3.3勾股定理的应用举例知识能力全练 2026-2027学年鲁教版（五四制）七年级上册数学

**基本信息** 本同步练习围绕勾股定理应用，设知识能力全练（9题）和巩固提高全练（8题）两层，梯度从单一知识点应用到综合情境问题解决，强化几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识能力全练|单一知识点（几何体最短路线、直角判别、实际应用）|选择/填空/简单解答，基础巩固（如筷子浸没长度计算）| |巩固提高全练|综合应用（跨情境问题、古算题、动态问题）|解答题为主，深化推理（如《九章算术》折竹问题、台风路径计算）|

3.3勾股定理的应用举例 知识能力全练 知识点一 确定几何体上的最短路线 1.将一根24 cm长的筷子置于底面直径为15 cm，高8 cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在水里的长度为h cm，则h的取值范围是（ ） A.h≤15 B.h≥8 C.8≤h≤17 D.7≤h≤16 2.下图是一个底面为等边三角形的三棱柱，为了漂亮，小丽在三棱柱的侧面上，从顶点A到顶点A′镶上一圈金属丝，已知此三棱柱的高为5cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为（ ） A.8 cm B.13 cm C.12 cm D.15 cm 3.如图所示，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在AB中点C处有一滴蜜糖，则一只小虫从D处爬到C处的最短路程是多少？ 知识点二 利用直角三角形的判别条件判定垂直 4.李老师想用三根木条做一个直角三角尺作为教具，以下四组木条中，哪一组的三根木条能够刚好做成？（ ） A.，， B.5、12、13 C.4、5、6 D.1、2、3 5.如图所示，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，且已知“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号航行的方向是__________. 知识点三 应用勾股定理解决实际问题 6.如图所示，第9号台风“利奇马”过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面3米处折断，大树顶部落在距离大树底部4米处的地面上那么树高是（ ） A.5 m B.8 m C.9 m D.12 m 7.如图所示，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，则船向岸边移动了________米. 8.某市进行老城区道路改造，原来从小明家A地到商场F地需要沿着A→B→C→D→E→F连续多次直角拐弯行进，造成出行困难（行走各段路程数据如图所示），道路改造后可从小明家A地直达商场F地求从小明家到商场的路程比原来缩短了多少米. 9.如图所示，有一只小鸟在一棵高4 m的小树树梢B处捉虫子，它的伙伴在离该树12 m，高20 m的一棵大树的树梢A处发出友好的叫声，它立刻以4 m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少飞几秒才能到达大树树梢和伙伴在一起？ 巩固提高全练 10.如图所示，一架梯子25米，斜靠在一面垂直于地面的墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（ ） A.4米 B.6米 C.8米 D.10米 11.下图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是____________ dm. 12.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载:今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是:如图①②（图②为图①的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ） A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸 13.《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题:“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是:一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答:折断处离地面__________尺高. 14.无盖圆柱形杯子的展开图如图所示将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________ cm. 15.如图所示，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为__________ cm（杯壁厚度不计）. 16.如图所示，台风中心将沿BC方向以15 km/h的速度向D移动，在距离B地130 km的正北方有一A地，已知A地到BC的距离AD＝50 km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30 km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 17.如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为400 m，200 m，且CD＝800 m，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家问在何处饮水牧童所走的路程最短？最短路程是多少？ 参考答案 1.C 2.B 3.解析 将长方体的前面和右侧面展开至同一平面，如图，连接DC，则DC的长就是从D处爬到C处的最短路程. 在Rt△DAC中，AD＝12＋8＝20（cm），AC＝×30＝15（cm）， 由勾股定理得DC＝25cm. 故从D处爬到C处的最短路程是25cm. 4.B 5.西北方向 6.B 7.9 8.解析 如图所示，过点A作AH⊥EF于H， 则在Rt△AHF中，AH＝40＋40＝80（米）， FH＝70-20＋10＝60（米），由勾股定理得AF＝100米， 故改造后小明家与商场的距离为100米， 改造前小明家与商场的距离为10＋40＋20＋40＋70＝180（米）， 缩短距离:180-100＝80（米）. 答:从小明家到商场的路程比原来缩短了80米. 9.解析 如图所示，根据题意，得AC＝20-4＝16m，BC＝12m. 根据勾股定理，得AB＝20m. 故小鸟所用的时间至少是20÷4＝5（s）. 10.C 11. 25 12.C 13. 4.55 14. 5 15. 20 16.解析 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD2＝AB2-AD2＝1302-502＝14400，∴BD＝120km， 则台风中心经过120÷15＝8小时从B移动到D点. 如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到台风的影响， ∴人们要在台风中心到达E点之前撤离，∵BE＝BD-DE＝120-30＝90km， ∴游人在＝6小时内撤离才可脱离危险. 17.解析 如图所示，作点A关于直线l的对称点G，连接GB交CD于点E，连接AE，则在E处饮水牧童所走的路程最短. 理由: 在直线CD上任意取一异于点E的点I，连接AI，B1，GI. ∵点G，A关于直线对称，∴AI＝GI，AE＝GE， ∴AI＋BI＝GI＋BI，AE＋BE＝GE＋BE＝GB. 由“两点之间线段最短”和“三角形任意两边之和大于第三边”可得GI＋BI＞GB＝AE＋BE，∴在E处饮水牧童所走路程最短，最短路程为GB的长. 过点G作BD的垂线，与BD的延长线交于点H. ∵GH＝CD＝800 m， BH＝ BD＋DH＝BD＋GC＝BD＋AC＝200＋400＝600m， ∴在Rt△GHB中，由勾股定理，得GB2＝GH2＋BH2＝8002＋6002＝10002. ∴GB＝1000m，即最短路程为1000m. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $