1.5 三角函数的应用（六大题型）专项练习 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

1.5 三角函数的应用 题型一 利用同角三角函数关系求值 1．在中，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同角的三角函数关系；根据正切定义设边长，利用勾股定理求斜边，再根据余弦定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴设， ∴， ∴． 故选：A． 2．在中，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握勾股定理和锐角三角函数是解题关键．利用正弦值设．，，再利用勾股定理求出，再利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 设，， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 3．如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 题型二 求证同角三角函数关系式 4．如图，在正方形中，E，F分别是BC，CD的中点，AE交BF于点H，交BF于点G，下列结论，①；②；③；④其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】①根据正方形的性质求证是直角三角形即可得到结果； ②由①求证，利用其对应边成比例即可得到结论； ③由①求证即可得出结论； ④利用相似三角形对应边成比例即可得出结论； 【详解】∵在正方形ABCD中，E、F分别是边BC，CD的中点， ∴， ∴， ∵CG∥AE， ∴， ∴， ∴，即△CGF为直角三角形， ∵CG∥AE， ∴△BHE也是直角三角形， ∴． 故①正确； 由①得， ∴， ∴， 故②正确； 由①得， ∴BH=CG，而不是BH=FG， 故③错误； ∵， ∴， 即， 同理可得：， 可得， ∴， ∴④正确； 综上所述，正确的有①②④． 故答案选D． 5．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．设，，正方形和正方形的面积分别为和，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，锐角三角函数等知识．证是关键． 设，，则，，，，得出，即，求出和即可解答． 【详解】 解：设，，则，，，， ∵在中，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，负值舍去， ∴，， ∴； 故答案为：． 6．四边形为正方形． (1)如图1，，垂足为，求证：． (2)如图2，当点为中点，连接，在上取，连接并延长交于点． ①求证：； ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识．解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）利用两角对应相等的两个三角形相似即可证明； （2）连接，①方法一：延长交于点，根据题意易得，根据等边对等角得，，根据三角形内角和得到，从而得到，正方形得到，，从而证明，可证，，由正方形得，可证，，，即可证明； 方法二：根据题意易得，根据等边对等角得，，根据三角形内角和得到，从而得到，由（1）得，，也能证明，，可得，即可证明； ②由（2）得，，可变形为，在直角中，，即可证明． 【详解】（1）证明：由正方形得， ， ， 又， ； （2）①证明：连接， 方法一：延长交于点， 为中点， ， ， ， ，， 又， ， ， 即， 由正方形得：，， ， ， ， ， 由正方形得， ， ， ， ， ， ； 方法二：为中点， ， ， ， ，， 又， ， ，即， 由（1）得， ．（Ⅰ） ，， ， ， ， ，（Ⅱ） 由（Ⅰ）（Ⅱ）可得． 又， ； ②证明：， ， ， ， ，（Ⅲ） ， ，， ，（Ⅳ） 由（Ⅲ）（Ⅳ）可得． 题型三 互余两角三角函数的关系 7．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．利用互余角的正余弦关系，得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．已知，则值为 ． 【答案】/ 【分析】根据公式解答即可． 本题考查了锐角三角函数，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，在直角三角形中， 由， 故， 故答案为：． 9．如图，在中，，是上一点，过点作，垂足为．连接并延长交于点．    (1)求证：； (2)若为的中点，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，互余两角三角函数的关系，勾股定理． （1）根据题意得到，证明，即可得出结论； （2）由（1）得，根据为的中点，推出，易证，得到，由，得到，设，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ； （2）解：为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 设， ， ， ． 题型四 三角函数综合 10．如图，中，，点E为边的中点，点F为边上一点且有，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角函数的应用：设，，．过作的延长线的垂线，垂足为，在中求出；过作的垂线，垂足为，在中也求出，两个相等即可求出，从而可得比值． 【详解】解：在中：． 设，由，得，故． 点是中点，因此． 设． ①过作的延长线的垂线，垂足为． 由（的补角），得： ，， 因此， 故． ②过作的垂线，垂足为． 由，得： ，， 因此， 故． 由相等，得：，解得． ∴． 故选：B． 11．如图，在等腰三角形中，为边的中点，于点E，则 ． 【答案】/ 【分析】连接，，，，求得，，根据定义． 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握定理和三角函数定义是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为边的中点， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．如图，线段的中点是点，以点为圆心，为半径作，点是上一点（不在直线上），连接、、． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用角相等，角的两边对应成比例即可证明两三角形相似； （2）为求，则过点作，垂足为点，利用求解．为求，先求，故过点作，垂足为点，易求，设，根据几何关系依次计算即可． 本题考查了三角形相似的判定、等腰直角三角形的性质、三角函数的应用． 【详解】（1）证明：∵， ， 在与中， ， ∴． （2）解：过点作，垂足为点．过点作，垂足为点． ∴是等腰直角三角形， 根据勾股定理可知， 设， 则， 在中，∵， ． 题型五 方位角问题（解直角三角形的应用） 13．如图，沿方向架桥修路，为加快施工速度，在直线上湖的另一边的点D处同时施工，取，，，则C，D两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，含角直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形． 过点C作于点E，根据，得出，求出，得出，根据三角函数求出． 【详解】解：过点C作于点E，如图所示： ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：D． 14．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则A，B间的距离为（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，结合图形，在中求出，，再利用是等腰直角三角形，从而得到长，即可得到结果． 【详解】解：如图，，， 根据题意得，， ∴，， ∴在中，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 15．如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，在的正西方向，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向，且船离观测站的距离为，则两个观测站之间的距离为 ．（结果用根号表示）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，解决本题的关键是掌握构建直角三角形． 如图，过点C作于点D，从而两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 则，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 16．王子和小于两人相约一起去篮球馆打篮球．已知王子家B在小于家A的北偏西方向上，．两人到达篮球馆C处后，发现小于家A在篮球馆C的南偏西方向上，王子家B在篮球馆C的南偏西方向上．则小于家A到篮球馆C的距离 （结果精确到；参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是作辅助线构建直角三角形，解直角三角形求解． 过点作，先解求出，再解求出，最后由即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为 由题意，得，， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为：． 17．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距成纪大道100米的点C处，如图所示，直线l表示成纪大道．这时一辆小汽车由成纪大道上的A处向B处匀速行驶，用时5秒．经测量，点A在点C的北偏西方向上，点B在点C的北偏西方向上． (1)求A、B之间的路程精确到米； (2)请判断此车是否超过了成纪大道60千米/小时的限制速度？参考数据：， 【答案】(1)米 (2)该小车没有超速，理由见解析 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值、锐角三角函数，是解题的关键． （1）过点C作直线l的垂线，垂足为D，据已知和特殊角的三角函数值求得，的长，从而得出的长； （2）根据测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒，求出小汽车的速度，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点C作直线l的垂线，垂足为D，如图， 则， 由题意可知，，，米， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， 答：A、B之间的路程为米． （2）解：米千米，5秒小时， （千米/时）． ， 该小车没有超速． 18．因天气原因戏剧展演取消，戏剧学院学生小数和小学不用演了，于是他们打算从剧院A处返回到学校C处，如图，学校C在剧院A的正北方向，小数从剧院A出发，沿北偏西方向前进到达商店B购买雨伞（假设购买雨伞的时间不计），再从商店B出发，沿北偏东方向行走至学校C，小学从剧院A出发，沿北偏东方向行走至江湖菜馆D，再从江湖菜馆D出发，沿北偏西．方向到学校C．（参考数据：） (1)求商店B与学校C之间的距离（结果保留根号）； (2)已知小数的平均速度为，小学的平均速度为，请通过计算说明小数和小学谁先到达学校C．通过计算说明（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)商店B与学校C之间的距离为 (2)小学先到达学校C 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键： （1）过点作于点，解直角三角形，求出的长，再解直角三角形，求出的长即可； （2）求出的长，根据时间等于路程除以速度，求出两人回到学校所用时间，进行比较即可． 【详解】（1）解：过点作于点，由题意，， 在中，，； 在中，，； 答：商店B与学校C之间的距离为； （2）解：由（1）可知：，， ∴，， 作于点，由题意，， 在中，， 在中，，， ∴， ∴小数回到学校所用时间为：； 小学回到学校所用时间为：； ∵， ∴小学先到达学校C． 题型六 其他问题（解直角三角形的应用） 19．如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数及解直角三角形的实际应用，关键是在直角三角形中使用恰当的三角函数解题；在直角三角形中，利用余弦求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴在中， ， ∴． 故选：A． 20．如图，在电线杆离地面米高的点处向地面拉一根缆绳，缆绳和地面成角，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：根据，代入求解即可． 【详解】解：由题意得，，而， ∴， 故选：C． 21．如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端A离墙根的垂直距离米，则梯子顶端B距地面的垂直高度的值为 米． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正切的定义计算即可． 【详解】解：在中，，，米， ， （米， 故答案为：． 22．图1为《天工开物》中记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”．图2为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，，，若分米，分米，，则 分米． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．合理的构造直角三角形进行求解是解决本题的关键． 延长交于点，易得，则，设为， 则，，那么可得的余弦值，根据的余弦值列出方程求得的值，即可求得的长． 【详解】解：如图，延长交于点， ，，， ． ，． ． ． 设为，则， ． ． 分米，分米， 分米，． ，解得． ． 故答案为：． 23．如图，一辆火车在铁路上自西向东行驶，A处有一个测速仪，铁路有关部门规定路段限速已知B、C在上，，， (1)测速仪测得火车从点B行驶至点C用时2秒，该火车超速了吗？请说明理由； (2)若上有一点D，且，若火车从C点行驶至D点，求A处测速仪探头旋转角的度数． 【答案】(1)该火车超速，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的过程 （1）过A作于E，根据三角函数得出，进而解答即可； 作于F，根据直角三角形的三角函数解答即可． 【详解】（1）该火车超速，理由如下： 火车限速为，则每秒限速为， 过A作于E， ，， ， ， 在中，， ， ， 则该火车速度为， ， 该火车超速了； （2）作于F， 由知，中，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 24．周末天气晴好，热爱户外运动的黄老师去爬山．途中有一段山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，黄老师从起点A出发，沿走460米到B点，再沿到山顶C点，已知山高为392米，，，交的延长线于点F，．（图中所有点均在同一平面内） (1)求的长； (2)求黄老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：） 【答案】(1)230米 (2)670米 【分析】本题考查了解直角三角形应用．熟练掌握含30度的直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正弦函数，是解题的关键． （1）在中，根据，可得，即可求解； （2）根据，，得出，再根据四边形是矩形，结合即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， 故的长为230米； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴． 故黄老师从山脚A点到达山顶点的路程约为670米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 三角函数的应用 题型一 利用同角三角函数关系求值 1．在中，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．在中，，若，则的值为 ． 3．如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 题型二 求证同角三角函数关系式 4．如图，在正方形中，E，F分别是BC，CD的中点，AE交BF于点H，交BF于点G，下列结论，①；②；③；④其中正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 5．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．设，，正方形和正方形的面积分别为和，若，则 ． 6．四边形为正方形． (1)如图1，，垂足为，求证：． (2)如图2，当点为中点，连接，在上取，连接并延长交于点． ①求证：； ②求证：． 题型三 互余两角三角函数的关系 7．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．已知，则值为 ． 9．如图，在中，，是上一点，过点作，垂足为．连接并延长交于点．    (1)求证：； (2)若为的中点，，求的值． 题型四 三角函数综合 10．如图，中，，点E为边的中点，点F为边上一点且有，则为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在等腰三角形中，为边的中点，于点E，则 ． 12．如图，线段的中点是点，以点为圆心，为半径作，点是上一点（不在直线上），连接、、． (1)求证：． (2)若，求的值． 题型五 方位角问题（解直角三角形的应用） 13．如图，沿方向架桥修路，为加快施工速度，在直线上湖的另一边的点D处同时施工，取，，，则C，D两点之间的距离为（  ） A． B． C． D． 14．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，则A，B间的距离为（    ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 15．如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，在的正西方向，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向，且船离观测站的距离为，则两个观测站之间的距离为 ．（结果用根号表示）． 16．王子和小于两人相约一起去篮球馆打篮球．已知王子家B在小于家A的北偏西方向上，．两人到达篮球馆C处后，发现小于家A在篮球馆C的南偏西方向上，王子家B在篮球馆C的南偏西方向上．则小于家A到篮球馆C的距离 （结果精确到；参考数据：，，） 17．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距成纪大道100米的点C处，如图所示，直线l表示成纪大道．这时一辆小汽车由成纪大道上的A处向B处匀速行驶，用时5秒．经测量，点A在点C的北偏西方向上，点B在点C的北偏西方向上． (1)求A、B之间的路程精确到米； (2)请判断此车是否超过了成纪大道60千米/小时的限制速度？参考数据：， 18．因天气原因戏剧展演取消，戏剧学院学生小数和小学不用演了，于是他们打算从剧院A处返回到学校C处，如图，学校C在剧院A的正北方向，小数从剧院A出发，沿北偏西方向前进到达商店B购买雨伞（假设购买雨伞的时间不计），再从商店B出发，沿北偏东方向行走至学校C，小学从剧院A出发，沿北偏东方向行走至江湖菜馆D，再从江湖菜馆D出发，沿北偏西．方向到学校C．（参考数据：） (1)求商店B与学校C之间的距离（结果保留根号）； (2)已知小数的平均速度为，小学的平均速度为，请通过计算说明小数和小学谁先到达学校C．通过计算说明（结果保留小数点后一位）． 题型六 其他问题（解直角三角形的应用） 19．如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为的位置释放到处时，两次位置的高度差．则秋千绳索的长为（    ） A． B． C． D． 20．如图，在电线杆离地面米高的点处向地面拉一根缆绳，缆绳和地面成角，则的长为（   ） A． B． C． D． 21．如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端A离墙根的垂直距离米，则梯子顶端B距地面的垂直高度的值为 米． 22．图1为《天工开物》中记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”．图2为其平面示意图．已知于点，与水平线相交于点，，，若分米，分米，，则 分米． 23．如图，一辆火车在铁路上自西向东行驶，A处有一个测速仪，铁路有关部门规定路段限速已知B、C在上，，， (1)测速仪测得火车从点B行驶至点C用时2秒，该火车超速了吗？请说明理由； (2)若上有一点D，且，若火车从C点行驶至D点，求A处测速仪探头旋转角的度数． 24．周末天气晴好，热爱户外运动的黄老师去爬山．途中有一段山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，黄老师从起点A出发，沿走460米到B点，再沿到山顶C点，已知山高为392米，，，交的延长线于点F，．（图中所有点均在同一平面内） (1)求的长； (2)求黄老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：） 1 学科网（北京）股份有限公司 $