3.3 培优专题7 利用勾股定理解决“最短距离”问题-【练测考】2025-2026学年七年级上册数学（鲁教版五四制·新教材）

练测考七年级数学上册LJ 培优专题七利用勾股定 技巧点拨：求最短距离的问题，关键是通过计算 和比较求出最短距离，主要有以下两种情形： (1)在平面图形中，将分散的条件通过几何变换 (平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理 解决；(2)在立体图形中，将立体图形展开为平 面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的 距离，然后借助直角三角形，利用勾股定理求出 最短距离. 类型一用计算法求平面中的最短问题 1.如图，某小区有两个喷泉A,B,两个喷泉的 距离为250m.现要为喷泉铺设供水管道 AM,BM,供水点M在小路AC上，供水点 M到AB的距离MN的长为120m,BM的 长为150m. (1)求供水点M到喷泉A,B需要铺设的管 道总长 (2)求喷泉B到小路AC的最短距离. M 64 理解决“最短距离”问题 2.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B, D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC,EC.已 知AB=2,DE=1,BD=4,设CD=x.当点 C满足什么条件时，AC+CE的值最小？最 小值是多少？ 类型二用对称法求最值 3.如图，高速公路的同一侧有A,B两城镇，它 们到高速公路所在直线MN的距离分别为 AC=2km,BD=4km,且CD=8km.要在 高速公路上C,D之间建一个出口P,使A, B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短 距离为 () B -N D A.8 km B.10 km C.12 km D.14 km 4.如图所示，正方形ABCD的边长为8，M在 DC上，且DM=2,N是AC上的一动点，求 DN十MN的最小值. 类型三用展开法求棱柱中的最值 5.如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为 4,2,9,用一根细线绕侧面绑在点A,B处，不 计线头，细线的最短长度为 () 9 A.12 B.15 C.18 D.21 6.如图，在一个长方形草坪ABCD上放着一根 长方体木块.已知AD=6m,AB=4m,该木 块的较长边与AD平行，横截面是边长为 2m的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到 达C处需要走的最短路程是 () A.8 m B.10m C.12m D.14m 第三章勾股定理 7.如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为 3cm,4cm,5cm,盒子高为9cm,一只蚂蚁 想从盒底的点A沿盒子的侧面爬行一周到 盒顶的点B,则蚂蚁要爬行的最短路程是 cm. 8.如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中 AB=80cm,高AD=60cm,水深ED= 40cm,在鱼缸内水面上紧贴内壁P处有一 鱼饵，P在水面线EF上，且EP=60cm.一 只小虫想从鱼缸外的D点沿鱼缸壁爬进鱼 缸内壁P处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长 为 cm. D 类型四 用展开法求圆柱中的最值 9.如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好 从A点绕到正上方的B点，已知圆柱底面周 长是3m,高为5m,则所需彩带最短为 m. 4 10.如图，一圆柱高20cm,底面周长是12cm, 一只螳螂在AB的中点E处，一只昆虫在 CD的某处，螳螂以最快的速度、最短的爬行 距离捕捉到了昆虫，螳螂共爬行了10cm, 那么此时昆虫离点C的距离为 E D 65所以AB2=AC2+BC2=82+152=289, 所以AB=17. 由折叠的性质，可知△ACP≌△AMP, 所以∠AMP=∠ACP=∠BMP=90°，AM=AC=8, MP=CP=15-2t, 所以BM=17-8=9. 因为∠BMP=90°， 所以BP2=BM+PM,即(2t)2=92+(15-2t)2, 解得t=5.1, 所以将△APC沿直线AP折叠，使得点C的对应点M恰好 落在边AB上，此时t的值为5.1. 点96 7.解：由折叠可知△ADE和△AFE关于直线AE成轴对称， 所以AF=AD,EF=DE. 因为CE=3cm,AB=8cm,所以EF=DE=8-3=5(cm. 在Rt△ECF中，由勾股定理，得CF=√EF2-CE= √52-32=4(cm). 设BF=xcm,则AF=AD=BC=(x+4)cm. 在Rt△ABF中，由勾股定理， 得AB2+BF2=AF2,即82+x2=(x十4)2，解得x=6. 所以阴影部分的面积为}×6×8+×4X3=30(cm)。 8.解：(1)因为四边形ABCD是长方形， 所以AB=CD,∠C=∠ABC=∠A=∠D=90°， 所以∠ABE+∠EBC=90°. 因为把长方形纸片ABCD沿EF折叠， 所以BC'=CD=AB,∠C=∠C=90°，∠D=∠EBC=90°， 所以∠EBC+∠FBC'=90°， 所以∠ABE=∠FBC'. 在△ABE与△C'BF中， |∠A=∠C'=90°， AB=CB, 所以△ABE≌△C'BF(ASA) ∠ABE=∠C'BF, (2)设AE=x. 根据翻折不变性，得BE=DE=AD一AE=8一x. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得x2+42=(8-x)2, 解得x=3,即AE=3,则BE=5. 因为△ABE≌△C'BF,所以BE=BF=5, 所以Se=2BF·AB=合X5X4=10, 培优专题七利用勾股定理解决 “最短距离”问题 1.解：(1)由题意，得∠ANM=∠BNM=90° 在Rt△MNB中，由勾股定理，得BN2=BMP一MN2= 1502-1202=8100=902, 所以BN=90m,所以AN=AB-BN=250-90=160(m). 在Rt△AMN中，由勾股定理，得AM=AN2+MN 1602+120=40000=200, 所以AM=200m, 所以供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长为200十 150=350(m). (2)因为AB=250m,AM=200m,BM=150m, 所以AB2=BM2+AM2, 所以△AMB是直角三角形，∠AMB=90°， 所以BM⊥AC, 所以喷泉B到小路AC的最短距离是BM=150m. 2.解：当A,C,E三点共线时，AC+CE的值最小，最小值为 AE的长.如图，过点A作AF DE交ED的延长线于点F,则 ∠F=90°，AF=BD=4,DF=AB=2, 所以EF=DF+DE=3, 所以AE2=32十42=25， 所以AE=5, 所以AC+CE的最小值是5. 3.B 4.解：如图，连接BM 因为四边形ABCD是正方形， 所以点B和点D关于直线AC对称， 所以NB=ND, 所以DN+MN=BN+MN, 所以BM就是DN十MN的最小值， B 因为正方形ABCD的边长是8，DM=2, 所以CM=6,BC=8,∠BCM=90°， 所以BM2=82+62=100, 所以BM=10, 所以DN+MN的最小值是10. 5.B6.B7.158.1009.1310.2cm或18cm 章末复习 核心考点练真题 1.D 2.C 3.D 4.5.A 6.C 7.C 8.m 9.B 10.5011.8或2 新中考新考法 1.B2.3.753.x2=(x-2)2+(x-4)2 第四章实数 1无理数 1.D2.C3.D 4.解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD2=AB2-BD2= 11.在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC2=AD2十CD2= 15.AD,AC都不可能是整数，不可能是分数，不可能是有 理数. 5.B6.B7.C8.D9.D10.36 1号08.146，号628 三，a.3313113-(相邻两个3之间1的个数逐次加D 12.C 13.解：如图，△ABC即为所求作.（答案不唯一）