湖南长沙市周南中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

湖南长沙市周南中学2025-2026学年高二 下学期期末考试数学参考答案 一、单选题 1~5:BAADC 6.C7.A8.B 二、多选题 9.AC 10.ABC 11.AC 三、填空题 § 1_5-ln2 7 12.213.2,4 14.3 四、解答题 2V2 15.【答案】(1)略：(2)3. 【详解】(1)解法1：连接AB,AC, 因为在直三棱柱ABC-ABG中，四边形AMB,B为平行四边形， 所以M为AB中点，又N为BC的中点，所以MNAC.3分 因为MNz平面AACC,ACC平面A4CC,所以MN∥平面AACC.5分 解法2：证明：AB取中点P,连结MP,PN,由M,N分别是AB与B,C的中点， 所以MPIIBB IAA, 又因为MP文平面A4CC,A4c平面A4CC, 所以MP∥平面A4CC 同理，NP∥平面A4CC.3分 又MP∩P=P,MP、Pc平面MPN, 所以面MPV∥面AACC 而MNc平面MPV,所以MN∥平面A4CC.5分 (2)以伍，4C,4风}为正交基底，霆立如图所示空间直角坐标系4-02， M 设AA=1,则AB=AC=V2. 则A(0,0,0). aaaoce0l4aal.awzl.M是a 7分 不-aa6号到云学学到 设平面MNC的一个法向量为方=(x,少z), 则iMN=0,i.CN=0. √2 1 y+。z=0 2 2 2 -X- 即(2 2y+2=0 令y=1,则x=3,z=-V2, 所以平面MNC的-个法向量为万=(3，L-2)】 11分 设直线4B与平面NC所成角为9，又4B=(N2,0-】 4v2 sin=cos B, AB.n 2V2 4B 23x5 则 2W2 所以直线4B与平面MNC所成角的正弦值为3.13分 16.解(1)由正弦定理及题意得 √3sin4sinB--sinBcosA=sinB,2分 又sinB≠0，所以V3sinA-cosA=1, 所以 04= -sin4-1 2 ( 5分 Aπ∈_π5 因为4∈(0，)，所以6L 66 A、ππ A=3 所以66，即3. 7分 (2)由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA,9分 所以4=b+c2-bc≥2bc-bc=bc,即bc≤4,11分 当且仅当b=C时，等号成立， 所以 2 所以△ABC面积的最大值为V3. 15分 a(d+1)=3 ∫a1=1∫a=3 17.(1)由题意知30+3d=9 解得d=2或d=0(舍去)， 所以0.=1+2(0m-)=2n-1,3分 则6=4=1,9=d+1=3,所以b,=1×31=3. 6分 an58-固 8分 m=g+…ea-g 女=周ag+s4er-n 10分 -+)++a- 两式相减得 uw =1+2× 11-e-62-+2r ，4分 7=3-n+1 故 3- 15分 18.(1)由频率分布直方图得，众数为590： 0.005×20+0.010×20=0.3,0.005×20+0.010×20+0.020×20=0.7, 中位数为580+(0.5-0.005×20-0.010x20)÷0.02=590 4分 (2)由频率分布直方图可知，抽取的100名学生中成绩合格的有 100×20×(0.0050+0.0100+0.0200)=70人，则成绩优秀的有30人. 补全2×2列联表如下： 主动预习 不主动预习 合计 合格 25 45 70 优秀 20 10 30 合计 45 55 100 7分 提出假设H:学生成绩优秀与主动预习无关. 100×(25×10-45×20)216900 因为 70×30×45×55 2079 ≈8.129>6.635=x01 11分 所以依据小概率值Q=0.01的独立性检验，推断H0不成立. 即可以认为学生成绩优秀与主动预习有关. 13分 45 (3)由题意可知从全市所有在校学生中随机抽取1人，其主动预习的概率为10 =0.45 则Y~B(20,0.45) .15分 所以E(Y)=20×0.45=9.D(Y)=20x0.45x1-0.45)=4.95 17分 c I a-2 a2=b2+c2 3)2 1 (2 a=2 = b2 =1 19.(1)由题可知： ,解得b=V5,所以椭圆C的方程为4+ 4分 (2)()4+k不为定值.理由如下.设点M(L,,E(,),F(,) =1 43 设1：X=mwv+4,由x=my+4得(3m+4)y2+24my+36=0 由△>0，得(24m)°-4×36x(3m2+4)>0 解得m>2或m<-2, 又点E,F在x轴下方，则m>2, -24m 36当+五=-2m 由韦达定理得 +⅓3m2+4,43m+4,行3，即-2m%=3(0y+2）, k=当1 k2=1 因为七-1 女2-1 k+k=-+2-‘-y-x-)+(s-10(3-) 所以 x-1x2-1 (x-1)(x2-1) _（4-t)(m,+3)+(my+3凸2-1_2myy+3-m)(0y+2)-61 (my+3)(my2+3) m2yy2+3m(y+y2)+9 m子 3m-++9 所以k+k不是定值. 13分 B B(0,5).M,). 65- ,由(i)得 =子-6=子6)+5 则直线ME的方程为 --(含+5j-).m3y-35+35=48-5. 33 省5时，得5，所以ME必过定5③ y= 17分 湖南长沙市周南中学2025-2026学年高二 下学期期末考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数，则（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．在二项式的展开式中，的系数为（ ） A．32 B．16 C．8 D．4 4．已知双曲线：的实轴长是虚轴长的倍，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．已知圆：，直线：，圆上到直线的距离等于1的点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A． B． C． D． 7．设，是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若与的图象有唯一公共点，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知数列满足，，则下列结论正确的有（ ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C．的通项公式为 D．数列是递增数列 10．过抛物线：的焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（ ） A．抛物线的准线方程为 B．当的倾斜角为时， C．当垂直于轴时，弦长最小 D． 11．已知函数，则下列说法正确的有（ ） A．对任意的，均有两个零点 B．若方程有两实根，则 C．若正实数，满足，则 D．若，则 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．__________． 13．已知函数，则函数的极大值点为__________，极大值为__________． 14．已知球是棱长为1的正方体的内切球，点为球表面上一动点，且满足平面，则的最大值为__________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）如图，在直三棱柱中，，，点，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16．（15分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值． 17．（15分）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，． （1）求，的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 18．（17分）某高中研究小组为研究学生学习效果与主动预习的关系，从全市若干所高中学校的所有学生中随机抽取100名学生进行调查．经统计，其中主动预习的有45人，且这100名学生近期考试成绩（分数均在内）的频率分布直方图如图所示，记总成绩不低于600分的为优秀，其余为合格． 主动预习 不主动预习 合计 合格 优秀 10 合计 100 （1）根据这100名学生成绩频率分布直方图，估计全市学生成绩的众数和中位数； （2）请完成上面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的成绩优秀与主动预习有关？ （3）若将频率视作概率，从全市所有高中在校学生中随机抽取20人进行调查，记20人中主动预习的人数为，求的均值和方差． 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 19．（17分）已知椭圆：的离心率为，过点． （1）求的方程； （2）已知点，过点的直线交于，两点（，在轴的下方），直线交直线于点． （i）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ii）证明：直线过定点． 学科网（北京）股份有限公司 $