精品解析：湖南邵阳市邵东市第一中学2025-2026学年高二下学期第三次学情监测数学试卷

2026年上学期高二第三次监测数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得集合，集合， 根据交集的定义得. 2. 复数是成立的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充要条件的判定，分别验证充分条件和必要条件是否成立，从而得到结果. 【详解】对一元二次方程  配方得 ，解得根为  或 ， 判断充分性：若 ，代入方程左边计算： ，等式成立，因此可以推出方程成立，充分性满足； 判断必要性：若方程  成立，还可以是 ，不一定等于 ，因此方程成立推不出 ，必要性不满足； 因此 是  成立的充分不必要条件. 3. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助辅助角公式即可求解． 【详解】由题意， ， 又，所以， 所以． 4. 已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的模的计算及向量的数量积求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，又，所以． 5. 现有4名同学，需要把他们全部安排到甲、乙两个场馆参加志愿服务，每人只能去1个场馆，且每个场馆至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 12种 B. 14种 C. 16种 D. 18种 【答案】B 【解析】 【分析】结合两组人数的不同分配以及排列数、组合数的计算求得正确答案． 【详解】根据题意，有和两种分组方式，则不同的安排方法共有种． 6. 已知在三棱锥中，除PC外其他各棱长均为，且二面角的大小为．若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件得出为等边三角形，利用球心O在线段DF上，易知O在直线DC上的射影G为正的重心，结合，求出OG，再结合勾股定理即可求出球的半径R，从而求出球的表面积． 【详解】如图，设D，F分别为AB，PC的中点， 连接，则球心O必在线段DF上，且． 设O在直线DC上的射影为G，则G为正的重心，且底面． 所以，， 所以，， 故球的表面积为. 7. 双曲线C：的右支上一点P在第一象限，分别为双曲线C的左、右焦点，M为的内心，若内切圆M的半径为1，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，切线长定理以及双曲线的定义求出点的坐标，再结合斜率的定义及二倍角的正切公式求解. 【详解】双曲线的实半轴长，焦点， 设圆与三边分别相切于点， 则， 又，解得，， 则点，因为轴，所以由题，， 所以直线的斜率. 故选：D 8. 已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数f(x)为“局部奇函数”，若函数是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数新定义计算在区间有解问题，列方程换元求解即可. 【详解】选B.根据“局部奇函数”的定义可知，方程有解即可，即，所以，化为有解，令，则有在上有解，设，对称轴为.①若，则Δ＝，满足方程有解；②若，要在时有解，则需 ，解得.综上可得实数m的取值范围为． 故选：B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，至少有两个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在定义域内单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由对数函数的定义域求得函数定义域，由复合函数对称性得到对称轴，复合函数的单调性求得单调区间，由单调区间求得最大值． 【详解】，则，所以，定义域为，A正确； ，令，则， 因为二次函数的图象的对称轴为直线， 因为的定义域为，所以的图象关于直线对称，C正确； 且在上单调递增，在上单调递减，B错误； 当时，t有最大值，所以，D错误. 10. 抛物线的焦点为F，顶点为O，过点F作倾斜角为的直线l，交抛物线于A，B两点，点A在x轴上方，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为，，准线与x轴交于点C，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 三角形ABC面积的最小值为3 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出两点的坐标可判断A；根据焦半径公式可判断B；根据弦长公式、点到直线距离公式，结合三角形面积公式判断C；利用焦半径公式结合基本不等式以及韦达定理可判断D． 【详解】由可得，抛物线的焦点为，准线方程为， 选项A：当时，可得，，，故A正确； 选项B：当时，直线l的方程为，与抛物线方程联立， 消去y，化简整理得，解得或， 所以，，所以，故B正确； 选项C：设直线l的方程为，与抛物线方程联立， 消去x，化简整理得，设，，则，， 所以， 又点C到直线l的距离， 所以， 当且仅当时，等号成立，三角形面积的最小值为4，故C错误； 选项D：由抛物线的定义得 ， 当且仅当，即时等号成立，故D正确． 11. 单个水果的质量Y（单位：克）服从正态分布，且，规定单个水果的质量与15克的误差不超过2克即是优质品．现从这批水果中随机抽取n个，其中优质品的个数为X，下列结论正确的是（ ） A. 若，则的最大值为3 B. 若，，当取最大值时， C. 当，n为偶数时， D. 若，，则n的最小值为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由二项分布的方差公式直接验算即可判断；对于B，由题意列出不等式组即可验算；对于C，由二项分布概率的可加性即可验算；对于D，由题意得，将它转换为关于n的不等式即可求解． 【详解】由题意可知，优质品的质量位于13克至17克之间，即，可知． 对于A，，， 当且仅当，即时，取得最大值3， A正确． 对于B，，当取最大值时，， 即，解得，即或9，B错误． 对于C，，则所有偶数项的概率和为，所有奇数项的概率和也为， 所以，C正确． 对于D，，因为，所以， 所以，化简得， 令，因为，所以单调递减， 又，，所以n的最小值为5，D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若的展开式的二项式系数和为64，则其展开式的第四项系数为________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，故， 展开式通项为， 当时，其第四项系数为. 13. 已知奇函数的周期为2，且当时，，则________． 【答案】-6 【解析】 【详解】由的周期为2，可得， 由是奇函数，可得， 因为当时，，所以， 即． 14. 已知的面积为S，且，，所对的边记为a，b，c，满足，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理、三角形面积公式，结合基本不等式、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】根据余弦定理，，即， 则的面积为， 所以． 又由，可得，当且仅当时等号成立， 所以，，则A为锐角， 所以， 所以的最大值为． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分．请在答题卷上写出必要的解题步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，利用等差数列前项和公式结合已知条件求出，进而求出通项公式； （2）求出，进而列出，再利用错位相减法结合等比数列前项和公式计算求解． 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 由题意可得，结合，解得， 所以数列的通项公式． 【小问2详解】 由（1）知：， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以． 16. 如图，正方形的边长为．如图，现将正方形沿着对角线翻折，其中为原正方形的中心． （1）证明：平面平面； （2）翻折至四面体的体积最大时，求与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）在图中连接，， 由是正方形，则和都是等腰三角形， 又是正方形中心，所以，， 因为，且，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，及线面垂直的判定和性质即可证明； （2）先根据题意及面面垂直的性质得到，，两两垂直，从而建立对应的空间直角坐标系，再计算及平面的一个法向量，进而计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在翻折过程中，四面体的体积取最大值时，点到平面的距离最大， 此时平面平面， 因为，且平面平面，平面， 所以平面ABC，所以，，两两垂直． 则以为坐标原点，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图， 因为正方形的边长为，则， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量， 因为，即， 令，则，，得， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成的角的正弦值为． 17. 为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于 （年份）的线性回归方程，且销量的方差为，年份 的方差为． （1）求与 的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份 的线性相关性的强弱． （2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？ （3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男性的人数为 ，求 的分布列和数学期望． ①参考数据：． ②参考公式：线性回归方程为，其中； 相关系数，若，则可判断与 线性相关较强； ，其中 ．附表： 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）电动汽车销量与年份 的线性相关性的较强； （2）依据小概率值的独立性检验，认为购买电动汽车与车主性别有关； （3）分布列： 0 1 2 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线性回归方程，结合相关系数公式计算作答. （2）根据给定的列联表求出的观测值，再与临界值表比对作答. （3）利用分层抽样求出男女性人数，再求出 的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出方差作答. 【小问1详解】 由，得，由，得， 因为线性回归方程，则， 即， 因此相关系数， 所以电动汽车销量与年份 的线性相关性的较强. 【小问2详解】 零假设：购买电动汽车与车主性别无关， 由表中数据得：， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问3详解】 按购买电动汽车的车主进行分层抽样，抽取的7人中男性有人，女性有5人， 则 的可能值为，， 所以 的分布列为： 0 1 2 的数学期望. 18. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； （2）若恰有两个零点，求实数的取值范围； （3）证明：当时，． 【答案】（1） （2） （3）当时，要证成立，即证成立， 记，则，． 记，， 和在上均单调递减， 在上单调递减， 又，， 存在，使得，即， ，， 当时，，即， 在上单调递增，当时，，即， 在上单调递减， ， ，故成立，原命题得证． 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何性质求出切线方程，结合已知条件求出； （2）令，得，构造函数，求导，利用导数分析函数的单调性和极值，结合极限分析求出实数的取值范围； （3）把不等式转化为，构造函数，求导并分析函数单调性，求出的最大值，进而得出，命题得证． 【小问1详解】 函数的定义域为， 所以， ，， 曲线在点处的切线方程为， 把代入，得． 【小问2详解】 令，得， 令，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 当时，， 当且趋近于0时，趋近于； 当趋近于时，且趋近于0， 要使函数有两个零点，只需，即实数的取值范围为． 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，离心率为，且． （1）求C的方程； （2）已知M，N是直线上的两点，且满足，记直线，的斜率分别为，． （i）求的值； （ii）若直线与C交于另外一点P，直线与C交于另外一点Q，求点B到直线的距离的最大值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程，求解，即可得到椭圆方程； （2）（i）利用斜率公式及两直线垂直的条件化简即可求解； （ii）当直线的斜率存在时，设出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理，结合，进而得出直线过定点，当直线的斜率不存在时，求出直线，与椭圆的方程联立，得出坐标，得出直线过定点即可求解. 【小问1详解】 由题意知 解得，，， 所以C的方程是． 【小问2详解】 （i）由题意知，设，，因为， 所以，即， 所以． （ii）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 由得， 所以，，， 所以，整理得， 所以，整理得， 所以或． 当时，直线的方程为，过定点，不符合题意； 当时，直线的方程为，过定点． 当直线斜率不存在时，，，，直线的方程是与椭圆方程联立得， 同理得，此时直线的方程是，过定点． 综上，直线过定点，该定点坐标是， 当时，点B到直线的距离取得最大值，最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高二第三次监测数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数是成立的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 现有4名同学，需要把他们全部安排到甲、乙两个场馆参加志愿服务，每人只能去1个场馆，且每个场馆至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 12种 B. 14种 C. 16种 D. 18种 6. 已知在三棱锥中，除PC外其他各棱长均为，且二面角的大小为．若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线C：的右支上一点P在第一象限，分别为双曲线C的左、右焦点，M为的内心，若内切圆M的半径为1，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数f(x)为“局部奇函数”，若函数是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，至少有两个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 9. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在定义域内单调递增 C. 的图象关于直线对称 D. 的最大值为 10. 抛物线的焦点为F，顶点为O，过点F作倾斜角为的直线l，交抛物线于A，B两点，点A在x轴上方，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为，，准线与x轴交于点C，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 三角形ABC面积的最小值为3 D. 的最小值为 11. 单个水果的质量Y（单位：克）服从正态分布，且，规定单个水果的质量与15克的误差不超过2克即是优质品．现从这批水果中随机抽取n个，其中优质品的个数为X，下列结论正确的是（ ） A. 若，则的最大值为3 B. 若，，当取最大值时， C. 当，n为偶数时， D. 若，，则n的最小值为5 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 若的展开式的二项式系数和为64，则其展开式的第四项系数为________． 13. 已知奇函数的周期为2，且当时，，则________． 14. 已知的面积为S，且，，所对的边记为a，b，c，满足，则的最大值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分．请在答题卷上写出必要的解题步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 如图，正方形的边长为．如图，现将正方形沿着对角线翻折，其中为原正方形的中心． （1）证明：平面平面； （2）翻折至四面体的体积最大时，求与平面所成的角的正弦值． 17. 为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于 （年份）的线性回归方程，且销量的方差为，年份 的方差为． （1）求与 的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份 的线性相关性的强弱． （2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？ （3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男性的人数为 ，求 的分布列和数学期望． ①参考数据：． ②参考公式：线性回归方程为，其中； 相关系数，若，则可判断与 线性相关较强； ，其中 ．附表： 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； （2）若恰有两个零点，求实数的取值范围； （3）证明：当时，． 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，离心率为，且． （1）求C的方程； （2）已知M，N是直线上的两点，且满足，记直线，的斜率分别为，． （i）求的值； （ii）若直线与C交于另外一点P，直线与C交于另外一点Q，求点B到直线的距离的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $