25.3 实际问题与一元二次方程 假期自主学习同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程实际应用，通过基础巩固、情境拓展、探究深化三层设计，培养抽象能力与模型意识，适配暑假自主学习的梯度化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一情境方程建模（增长率、比赛场次）|以商品降价、矩形面积等生活化问题，强化数学眼光中的抽象能力| |中档|多情境综合应用（运动学、几何面积）|结合物理上抛运动、日历数字规律，体现数学思维的推理意识| |提升|跨学科与探究（古代数学方法、动态几何）|通过赵爽弦图几何解法、动点面积问题，发展数学语言的模型意识|

2026-2027学年人教版九年级数学上册《25.3实际问题与一元二次方程》 假期自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．某商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（     ） A． B． C． D． 2．在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请个球队参加比赛，则可列的方程为（     ） A． B． C． D． 3．南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问宽和长各多少步？设这块田地的宽为步，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 4．身为全球增长速度最快的开源自主平台，占据了各大应用市场下载榜首．据统计，该软件首日在某平台的下载量为60万次，第二天、第三天连续增长，这三天累计下载量达到了300万次．设这三天的日平均增长率为．根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 5．如表是小明与的对话，在深度思考后，给出的正确答案是（   ） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同． 深度思考中…… 开启新对话 A． B． C．1 D．或1 6．春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 7．把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过_______秒落回地面．（结果精确到） 9．在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染___________台服务器． 10．观察下列等式：；；；按照这个规律，若某个正整数n对应的等式结果为255，则_____． 11．任意给定一个矩形A，若存在另一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，则称矩形B是矩形A的“减半矩形”．已知某矩形的周长为48，面积为70，则它的减半矩形的长为______． 12．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，__________．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？如果设衬衫的单价降了元，根据题意，得．（补填上合适的条件） 13．在2024年12月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，则这个最小数为____ 14．如图，在矩形土地上修建矩形菜地，并沿菜地四周修建宽度相等的环形小路．若小路宽，则菜地的面积为；若小路宽，则菜地的面积为．若菜地的面积为，则小路的宽度为______． 三、解答题 15．列方程解应用题： 如今，无人机、机器狗等玩具备受孩子们的喜爱，某工厂安排100名工人组装无人机和机器狗，每人每天可组装12架无人机或5个机器狗，且每人每天只能组装一种产品，组装160架无人机所用的时间与组装100个机器狗所用的时间相等． (1)应安排多少名工人组装无人机，多少名工人组装机器狗？ (2)由于工厂改进组装工艺，工人每人每天比原来多组装无人机架，每人每天组装机器狗的数量比原来多，工长从组装无人机的工人中调拨人增援组装机器狗，抽调后每天组装机器狗总数量比无人机的总数量仍少180个，求的值． 16．运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 17．为了丰富学生的课余生活，学校计划在校园内建造一个活动区域（长方形），两面靠墙（位置的墙最大可用长度为，位置的墙最大可用长度为），另两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留宽的门（不用栅栏）．建成后栅栏总长． (1)若活动区域（长方形）的一边长为，则另一边 ． (2)若活动区域（长方形）的面积为，求边的长． 18．如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 19．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元/双时，每天能售出200双．经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格x（元）间存在如图所示的函数关系． (1)求出与的函数关系式； (2)公司希望平均每天获得的利润达到8960元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价多少？ (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的，公司每天能否获得9000元的利润．若能，求出定价：若不能，请说明理由． 20．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． (1)【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．(从序号①②③中选择) (2)【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即( )； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ． (3)【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ． 参考答案 1．B 【分析】设每次降价的百分率为，根据商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 即每次降价的百分率为． 2．C 【分析】理清总比赛场数的计算方法，再根据已知总场数列出方程． 【详解】解：设邀请个球队参加比赛， ∵每个球队需要与除自身外的个球队各比赛一场，且甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛， ∴总比赛场数为， 已知计划安排28场比赛， 因此可列方程． 3．B 【分析】根据宽与长的关系表示出长，再利用矩形面积公式列出方程． 【详解】解：∵设这块田地的宽为步，宽比长少步， ∴长为步， ∵矩形面积等于长乘宽，该矩形面积为平方步， ∴可列方程为． 4．C 【分析】根据日平均增长率分别表示出三天的下载量，再根据三天累计下载量的总量列出方程． 【详解】解：∵首日下载量为万次，日平均增长率为， ∴第二天下载量为万次． ∵第三天在第二天的基础上继续增长， ∴第三天下载量为万次． ∵三天累计下载量达到万次， ∴可列方程为． 5．C 【分析】读懂题意，根据描述列出等量关系，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：设这个数为， 根据题意得， 移项整理得， 因式分解得， 解得． 6．A 【分析】设小路的宽为，根据矩形的面积公式（将绿化区域合并成矩形），进而即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设小路的宽为，则绿化区域的长为，宽为， 根据题意，得． 7．A 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据四边形的面积等于四边形面积的倍列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积， 四边形面积， 四边形的面积等于四边形面积的倍， ， 整理得 设， ， 解得或（舍去）， ． 8． 【分析】根据物体落回地面时高度为0，建立方程，解方程即可． 【详解】解：∵物体落回地面时高度为0， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴物体经过秒落回地面． 9．6 【分析】设每轮传播中平均一台服务器会感染x台服务器，由经过两轮感染后共有245台服务器感染了病毒，建立方程求出其解即可． 【详解】解：设每轮中平均每台服务器感染服务器的台数为x，根据题意可得： ， 解得，（舍）， ∴每轮感染中平均每台服务器感染6台服务器． 10．15 【分析】先根据已知等式总结出正整数对应的等式规律，再根据结果为列出一元二次方程，求解后结合为正整数即可解答． 【详解】解：观察已知等式，可得正整数对应的等式为结果， 由题意得， 整理为一元二次方程的一般形式，得，解得 或 ． ∵是正整数， ∴． 11．7 【分析】设它的减半矩形的其中一边的长度是，可得其相邻边的长度是，从而列出方程，解方程得到减半矩形的相邻两边长，其中更大的是减半矩形的长． 【详解】解：设它的减半矩形的其中一边的长度是， ∵原矩形的周长为48，面积为70， ∴它的减半矩形的周长为：，面积为：， ∴边长为的边的邻边长度是：， ∴， 解得：， 当时，；当时，； ∴减半矩形的相邻两边分别是5和7， ∴减半矩形的长为7． 12．商场平均每天可多售出2件 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据所给方程和已知条件分析方程各项的含义，补全条件即可． 【详解】解：中，表示降价元后每件衬衫的盈利，表示降价元后每天的销售量，而是因降价元增加的销售量，意味着衬衫的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件． 13． 【分析】设最小的数为x，则最大的数为，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：设最小的数为x，则最大的数为， ， ∴， ∴（舍去）， ∴这个最小数为. 14．/ 【分析】设所求的小路的宽度为，矩形土地的长为，宽为，先求出的值，再根据面积关系建立一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设所求的小路的宽度为，矩形土地的长为，宽为， 由题意得：， 整理得：， 将和均看作整体，化简得：， 由②得：，代入①得：， 解得或， 当时，，不符合题设，舍去； 当时，，符合题设； 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以小路的宽度为． 15．(1)应安排40名工人组装无人机，60名工人组装机器狗 (2)的值为1． 【分析】（1）设安排x名工人组装无人机，则名工人组装机器狗，根据“组装160架无人机所用的时间与组装100个机器狗所用的时间相等”列方程即可求解； （2）根据“机器狗总数量比无人机总数量仍少180个”列方程即可求解． 【详解】（1）解：设安排x名工人组装无人机，则名工人组装机器狗， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解且满足题意， ， 应安排40名工人组装无人机，60名工人组装机器狗； （2）解：无人机单人日产量：架，抽调m人后，组装无人机人数： ，日总产量：， 机器狗单人日产量： 个，组装机器狗人数： ，日总产量：， 根据题意得： ， 解得或（舍去）， 即的值为1． 16．(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 17．(1) (2)边的长为． 【分析】（1）由栅栏总长为，即可求出的长； （2）设，则，根据活动区域的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值． 【详解】（1）解：； （2）解：设，则，依题意得： ， 解得：， ∵， ∴， ∴， 当时，，符合题意． 答：边的长为． 18．(1) (2)的值为2或8秒 (3)的面积不能达到，理由见解析 【分析】（1）根据，可得，的长，即可求解； （2）由题意得，，，则，即可求解； （3）由（2）可得，令，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴． （2）解：由题意得，，， ∴， 整理，得， 解得． 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意；∴ ∴的值为2或8秒． （3）解：不能．理由如下： 由（2）可知，， 令， 整理，得， ∵， ∴无实数根， ∴的面积不能达到． 19．(1) (2)88元 (3)公司每天能获得9000元的利润，此时定价为90元 【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案； （2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解； （3）由题意，列一元二次方程，求出x的值，然后列出一元一次不等式，求出不等式的解集，即可求出答案． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 将，代入得：， 解得， 与的函数关系式为． （2）解：根据题意得， 整理得：， 解得：， ∵要求优惠力度最大， 取， ． 答：每双运动鞋的售价应该定为88元； （3）解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下： 根据题意得， 整理得， 解得． ∵每双运动鞋的利润不低于成本价的， ， 解得：符合题意， 公司每天能获得9000元的利润，此时每双运动鞋的定价为元． 20．(1)③ (2)，， (3)，3，1或3 【分析】（1）根据题意，变形为，根据图示分别算出每个图形中长方形的面积，进行比较即可解答； （2）根据材料提示，进行计算即可解答； （3）先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可解答． 【详解】（1）解：， ， 将看作一个长为，宽为，面积为21的矩形， 很容易观察出构图是③． （2）解：， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：，解得原方程的一个根为； 故答案为：，，． （3）解：由条件可知， ， 四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 由条件可知，解得， 当时，，，，方程的一个正根为1； 当时，，，，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3， 故答案为，3，1或3． 学科网（北京）股份有限公司 $