精品解析：湖南邵阳市隆回县第一中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

2026年上学期高二年级数学期考试题 时量：120分钟 分值：150分 一、单选题（共40分） 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】， 在复平面内对应的点为，位于第四象限. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】单调递增，， 单调递增，， ， 即“”是“”的充要条件. 3. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用基本不等式计算判断B，C，D，应用特殊值法计算判断A. 【详解】因为，且，则，所以，当且仅当时取等号，B选项错误； 因为，当时，，A选项错误； 因为，所以，当且仅当时取等号，C选项错误； 因为，当且仅当时取等号，D选项正确； 故选：D. 4. 已知向量，满足，，则在上的投影向量的模为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律及投影向量求解即可. 【详解】因为，所以， 所以在上的投影向量为， 所以投影向量的模为． 5. 已知中，角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，结合二倍角公式及正弦定理求出，再由余弦定理求出或，讨论舍去即可求出答案. 【详解】由，得， 所以. 由余弦定理，得， 解得或. 若，则，得，又由且，得， 所以，与矛盾； 若，由余弦定理得， 又，且， 所以，符合题意． 综上所述，. 6. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数与偶函数的定义可知，是奇函数，是偶函数，那么，，通过代换计算出函数的周期及特殊点的函数值即可求解. 【详解】根据奇函数与偶函数的定义可知，是奇函数，是偶函数， 那么，， 又函数的定义域为， 所以，令，得 ， 即， 令，得  即，所以，， 又，所以，， 令，得，所以， 令，得 ，即 由可得 ，故函数周期为4, ，故选项D正确， 对于选项A，构造函数,，周期为4，但， 选项A不一定成立，故A错误； 对于选项B，同样构造函数，， 选项B不一定成立，故B错误； 对于选项C，，结合选项A可知，不一定成立，故C错误. 7. 费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线（、为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线，为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中点以及角平分线的性质可得，即可根据双曲线定义得，代入到双曲线方程可得，即可根据离心率公式求解. 【详解】如图，延长交的延长线于点， 由于是的角平分线上的一点，且, 所以点为的点，所以, 又为的中点，所以， 故， 故，即，将点代入可得，解得， 故离心率为， 故选：C. 8. 已知函数．若函数有三个极值点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据极值点的条件，先可推出的关系，然后根据二次函数根的分布知识求出的范围，最后利用韦达定理求解. 【详解】，则， 由题意，得到，从而， 而， 故，令， 由， 于是有两个根，满足， 注意到二次函数开口向上，对称轴为，故， 解得，于是有两个根，满足，根据韦达定理，. 故选：D 二、多选题（共18分） 9. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据偶函数的定义判断A；根据余弦型函数的性质判断BCD. 【详解】对于A：，显然，所以不是偶函数，A错误. 对于B：的最小正周期为，B正确. 对于C：当时，， 余弦函数在对称轴处取最值，所以是的对称轴，C正确. 对于D：当时，，则， 所以在上的值域为，D错误. 10. 如图，在直三棱柱中，为的中点.若为线段上两点，且，则（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理、三角形中位线定理、异面直线所成角的定义，结合三棱锥体积公式和等积性逐一判断即可. 【详解】A：连接交于，连接，易知为中点， ，平面，平面， 所以面，所以本选项说法正确； B：延长交于点，连接．则为平面与平面的交线，由于为中点， 所以，四边形为平行四边形．所以， 即为异面直线与所成角， 因为， 所以，，，，，所以本选项说法不正确； C：， 在平面中，点到的距离为定值，而， 所以的面积是定值， 又因为三棱柱是直棱柱， 所以平面，平面， 所以，由上可知为中点，， 所以，因为平面， 所以平面， 所以是定值，所以三棱锥的体积为定值，因此本选项说法正确； D：设点到平面的距离为， 因为， 所以，所以， 因为三棱柱是直棱柱， 所以平面，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面， 所以平面，因为为中点， 所以点到平面的距离为， 所以由，得， 所以本选项说法正确. 故选：ACD 11. 已知抛物线：的焦点为，若直线过点与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 一定为钝角 C. 直线的斜率最大值为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用直线过定点确定抛物线焦点，求出的值判断A；直线与抛物线联立，写出韦达定理，利用向量数量积的符号判断B；由中点坐标得到斜率表达式，用基本不等式求最值判断C；写出中垂线方程，求出坐标，分别计算与焦点弦，把化为关于的函数，求其值域判断D. 【详解】选项A，抛物线：的焦点为， 因为直线过抛物线焦点，所以，解得， 则抛物线方程为，抛物线准线方程为，A正确； 选项B，设直线与抛物线的交点为， 联立直线与抛物线方程，消去，整理得， 因，则，， 则， 且不共线，故一定为钝角，B正确； 选项C，设弦的中点为，则， 将代入，得到，即， 于是，， 当时，，当时，， 当时，，当且仅当，即时取等， 即的最大值为，C错误； 选项D，，， 当时，，此时,则， ，可得，解得； 当时，，中垂线斜率为，， 则的中垂线方程为， 将代入上式，整理得 ，则得， 故， 因为，所以， 因为，则，即的取值范围为，D正确. 三、填空题（共15分） 12. 样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的75百分位数为______． 【答案】 【解析】 【分析】按照百分位数的定义易得. 【详解】因，故这组数据的75百分位数为按照从小到大顺序排列后的第8个数，即为7. 故答案为：7. 13. 某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为____________． 【答案】##0.6875 【解析】 【分析】设“小胡从这8题中任选1题且答对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D，利用全概率公式进行求解即可. 【详解】设“小胡从这8题中任选1题且作对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D， 则，，， ， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 14. 在三棱锥中，，，，，若该三棱锥的4个顶点均在一个球面上，则该球的表面积为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量以及外接球的性质可得，列出方程，再由球的面积公式即可求解. 【详解】设，，方向上的单位向量分别为，，，由题意可得， 且，，，设该三棱锥外接球的球心为，半径为，设， 由外接球的性质可得，，， 又， ， ， 所以，，， 即，，，三式相加可得，， 则，回代解得，，， 所以， 所以该三棱锥外接球的表面积. 四、解答题（共77分） 15. 已知的展开式中，二项式系数和为256. （1）求n的值； （2）求该展开式中的常数项； （3）求该展开式中所有的有理项. 【答案】（1） 8 （2） 1792 （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数和的性质，即二项式系数和为，可求出的值； （2）先写出二项展开式的通项公式，再令通项公式中的指数为，求出对应的值，进而得到常数项； （3）根据有理项的定义，即的指数为整数，结合通项公式确定的取值，从而得到所有的有理项． 【小问1详解】 由二项式系数和为，得． 【小问2详解】 展开式的通项为， 令，得，故常数项为． 【小问3详解】 要使为整数，需为的倍数，又，故． 当时，； 当时，； 当时，． 故有理项为． 16. 在中，内角、、的对边分别为、、，已知. （1）求角的大小； （2）已知，为的中点，且，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，再结合角的取值范围可得出角的值； （2）由题意得出，利用平面向量数量积的运算性质以及余弦定理可得出、的方程组，解出、的值，可得出的值，即可得出的周长. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 因为，所以， 代入上式：，整理得， 因为，所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为为中点，所以， 两边平方得 ，可得①， 由余弦定理可得②， 整理可得，，故， 故的周长为. 17. 已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l：与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在定点， 【解析】 【分析】（1）直接由椭圆C过点和解方程即可； （2）先联立直线和椭圆，通过∠EQP＝2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF，表示出，由解出点P的坐标即可. 【小问1详解】 由题知，椭圆C过点和， 所以，解得 所以椭圆C的方程为． 【小问2详解】 假设在y轴上存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，设，， 由，得，∴， ∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP ∴点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF ， ∴ ∴恒成立 ∴，解得 ∴ ∴存在定点，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立． 【点睛】本题关键点在于利用∠EQP＝2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上，进而得到，表示出，，联立直线和椭圆后，由韦达定理及建立方程解出点P的坐标即可. 18. 一个不透明的盒子里有质地、大小相同的8个小球，其中2个红球、6个黑球，不放回地从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球. （1）求停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球的概率； （2）停止摸球时，记总的摸球次数为，求的分布列与数学期望； （3）若将这8个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有1个红球、3个黑球.现从甲乙两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重复次这样操作后，设甲袋子中恰有1个红球的概率为，求. 【答案】（1） （2） X 2 3 4 5 6 7 P （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率计算公式即可求出结果. （2）分别求出的概率，即可列出分布列和求出数学期望. （3）根据题干列出的递推公式，再利用构造新数列的方法即可求出结果. 【小问1详解】 依题意停止时恰好取了4次，前3次为2个黑球1个红球，第4次为红球， 其概率为. 【小问2详解】 依题意. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 故分布列为： X 2 3 4 5 6 7 P 期望. 【小问3详解】 依题意有甲袋始终有4个小球，重复次这样操作后，记甲袋子中恰有2个红球的概率为，恰有0个红球的概率为，则. 令， 即数列是以为首项，公比为的等比数列， .当时满足等式. 19. 已知函数． （1）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （2）若，求证：； （3）若，，关于的不等式恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2）证明：因为，所以， 故要证，需证，即证， 即证（*）， 令，则． 令，则；令，则． 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，即， 令，从而由（*）只需证． 令，则， 所以在上单调递增，故， 所以，从而恒成立． （3） 【解析】 【分析】（1）将问题转化为函数的图像与直线有两个交点，数形结合即可求出； （2）利用同构思想求证即可； （3）令，分、两种情况讨论其单调性求最大值，得出，再构造函数即可求出． 【小问1详解】 的定义域为，令，即， 即，即， 设，则． 当时，，在上单调递增； 当时，，在单调递减，所以． 又，当时，；时，． 画出的大致图象如图所示． 函数有两个零点，等价于函数的图像与直线有两个交点，则需使, 由图象可得，实数a的取值范围为． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 时，恒成立，即恒成立， 也即恒成立． 设函数， （ⅰ）当时，因为函数，在上均为减函数，所以函数在上单调递减． 且当时，，与题意不符； （ⅱ）当时，， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以， 依题意，，即， 所以， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以当时，取得最大值，最大值为． 故， 所以，当，时等号成立． 综上所述，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高二年级数学期考试题 时量：120分钟 分值：150分 一、单选题（共40分） 1. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，，则在上的投影向量的模为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知中，角所对的边分别为，若，，，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 6. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 7. 费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线（、为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线，为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（     ） A. B. C. D. 8. 已知函数．若函数有三个极值点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 已知函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期为 C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 10. 如图，在直三棱柱中，为的中点.若为线段上两点，且，则（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 点到平面的距离为 11. 已知抛物线：的焦点为，若直线过点与交于，两点，线段的中垂线与的准线交于点，且线段的中点为，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 一定为钝角 C. 直线的斜率最大值为 D. 若，则 三、填空题（共15分） 12. 样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的75百分位数为______． 13. 某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为____________． 14. 在三棱锥中，，，，，若该三棱锥的4个顶点均在一个球面上，则该球的表面积为_________________． 四、解答题（共77分） 15. 已知的展开式中，二项式系数和为256. （1）求n的值； （2）求该展开式中的常数项； （3）求该展开式中所有的有理项. 16. 在中，内角、、的对边分别为、、，已知. （1）求角的大小； （2）已知，为的中点，且，求的周长. 17. 已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l：与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 18. 一个不透明的盒子里有质地、大小相同的8个小球，其中2个红球、6个黑球，不放回地从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球. （1）求停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球的概率； （2）停止摸球时，记总的摸球次数为，求的分布列与数学期望； （3）若将这8个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有1个红球、3个黑球.现从甲乙两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重复次这样操作后，设甲袋子中恰有1个红球的概率为，求. 19. 已知函数． （1）若函数有两个零点，求实数的取值范围； （2）若，求证：； （3）若，，关于的不等式恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $