精品解析：河北枣强中学2025-2026学年高二下学期7月期末二考试数学试题

高二年级下学期期末二考试数学学科试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，，，则的公差为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列数列中，既是等差数列也是等比数列的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 在等比数列中，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列，下列不是该数列的通项公式的是（ ） A. B. C. D. 6. 设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在垄断条件下，常需要考虑边际要素成本，记边际要素成本为，成本为，当要素供给函数为线性函数（且，均为常数）时，可得，这里记为供给公差．当时，供给公差为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数，已知对任意恒成立，则（ ） A. 曲线过定点 B. 的取值范围是 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增 10. （多选）若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（   ） A. B. C. D. 11. 若数列满足：存在正整数 ，使得时，恒有（为常数），则称数列为“阶等和数列”，其中为该数列的“阶和”．已知无穷数列是“阶等和数列”，，，，且“阶和”，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 任给正整数，都有 C. 存在无穷多个正整数，使得 D. 当，且的前项和为时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数列中，，，则__________． 13. 已知，则的最小值为_____． 14. 已知等比数列与等差数列的各项均为正整数，其公比与公差分别为，，的前项和为．若对任意正整数，，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 16. 在数列中，，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 黑板上先写有两个数1，1，记为第1行.由第n行得到第行的规则如下：保持原有各数及顺序不变，并在每两个相邻数之间插入这两个数的和.例如：前三行为1，1→1，2，1→1，3，2，3，1.设第n行所有数之和为. （1）证明是等比数列，并求的通项公式； （2）记第n行中位于偶数位置的所有数之和为，求的通项公式. 18. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）解关于x的不等式； （3）当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 19. 已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． （1）求和的通项公式； （2）设数列的前项和 ①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级下学期期末二考试数学学科试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在等差数列中，，，则的公差为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由等差数列的性质，得，解得， 故的公差. 2. 下列数列中，既是等差数列也是等比数列的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，数列不是等差数列，A错误 对于B，，数列不是等比数列，B不是； 对于C，，数列不是等比数列，C不是； 对于D，数列是非0常数列，既是等差数列也是等比数列，D是. 3. 在等比数列中，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式将已知条件转化为关于公比的方程，结合正项条件确定的取值，再根据的值计算. 【详解】设等比数列的公比为，，通项公式为（）, 将、代入，得：  ， 由于等比数列首项，等式两边同除以，整理得：  解得或， 已知，且，故，舍去，得， 由，代入得，解得， 因此. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】不等式，解得， 所以原不等式的解集是. 5. 已知数列，下列不是该数列的通项公式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A：当为奇数时，；当为偶数时，，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式； 对于B：当时，；时，；时，，以此类推，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式； 对于C：根据余弦函数性质，，与B相同，所以是该数列的通项公式； 对于D：，与数列的对应项不符，故不是该数列的通项公式． 6. 设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为数列是单调递增数列， 所以，， 即， 化简得，， 当时，有最大值， 所以. 7. 在垄断条件下，常需要考虑边际要素成本，记边际要素成本为，成本为，当要素供给函数为线性函数（且，均为常数）时，可得，这里记为供给公差．当时，供给公差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用分组求和法和等差数列求和公式求得，由此可求. 【详解】因为， 所以， 化简可得， 又， 所以， 即， 所以当时，供给公差为. 8. 已知，，都是非零实数且，设甲：，乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】对或展开化简，得到，不妨取，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，所以， 又， 所以， 所以，即或或. 不妨设，即，则， 又，所以， 同理，当或时，也满足，故甲能推出乙. 因为，所以， 又， 所以 其中， 若，则，即， 与题设矛盾，所以， 故或或， 不妨设，即，则， 又，所以， 同理，当或时，也满足，故乙能推出甲. 综上，甲是乙的充要条件. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设函数，已知对任意恒成立，则（ ） A. 曲线过定点 B. 的取值范围是 C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】由二次函数的基本性质，结合函数过定点的判定、恒成立条件下参数范围求解、单调性与对称轴的关系逐一分析选项. 【详解】对于A：将整理为，令，可得，取值与无关， 因此曲线恒过定点，A正确； 对于B：是开口向上的二次函数，对任意恒成立， 则判别式，解得，即，B正确； 对于C：二次函数的对称轴为，由得对称轴范围是， 区间内的所有值均小于，即全部在对称轴左侧，开口向上的二次函数在对称轴左侧单调递减， 因此在上单调递减，C正确； 对于D：当时，对称轴为，区间在对称轴左侧，此时在上单调递减，D错误. 10. （多选）若是等差数列，则下列数列为等差数列的有（   ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列的定义逐项判断即可. 【详解】设等差数列的公差为. 对于A，， 所以是以为公差的等差数列，A正确； 对于B，， 因为不一定为常数，所以不一定是等差数列，B错误； 对于C，因为，所以为常数列，故为等差数列，C正确； 对于D，因为，所以为等差数列，D正确. 11. 若数列满足：存在正整数 ，使得时，恒有（为常数），则称数列为“阶等和数列”，其中为该数列的“阶和”．已知无穷数列是“阶等和数列”，，，，且“阶和”，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 任给正整数，都有 C. 存在无穷多个正整数，使得 D. 当，且的前项和为时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，根据题设定义得，，即可求解；对B，根据条件直接得数列的前项，再由数列的周期性，即可求解；对C，利用数列的前项可得，即可求解；对D，根据条件可得的前3项，再利用数列的周期性，即可求解. 【详解】对于A，由题意知，，两式相减，得，故A正确， 对于B，数列的前6项依次为，均不为，又，故B正确， 对于C，由B中分析可得，即均有，故C正确， 对于D，因为，且的前3项依次为， 记的前项和为，则由周期性可得，， 当的前项和为时，，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数列中，，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，代入，得， 当时，代入，得. 13. 已知，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. 14. 已知等比数列与等差数列的各项均为正整数，其公比与公差分别为，，的前项和为．若对任意正整数，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用建立首项关系，再由时，推出公比，结合数列各项为正整数的整除性约束，得，，最终求得． 【详解】因为等差数列的各项均为正整数，所以公差为非负整数， 由等差数列的通项公式可得，所以 当时，，则， 因为等比数列的各项均为正整数，所以， 若，则，不成立， 故，且， 当时，， 整理得，即， 由等比数列的定义可得， 则， 因为与互质，所以要使对于任意正整数，均为整数，必须满足分母能够整除首项， 若，则必然存在某个正整数使得，此时不可能为整数， 所以，则， 所以，，则． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）已知，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据对进行变形，再根据不等式的性质计算求解； （2）用待定系数法将变形，根据已知范围确定的范围． 【详解】（1）， ∴，，， ， 且， ， 的取值范围为． 设， 解得，即， ， ， 又， ， 即的取值范围为． 16. 在数列中，，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2）前项和 【解析】 【分析】（1）令，可得，利用累加法可求的通项公式； （2）利用错位相减法可求数列的前项和． 【小问1详解】 令，由，得，， 所以， 当时，得 ， 又适合上式，所以，所以 所以 【小问2详解】 由（1）知， 设数列的前项和为， 所以， 所以， 两式相减得 ， 所以. 17. 黑板上先写有两个数1，1，记为第1行.由第n行得到第行的规则如下：保持原有各数及顺序不变，并在每两个相邻数之间插入这两个数的和.例如：前三行为1，1→1，2，1→1，3，2，3，1.设第n行所有数之和为. （1）证明是等比数列，并求的通项公式； （2）记第n行中位于偶数位置的所有数之和为，求的通项公式. 【答案】（1）证明：由第行得到第行时，原有各数及顺序保持不变，并在每两个相邻数之间插入这两个数的和，因为每一行首尾均为1，所以第行所有相邻两数之和的总和为， 于是，即， 又，所以，故数列是首项为1，公比为3的等比数列， 从而，即. （2） 【解析】 【分析】（1）通过分析第行到第行的和的递推关系，构造出，证明是等比数列，进而求出的通项； （2）先利用第行偶数位置数的来源，建立与的关系，再代入的通项，分和得到的分段通项. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，第1行为1，1，所以. 当时，第行偶数位置上的数正好是由第行相邻两数相加插入得到的数，所以. 由，得. 因此的通项公式为 18. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）解关于x的不等式； （3）当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为当，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，转化为，结合含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，转化为函数在上的最小值大于在上的最大值，结合二次函数与一次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 当时，不等式，即为， 由方程，可得， 可得方程有两个不同的实数根，分别为， 即不等式为，解得， 即不等式的解集为. 【小问2详解】 由不等式，即为， 整理得， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为 ①当时，不等式即为，因为，解得； ②当时，不等式即为， （i）若，即，解得或； （ii）若，即，不等式化为，解得； （iii）若，即，解得或； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当，不等式的解集为. 【小问3详解】 当时，对，，不等式恒成立， 等价于求解函数在上的最小值大于在上的最大值， 当时，函数的图像开口向上，对称轴为， 所以， 因为函数在区间上为单调递减函数， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 19. 已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． （1）求和的通项公式； （2）设数列的前项和 ①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式及等比数列的通项公式求解； （2）①求出，利用错位相减法求和.②将代入恒成立不等式：，从而得到对恒成立，设，问题转化为求,利用单调性求出的最小值，从而得到的最大值. 【小问1详解】 因为数列是等差数列，，， 所以， 解得，则. 则，则 ，，， 因为，所以 ， 则 ，. 【小问2详解】 ①由（1）得，代入数列通项：， 因此数列前项和为：， 将上式两边同乘公比：， 用错位相减法，作差： ， . ②将代入恒成立不等式：， 解得： ，即：对恒成立， 设，问题转化为求, , 当时， ， ，数列单调递减； 当时， ，，数列单调递增， 因此数列在处取得最小值，， 因此的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $