，直到水排完．已知进水时的流量、排水时的流量各保持不变．用表示游泳池的水深，表示时间．下列各函数图象中能反映所述情况的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【解析】游泳池原有一定量的水，故函数图像不过原点，排除AC； 再过一段时间打开排水阀排水，故函数值有一段时间不变，排除B. 故选：D 16．（2025湖南·二模）将函数的图象向左平移1个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【解析】． 因为， 即，所以为奇函数，排除A； 令，解得，即有唯－的零点，排除C； 由解析式可知，排除D． 只有B符合条件． 故选：B． 题型五 求函数解析式 17．（24-25高一上·湖北鄂州·期中）已知函数，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 所以， 所以. 故选：D. 18．（25-26高一上·广东江门·期中）已知，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则且，所以，因此. 故选：A. 19．（25-26高一上·陕西西安·月考）已知函数，则等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】令，则， 所以. 故选：A. 20．（24-25高一上·广西南宁·期中）已知是一次函数，满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可设 ， 即 解方程可得，， 故选：． 题型六 分段函数求值问题 21．（25-26高一上·上海·期中）已知函数则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，. 故选：B 22．（25-26高一上·广东·期末）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】由已知，. 故选：. 23．（24-25高一上·上海宝山·月考）已知函数，则（    ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】C 【解析】当时，，故在时，为周期函数，最小正周期为1，因为2021>0，所以，又因为当时，，所以，所以 故选：C 24．（24-25高二下·山东·期末）已知函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，，. 故选：D 25．（24-25高三·安徽蚌埠·月考）设，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】因为， 所以， 所以， 故选：B 题型一 求函数的值域 26．（24-25高一上·北京·期中）函数，的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，对称轴为，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，由对称性可得， 所以函数的值域是. 故选：D. 27．（24-25高一上·湖北·月考）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，，则，所以原函数即为，， 对称轴方程为，可知，即， 函数的值域为. 故选：C 28．（2026高一·上海·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由、在上都单调递减， ∴，在上单调递减， ∴当时，有，所以值域为. 故选：B. 29．（24-25高一上·上海杨浦·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由反比例函数的性质可知：，则，故值域为. 故选：C. 30．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 因为函数在上单调递减， 所以当时函数的值域为， 则函数值域为， 故选：B. 31．（24-25高二上·上海徐汇·开学考试）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 所以对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 得当时取得最小值2，当或4时取得最大值，故值域为. 故选：D. 题型二 抽象函数的定义域 32．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的定义域是，所以， 要使有意义，只需，解得。 所以的定义域是. 故选：C 33．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的定义域为，所以， 因此 即函数的定义域为 故选：C 34．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知函数的定义域为[0,1],则的定义域为 A．[-2,-1] B．[-1,0] C．[0,1] D．[2,3] 【答案】A 【解析】由题意可得，函数的定义域为：， 则函数的定义域满足：， 解得：，表示为区间形式即. 故选A. 35．若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据已知可得函数的定义域需满足：, 解得， 即函数定义域为，故选B. 题型三 分段函数的应用问题 36．（2025·上海虹口·一模）已知， 若，则实数的取值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，，，A错误； 对于B，，可以取，B正确； 对于C，，，C错误； 对于D，，，D错误. 故选：B. 37．（24-25高三上·陕西西安·期中）设函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 不等式等价于或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 故选：B 38．（24-25高一上·北京·期中）函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】由已知时是减函数，，此时， 时，是增函数，且， 所以， 故选：A． 39．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）在R上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】二次函数的对称轴为， 因为函数在R上单调递增， 所以有，解得，即实数的取值范围是． 故选：C． 40．（24-25高三上·上海浦东新·期中）已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数，作图如下：    显然函数在上单调递增，由，则， 整理可得，解得. 故选：A. 41．（24-25高一上·河南南阳·期中）已知函数若，则实数（    ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解析】依题意 当时，； 当时， 故选：B 42．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，所以， 所以函数的定义域是. 故选：B. 43．（25-26高一上·安徽合肥·期中）如图为函数的图象，则的图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【解析】当时，则， 由函数图象，时，， 所以的图象经过点，结合选项可排除A,B,C. 故选：D. 44．（25-26高一上·广东中山·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数在上单调递增， 则函数在上为增函数，所以，可得， 函数在上为增函数，则， 且有，解得. 综上所述，.故选：C. 45．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知函数，则的单调增区间为 ；若则的值域为 ． 【答案】 【解析】当时，，单调增区间为， 当时，，单调增区间为， 又因为是连续函数，所以的单调增区间为， 当时，； 当时，； 所以当时，的值域为； 46．（25-26高一上·上海松江·期中）已知函数， 的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，， 当时，取得最小值，最小值为，此时的值域为， 当时，， ①当时，函数在上为单调递增，可得的值域为， 要使得函数的值域为，则，解得； ②当时，函数在为单调递减，可得的值域为， 此时函数的值域不可能为，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. 47．（25-26高一上·福建莆田·期中）设函数 (1)将函数写成分段函数； (2)画出函数的图象； (3)写出函数的定义域、值域和单调区间. 【解】（1）由题意，当时，， 当时，， 综上，. （2）图象，如图所示： （3）由（2）可得，定义域，值域R，单调递增区间和，无单调减区间. 48．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知一次函数，满足，； (1)求的解析式； (2)求的解析式. 【解】（1）设，则， 解得，， ∴； （2）由（1）知， ∴. 49．（25-26高一上·福建泉州·期中）求下列函数的值域 (1)， (2)， 【解】（1）由函数表达式：得：二次函数开口向上，对称轴为：； 定义域为：，在定义域内，所以时，取得最小值为； 又因为，根据函数的对称性可知，时，取得最大值为； 综上所述：函数在上的值域为. （2），定义域为：； 当时，，所以，所以，所以； 当时，，所以，所以，所以； 综上所述：在上的值域为. 50．（25-26高一上·甘肃武威·期中）（1）已知函数是一次函数，若，求的解析式． （2）已知函数对任意的都有，求的解析式． （3）已知函数对任意实数，满足，求的解析式． 【解】（1）设， 则， 所以，解得或， 即或； （2）令，则，可得； （3）因为， 所以， 联立方程解得. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 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