精品解析：山东威海市荣成市实验联盟（五四制）2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

初二数学试题 注意事项： 同学你好1答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷共6页，满分120分．考试时间120分钟．考试结束只上交答题卡． 2．答题前，用0.5毫米黑色签字笔将考生信息填涂在答题卡指定的位置上． 3．将选择题答案用2B铅笔涂在答题卡对应题目的标号上，将非选择题答案用0.5毫米黑色中性笔填写在答题卡上，不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 4．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是【 】 A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 【答案】B 【解析】 【详解】随机事件. 根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断： 抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件.故选B. 2. 下面数轴上所表示的不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵在数轴上，表示的点是实心点，表示的点是空心点， ∴表示的不等式是． 3. 若，则下列不等式不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项，即可得到不一定正确的选项． 【详解】解：， 选项A：不等式两边同时乘，根据不等式基本性质，不等号方向改变，可得，故A选项一定正确； 选项B：不等式两边同时减，根据不等式基本性质，不等号方向不变，可得，故B选项一定正确； 选项C：不等式两边同时减，根据不等式基本性质，不等号方向不变，可得，故C选项一定正确； 选项D：举反例：当，时，满足，但，，此时，因此不一定正确，故D选项不一定正确． 4. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，原方程组的解同时满足，可先联立不含的两个方程求出的值，再代入含的方程计算即可． 【详解】解：由题意可得方程组， 将两个方程相加，得， 解得， 把代入，得， 把代入，得 ． 5. 下列命题中，不是真命题的是（ ） A. 同角的补角相等 B. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行 C. 一个三角形中至少有两个锐角 D. 如果为实数，那么 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、同角的补角相等，是真命题； B、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，是真命题； C、∵三角形内角和为，∴三角形最多只有1个直角或钝角，∴一个三角形中至少有两个锐角，是真命题； D、当时，为实数，但，不满足，∴该命题不是真命题． 6. 如图，点在线段上，以为边向上作，．以为底边作等腰，使，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用可证明，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 7. 如图所示，直线和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把代入，求出，，根据图象，找出直线的函数图象在直线的函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵直线和的图象相交于点， ∴， 解得：， ∴， ∴的解集为． 8. 将一条两边互相平行的纸带按如图方式折叠，折痕分别为，且满足．若为，则为（ ） A. 100° B. C. 120° D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用平行线性质推出，结合折叠性质得到，最后依据平角定义用减去与的度数，算出． 【详解】解：如图： 由题意知：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据折叠的性质得 ， ∴． 9. 如图，已知，按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接．②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，．③连接交于点．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等，得到是的角平分线是解题的关键． 利用基本作图得出是角平分线的作图，通过证明，以及等腰三角形三线合一，以及，即可判断各选项． 【详解】解：由作图步骤可得：是的角平分线，，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 但不能得出， ∴A、B、D选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意， 故选：C． 10. 如图，在中，垂直平分于点，是边的垂直平分线，交，，于点，，，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直平分得出，，，根据是边的垂直平分线得出，根据直角三角形两锐角互余的性质及外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵垂直平分于点，点在上，， ∴，， ∴，，，， ∴，即， ∵是边的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只要求填出最后结果） 11. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值及平方的非负数性质得出，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 12. 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，则从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟．设这段路平路有米，坡路有米，则根据题意可得到方程组： _______． 【答案】 【解析】 【分析】设平路长米，坡路长米，根据公式，分别结合从家到学校、从学校到家的总时间，即可列出关于、的二元一次方程组． 【详解】解：从小华家到学校，走平路的时间为，走下坡路的时间为，总时间为分钟， ， 从学校回到小华家，原下坡路变为上坡路，走平路的时间仍为，走上坡路的时间为，总时间为分钟， ， 综上，可得方程组． 13. 小明和小颖利用一枚均匀的六面体骰子做游戏．若规则为：每人投掷一次骰子，谁掷出的点数大谁就获胜．小明先掷，小颖后掷．如果小明掷出的点数是2，那么小颖获胜的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定小颖投掷骰子所有等可能的结果数，再找出小颖掷出点数大于2即获胜的结果数，根据概率公式计算即可得到结果． 【详解】解：已知小明掷出的点数为2， 小颖投掷均匀六面体骰子，所有等可能的结果共有6种，分别为点数， 小颖获胜需要满足掷出的点数大于2，符合条件的结果有，共4种， 根据概率公式可得：． 14. 如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为________． 【答案】120° 【解析】 【分析】先证明△DCB≌△ACE，再利用“8字型”证明∠AOH=∠DCH=60°即可解决问题． 【详解】解：如图：AC与BD交于点H． ∵△ACD，△BCE都是等边三角形， ∴CD=CA，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°， ∴∠DCB=∠ACE， ∴△DCB≌△ACE， ∴∠CAE=∠CDB， ∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180°，∠AOH+∠AHO+∠CAE=180°，∠DHC=∠OHA， ∴∠AOH=∠DCH=60°， ∴∠AOB=180°﹣∠AOH=120°． 故答案为：120° 【点睛】本题考查（1）全等三角形的判定与性质；（2）等边三角形的性质. 15. 如图，在中，，分别平分，交于点，过点作交于点，交于点．若，，则等于_______． 【答案】5 【解析】 【分析】首先根据角平分线的定义可知，根据平行线的性质可知，从而可知，根据等角对等边可证，同理可证，再根据线段的和与差求出的长度． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 16. 按要求完成下列各题： （1）解不等式组：； （2）解方程组：． 【答案】（1）不等式组的解集为 （2）原方程组的解为 【解析】 【分析】（1）先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可； （2）先整理方程组可得，然后再运用代入消元法解答即可． 【小问1详解】 解：整理得： ， 解不等式①得，， 解不等式②得， 不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：原方程组可化为， 由②得，， 把③代入①得，， 解得，， 把代入③得，， 原方程组的解为． 17. 空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年月日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图2，，，，请你求出的度数． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于，根据平行线的性质得出，利用三角形外角性质即可得出答案． 【详解】解：如图，延长交于， ∵，， ∴， ∵， ∴． 18. 现在有正面分别写“最”“美”“荣”“成”的卡片共20张，这些卡片的形状、大小完全相同．已知写有“最”字的卡片有8张，“荣”字的卡片有4张，“成”字的卡片有3张，其余卡片写有“美”字，混匀后，将卡片放入不透明的箱子中． （1）事件“随机抽取3张，全是写有‘成’字的卡片”为______事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） （2）随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； （3）向箱子中再放入15张卡片（与原有卡片外观相同），新放入的卡片中写有“荣”字的卡片有6张，混匀后，从箱子中随机抽出一张卡片，求抽到写有“荣”字卡片的概率． 【答案】（1）随机 （2）抽到写有“美”字卡片的概率为 （3）抽到写有“荣”字卡片的概率为 【解析】 【分析】（1）必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此进行判断即可． （2）求出写有“美”字的卡片的数量，再根据概率公式求解即可； （3）求出新放入后写有“荣”字的卡片的总数量，再根据概率公式求解即可； 【小问1详解】 写有“成”字的卡片仅有3张，存在一次性抽出3张全是“成”字卡片的可能，也可能不出现；因此该事件为随机事件． 【小问2详解】 解：卡片总数为20张， 写有“美”字的卡片数量：（张）． ∴抽到写有“美”字卡片的概率为． 【小问3详解】 解：原有“荣”字卡片4张，新放入6张， “荣”字卡片总数量：（张）． 卡片总数量：（张）． ∴抽到写有“荣”字卡片的概率为． 19. 如图，将一次函数沿轴翻折，然后向右平移1个单位长度，得到直线，两直线相交于点． （1）求的表达式； （2）请你求出点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据翻折的性质得出翻折后的解析式为，再根据“左加右减”的平移规律即可得出答案； （2）联立、解析式，解方程组求出、的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵将一次函数沿轴翻折， ∴翻折后的一次函数解析式为， ∵将翻折后的一次函数向右平移个单位长度，得到直线， ∴． 【小问2详解】 解：联立、解析式得，， 解得：， ∴． 20. 如图，将等腰直角三角形的直角顶点置于直线l上，且过，两点分别作直线的垂线，垂足分别为，，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程． 【答案】与全等，证明见解析 【解析】 【分析】先证明，然后根据证明，即可求解． 【详解】解：与全等 理由如下： 根据题意可知： 在中， 又 在与中， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 21. 为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元． （1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台； （2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润=售价﹣进价） 【答案】（1）A种型号家用净水器购进了100台，B种型号家用净水器购进了60台．（2）每台A型号家用净水器的售价至少是200元． 【解析】 【分析】（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台，根据条件列二元一次方程组解答即可； （2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，根据题意列出不等式求解即可. 【详解】解：（1）设A种型号家用净水器购进了x台，B种型号家用净水器购进了y台， 由题意得，解得； 答：A种型号家用净水器购进了100台，B种型号家用净水器购进了60台． （2）设每台A型号家用净水器的毛利润是a元，则每台B型号家用净水器的毛利润是2a元， 由题意得100a+60×2a≥11000，解得a≥50， 150+50=200（元）． 答：每台A型号家用净水器的售价至少是200元． 【点睛】考点：1.二元一次方程组的实际运用2.一元一次不等式组的实际运用 22. 如图，在等边三角形中，，点在边上，连接，以为边作等边，连接． （1）求证：； （2）点关于直线的对称点为，连接．补全图形并证明． 【答案】（1）证明：∵等边和等边， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ； （2）补全图形如下： 证明：∵点和点关于对称， 垂直平分， ， ， ∴，即， 由得， ． 【解析】 【分析】证明即可求证； 由轴对称可得垂直平分，得到，进而由等腰三角形的性质得，即得到，又由全等三角形的性质得，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 图形感知：如图1，在中，为三个内角角平分线的交点，过点分别作三边的垂线，垂足分别为点． 问题探究：小明说他可以用方程思想求出的长：通过证明可得，同理．设，则，因为，可得，从而求出．小刚说他可以用方程思想求出的长：由角平分线的性质可以证出，因为，由条件可知，设，所以可得方程，解得． 方法迁移：如图2，在中，，点为外角与以及内角的角平分线的交点，过点分别作的垂线，垂足分别为点，． （1）请你参考小明的证明思路求出长． （2）请你参考小刚的证明思路求出长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先证明是等腰三角形，再根据“三线合一”得，，证，同理得，设，列方程求解即可． （2）令与的交点为M，先证明是等腰三角形，再根据“三线合一”得，，由角平分线的性质得，设根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：平分， 是等腰三角形， 由“三线合一”得，， 由题意得，， ∴， 又∵， ∴． ． 同理． ， ． 设， 则有． ． ． 【小问2详解】 解：令与的交点为M， ∵，平分， 是等腰三角形， 由“三线合一”得，， 又∵平分，平分，，， ∴． 设． ∵的面积是12. ， ． 解得． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学试题 注意事项： 同学你好1答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷共6页，满分120分．考试时间120分钟．考试结束只上交答题卡． 2．答题前，用0.5毫米黑色签字笔将考生信息填涂在答题卡指定的位置上． 3．将选择题答案用2B铅笔涂在答题卡对应题目的标号上，将非选择题答案用0.5毫米黑色中性笔填写在答题卡上，不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 4．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是【 】 A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 2. 下面数轴上所表示的不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，不是真命题的是（ ） A. 同角的补角相等 B. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行 C. 一个三角形中至少有两个锐角 D. 如果为实数，那么 6. 如图，点在线段上，以为边向上作，．以为底边作等腰，使，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，直线和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 将一条两边互相平行的纸带按如图方式折叠，折痕分别为，且满足．若为，则为（ ） A. 100° B. C. 120° D. 9. 如图，已知，按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接．②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，．③连接交于点．下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，垂直平分于点，是边的垂直平分线，交，，于点，，，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．只要求填出最后结果） 11. 已知，则_______． 12. 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，则从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟．设这段路平路有米，坡路有米，则根据题意可得到方程组： _______． 13. 小明和小颖利用一枚均匀的六面体骰子做游戏．若规则为：每人投掷一次骰子，谁掷出的点数大谁就获胜．小明先掷，小颖后掷．如果小明掷出的点数是2，那么小颖获胜的概率为______． 14. 如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为________． 15. 如图，在中，，分别平分，交于点，过点作交于点，交于点．若，，则等于_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 16. 按要求完成下列各题： （1）解不等式组：； （2）解方程组：． 17. 空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年月日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图2，，，，请你求出的度数． 18. 现在有正面分别写“最”“美”“荣”“成”的卡片共20张，这些卡片的形状、大小完全相同．已知写有“最”字的卡片有8张，“荣”字的卡片有4张，“成”字的卡片有3张，其余卡片写有“美”字，混匀后，将卡片放入不透明的箱子中． （1）事件“随机抽取3张，全是写有‘成’字的卡片”为______事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） （2）随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； （3）向箱子中再放入15张卡片（与原有卡片外观相同），新放入的卡片中写有“荣”字的卡片有6张，混匀后，从箱子中随机抽出一张卡片，求抽到写有“荣”字卡片的概率． 19. 如图，将一次函数沿轴翻折，然后向右平移1个单位长度，得到直线，两直线相交于点． （1）求的表达式； （2）请你求出点的坐标． 20. 如图，将等腰直角三角形的直角顶点置于直线l上，且过，两点分别作直线的垂线，垂足分别为，，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程． 21. 为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元． （1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台； （2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润=售价﹣进价） 22. 如图，在等边三角形中，，点在边上，连接，以为边作等边，连接． （1）求证：； （2）点关于直线的对称点为，连接．补全图形并证明． 23. 图形感知：如图1，在中，为三个内角角平分线的交点，过点分别作三边的垂线，垂足分别为点． 问题探究：小明说他可以用方程思想求出的长：通过证明可得，同理．设，则，因为，可得，从而求出．小刚说他可以用方程思想求出的长：由角平分线的性质可以证出，因为，由条件可知，设，所以可得方程，解得． 方法迁移：如图2，在中，，点为外角与以及内角的角平分线的交点，过点分别作的垂线，垂足分别为点，． （1）请你参考小明的证明思路求出长． （2）请你参考小刚的证明思路求出长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $