2.4 二次函数的应用（七大题型）专项训练 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

2.4 二次函数的应用 题型一 线段周长问题（二次函数综合） 1．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点C，D在线段AB上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于点，，则四边形的周长的最大值为（ ） A．8 B．10 C． D． 2．一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点B，点C．若P为二次函数图象上的一个动点，过点P作直线的垂线，垂足为点A，求最小值为： ． 3．如图，已知二次函数的图象经过点、和原点，为二次函数图象上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点． (1)求出二次函数的解析式． (2)当点在直线的上方时，求线段的最大值和点的坐标． (3)当时，探索是否存在点，使得为等腰三角形，如果存在，请直接写出点的坐标． 题型二 面积问题（二次函数综合） 4．如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 5．如图，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ． 6．如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线的一个动点（点与、均不重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点坐标； (3)如图2，直线，分别与轴交于点，，在点运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 题型三 角度问题（二次函数综合） 7．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 8．如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是 ． 9．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线． (1)求的值． (2)若点D是直线上方的抛物线上一点，当点D到直线距离最大时，求点D坐标，并求出最大距离． (3)抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 题型四 特殊三角形问题（二次函数综合） 10．如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 11．如图点，，在抛物线上，点，，在轴上，，，该三角形都为等腰直角三角形，点是坐标原点，则的腰长为 ． 12．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称． (1)求线段的长； (2)当时，求y的取值范围； (3)如图2，点G为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上（）．若为等腰直角三角形，，求的值． 题型五 特殊四边形（二次函数综合） 13．在平面直角坐标系中，已知，二次函数表达式为，若该函数的图象与四边形的边有交点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，轴，，抛物线与正方形始终有交点，则h的取值范围是 ． 15．已知二次函数的图像经过点，和，点P是抛物线上的一个动点，且在直线的下方． (1)求该二次函数的解析式． (2)在二次函数的图像上是否存在一点P，使得以 B、C、P为顶点的三角形的面积最大？若存在，求出点P的坐标和三角形的最大面积；若不存在，请说明理由． (3)在平面内是否存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 题型六 相似三角形问题（二次函数综合） 16．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 17．如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，过A作轴，交抛物线于点B，连接．点P为抛物线上上方的一个点，连接，作垂足为H，交于点Q．当时，点P的坐标为 ． 18．已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在第三象限内二次函数的图像上有一动点P，连接，与直线交于点E，当的值最大时，求点P的坐标，及的值． 题型七 其他问题（二次函数综合） 19．平面直角坐标系中有线段，已知，，若抛物线与线段只有一个交点，则的值不能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 20．已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，的值为 ． 21．如图1，抛物线与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线解析式． (2)点E是直线上方抛物线上一动点，连接，，若，求点E的坐标． (3)如图2，直线交抛物线于M，N两点，过点M的直线和过点N的直线交于点P，且直线和与抛物线均只有一个公共点，若P 是直线上一点，求原点O到直线距离的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 二次函数的应用 题型一 线段周长问题（二次函数综合） 1．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点C，D在线段AB上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于点，，则四边形的周长的最大值为（ ） A．8 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点C坐标，进而表示出其他点坐标，得出四边形周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：由题意知四边形为矩形． 将点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 设点的坐标为， 由抛物线的对称性得点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴四边形的周长为， ∴当时，四边形的周长的最大值为10． 2．一次函数和二次函数．一次函数的图象与坐标轴分别交于点B，点C．若P为二次函数图象上的一个动点，过点P作直线的垂线，垂足为点A，求最小值为： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是构造等腰直角三角形将最值问题转化为二次函数求解． 通过作辅助线构造等腰直角三角形，将的长度与建立联系，利用二次函数的性质求最小值，进而得到最小值 【详解】解：过点作轴，交直线于点， 对于，当； 当，，解得 ∴点， ∴， ∴三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴三角形为等腰直角三角形， 设的横坐标为，则，则， ∴， ∴当时，取最小值为， ∵， ∴， 此时，取最小值，值为． 故答案为：． 3．如图，已知二次函数的图象经过点、和原点，为二次函数图象上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点． (1)求出二次函数的解析式． (2)当点在直线的上方时，求线段的最大值和点的坐标． (3)当时，探索是否存在点，使得为等腰三角形，如果存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)，的最大值为 (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）设二次函数的解析式为，将、、代入解析式计算即可得出结果； （2）求出直线的解析式为，由题意可得，，得到，再由二次函数的性质即可得出结果； （3）由（2）可得，，，由勾股定理可得，，结合为等腰三角形，分三种情况：当时，；当时，；当时，，分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 将、、代入解析式可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将、代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵为二次函数图象上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为，此时， ∴； （3）解：由（2）可得：，，， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴当时，，如图： 解得：或或， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当时，，此时点，，两点重合，不符合题意； 当时，，此时点，，符合题意； 当时，，如图： 解得：或， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当时，，此时点，，符合题意； 当时，，如图： 解得：或或， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当时，，此时点,，符合题意； 当时，，此时点,，符合题意； 综上所述，点的坐标为或或或． 题型二 面积问题（二次函数综合） 4．如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称—最短路径问题、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积． 【详解】解：联立得， 解得或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， 直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 过点作于点D， 将代入直线中，得， ∵点的坐标为， ∴直线与轴的夹角是， ∴是等腰直角三角形， ∴， 的面积， 故选：A． 5．如图，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键． 确定出抛物线的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图， 抛物线的顶点坐标是， ， 平移后抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， ， 关于x轴对称， 平移后阴影部分的面积等于的面积， ， 故答案为：27． 6．如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线的一个动点（点与、均不重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点坐标； (3)如图2，直线，分别与轴交于点，，在点运动过程中，是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)为定值； 【分析】解题思路为：（1）代入 、坐标用待定系数法求抛物线解析式； （2）通过角度互余构造相似三角形，结合坐标列方程求 点； （3）设点坐标为，求直线， 与轴交点，利用面积公式计算比值并判断是否为定值． 【详解】（1）解：因为抛物线经过点和点， 所以， 解得 所以抛物线的解析式为； （2）当时代入得， 故，，， ①过点作的平行线，分别过点 、作直线 的垂线，垂足分别为点、， 依题意得， ∵， ∴， ∴， ∴ 设，（） ， 解得 ∴； ②作点关于轴的对称点，连接， ∵，， 则直线的解析式为， 由题可知， ∴， 又∵， ∴， 延长，与抛物线相交的另一个点即为点， 则 解得（舍去）， ∴ 所以点的坐标为或 （3）由 (1) 可知，，， ∵点是抛物线上的一个动点， 设， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在轴上， ∴， 设直线的解析式为， 则 解得 ∴直线的解析式为， ∵点在轴上， ∴， ∴，， ∴ ∵,为定值。 题型三 角度问题（二次函数综合） 7．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是抛物线上一点，且，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先利用待定系数法求出抛物线解析式为，直线的解析式为，则，再证明等腰直角三角形得到，所以，则利用轴可设，当时，，然后方程确定点坐标，从而得到的长． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 等腰直角三角形， ， ， ， 轴， 设， 当时，， 解得，， 点坐标为，或，， ． 故选：D． 8．如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数与角度问题. 连接，取，连接交抛物线于，证明，，可得，即，求解直线为，再进一步解答即可；如图，关于直线对称的，证明，可得，同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为，再进一步求解即可. 【详解】解：令，则， 令，则， 解得或， ∴，，， 如图，连接，取，连接交抛物线于， ∵，，， ∴，，而， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 联立得， 解得：（舍去）或； 关于直线对称的， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为， ∴， 联立得， 解得：（舍去）或；， 综上：点横坐标是或. 故答案为：或. 9．如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，过、两点作直线． (1)求的值． (2)若点D是直线上方的抛物线上一点，当点D到直线距离最大时，求点D坐标，并求出最大距离． (3)抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在点P，直线的解析式为或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）根据待定系数法即可得出结果； （2）过作于点，作轴，交于点，易得为等腰直角三角形，得到，进而得到当的值最大时，最大，即点D到直线BC距离最大，进行求解即可； （3）分点在直线下方，与点在直线上方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点， 得， 解得：； （2）由（1）知：， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 过作于点，作轴，交于点， ∴轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，的值最大，即点D到直线BC距离最大， 设，则， ∴， ∴当时，有最大值为，此时，的最大值为． （3）解：存在点P，理由如下： 当点在直线下方时， 在轴上取点，作直线交抛物线于（异于点）点，    由（2）得， ， ， ， ， 设直线的解析式为，代入点， 得，解得， 故直线的解析式为； 当点在直线上方时，如图，在轴上取点，连接，过点作交抛物线于点，      ∴， ∴， ， ， ， 设直线的解析式为，代入点， 得，解得， 故设直线的解析式为， ，且过点， 故设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 综上所述：直线的解析式为或． 题型四 特殊三角形问题（二次函数综合） 10．如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，过M点作于H点，如图，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ∴， 设， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 故选：C． 11．如图点，，在抛物线上，点，，在轴上，，，该三角形都为等腰直角三角形，点是坐标原点，则的腰长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了在函数图象中利用点的坐标与图形的关系求线段的长度，涉及到了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，勾股定理，抛物线的解析式的运用等多个知识点．利用等腰直角三角形的性质及点的坐标的关系求出第一个等腰直角三角形的腰长，用类似的方法求出第二个，第三个…的腰长，观察其规律，最后得出结果． 【详解】解：作轴，轴，垂足分别为C、E． ∵、都是等腰直角三角形， ∴，． 设，则，将其代入解析式得： ， 解得：（不符合题意）或， 由勾股定理得：， 即的腰长为， ∴， 过作，设点， 可得，， 又点在抛物线上，所以， ， 解得，（不合题意舍去）， ∴， 即的腰长为， 同理可得： ， … ∴， ∴的腰长为． 故答案为：． 12．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b是常数，且）与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称． (1)求线段的长； (2)当时，求y的取值范围； (3)如图2，点G为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上（）．若为等腰直角三角形，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （）根据对称性求出点的坐标，即可求出的长； （）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出函数的最大值及最小值即可求解； （）分别过作直线的垂线，垂足为，可证，得到，，即得，又可得，即得到，可得，即可求证； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，对称轴为直线， ∴, ∴， 即线段的长为； （2）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线， ∵， ∴当时，取最大值，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围为； （3）证明：如图，分别过作直线的垂线，垂足分别为， 则， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 题型五 特殊四边形（二次函数综合） 13．在平面直角坐标系中，已知，二次函数表达式为，若该函数的图象与四边形的边有交点，则的最大值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，根据题意得出二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，根据二次函数经过时，最大，求解即可． 【详解】解：二次函数表达式为， 故二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 若该函数的图象与四边形的边有交点， 则当二次函数经过时，最大， 代入得，解得：（舍去）或， 故选：C． 14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，轴，，抛物线与正方形始终有交点，则h的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质等知识，掌握以上性质是解题的关键．根据题意确定正方形四个顶点坐标，再结合函数图象求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为2，轴，， ∴点， 将点代入得， 解得：； 将点代入得， 解得：； 对称轴为直线， 当抛物线顶点在线段上时，，解得； ∵抛物线的图象与正方形始终有交点，故的取值范围是， 故答案为：． 15．已知二次函数的图像经过点，和，点P是抛物线上的一个动点，且在直线的下方． (1)求该二次函数的解析式． (2)在二次函数的图像上是否存在一点P，使得以 B、C、P为顶点的三角形的面积最大？若存在，求出点P的坐标和三角形的最大面积；若不存在，请说明理由． (3)在平面内是否存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， (3)存在，，， 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，平行四边形性质及应用，解题的关键是方程思想的应用． （1）设二次函数的解析式为，把，和代入计算即可； （2）设，过P作轴于点E，交直线于点F，求出直线解析式为，则，，再根据铅垂法得到，据此求面积最大值即可； （3）分别过三个顶点作对边的平行线，交点分别为，此时四边形，，是平行四边形，再利用平移求坐标即可． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 把，和代入得 ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点P在抛物线上， ∴可设， 过P作轴于点E，交直线于点F，如图： ∵和， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，最大值为，此时， ∴当时，最大值为； （3）解：如图，分别过三个顶点作对边的平行线，交点分别为，此时四边形，，是平行四边形， ∵，和， ∴，点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到； 当四边形是平行四边形时，，，可以看成点向左平移4个单位长度得到； 当四边形是平行四边形时，，，可以看成点向右平移4个单位长度得到； 当四边形是平行四边形时，，，点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到，则点向上平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度得到； 综上所述，存在一点Q，使得以A、B、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标，，． 题型六 相似三角形问题（二次函数综合） 16．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，点是线段上方抛物线上一点，过点作轴，且与延长线相交于点，连接交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，设与交于点，求出，，则有解析式为，设，则，然后证明，由性质得，最后由二次函数的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设与交于点， 由得，当时，， 解得：，， ∴，， ∴， 当时，， ∴， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 当时，则的最大值为， 故选：． 17．如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交y轴于点A，过A作轴，交抛物线于点B，连接．点P为抛物线上上方的一个点，连接，作垂足为H，交于点Q．当时，点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题；先求得点，令，求得的长，证明，则，即可求解． 【详解】解：对于，令，则， 故点， 令，解得或， 故点， 故； 设， 轴，， ， ， ， 故， ， 解得． ∴； 故答案为：． 18．已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在第三象限内二次函数的图像上有一动点P，连接，与直线交于点E，当的值最大时，求点P的坐标，及的值． 【答案】(1)， (2)①该二次函数的解析式为；，；②，的值为 【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得； （2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，； ②先求得直线的表达式为，过P作y轴平行线交直线于Q，过B作y轴平行线交直线于H，则，先证明得到，设，则，，利用坐标与图形性质得到，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵的图像经过， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， ∵， ， ∴， ∴，； （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为， 当时，， 解得，， ∴，； ②设直线的表达式为：， 则， 解得， ∴直线的表达式为， 过P作y轴平行线交直线于Q，过B作y轴平行线交直线于H， 则， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时， 即点P坐标为． 题型七 其他问题（二次函数综合） 19．平面直角坐标系中有线段，已知，，若抛物线与线段只有一个交点，则的值不能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的综合应用，由题意，可知点在直线上，求出时，的值，根据抛物线与线段只有一个交点，求出的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴点在直线上，且， 当时，解得或， ∵抛物线与线段只有一个交点， ∴或， ∴或， ∵两交点间的距离为，则， 故抛物线与线段只有一个交点，此时或， ∴的值不能为3； 故选C． 20．已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查二次函数图像与一次函数图像的交点问题，求出与轴的交点坐标，以及翻折后开口向下的部分的抛物线的解析式，再分两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：设二次函数与轴的两个交点分别为， 当时，则， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将该二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方， ∴开口向下部分的抛物线的顶点坐标为， ∴， 当直线与新图像有3个交点时，分种情况， ①当直线恰好经过点时，则：，解得； ②当直线与抛物线只有一个交点时，满足题意， 令，整理，得， 则，解得； 综上：或； 故答案为：3或． 21．如图1，抛物线与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线解析式． (2)点E是直线上方抛物线上一动点，连接，，若，求点E的坐标． (3)如图2，直线交抛物线于M，N两点，过点M的直线和过点N的直线交于点P，且直线和与抛物线均只有一个公共点，若P 是直线上一点，求原点O到直线距离的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3)1 【分析】（1）首先求出，然后得到，求出，，然后由待定系数法即可求解； （2）如图，过点E作垂直于x轴于点G，交于点F，设点E的坐标为，则点F的坐标为，，由得，进而得方程，求解即可； （3）设直线的表达式为，点M和点N的横坐标分别为：，，其中，联立和并整理得，得，，联立和并整理得：，可得，，求出直线的表达式为，同理直线的表达式为，求出点的坐标，然后代入求出，然后得到直线经过点，结合点O的坐标即可得解． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴将，代入得， ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：设直线的方程为：， 将，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为， 如图，过点E作垂直于x轴于点G，交于点F， 设点的坐标为，则点F的坐标为，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， ∴点E的坐标为或； （3）解：设直线的表达式为，点M和点N的横坐标分别为：，，其中， 联立和并整理得：， 则，， 设直线的表达式为：， 联立和并整理得：， 由题意得：， 则， ∴， 解得：，即， 则， ∴直线的表达式为：； 同理直线的表达式为：； 联立上述两式得：， 解得：， ∴， 即点P的坐标为， ∵P 是直线上一点， ∴ ∴ ∴直线的表达式为， ∴当时， ∴直线经过点 ∴当时，原点O到直线的距离有最大值，最大值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $