精品解析：山东省威海市荣成市实验学校（五四制）2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题

初二数学试题 注意事项： 同学你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷共6页，满分120分．考试时间120分钟．考试结束只上交答题卡． 2．答题前，用0.5毫米黑色签字笔将考生信息填涂在答题卡制定的位置上． 3．将选择题答案用铅笔涂在答题卡对应题目的标号上，将非选择题答案用0.5毫米黑色中性笔填写在答题卡上，不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 4．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. “天宫课堂”第四课航天员演示了“水球变向实验”，水球的运动轨迹可表示为二元一次方程．下列哪组解是这个二元一次方程的解（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的概念，即判断给定的和值是否满足方程．牢记方程的解是使方程左右两边成立的未知数的值并能准确计算是解题是关键． 将每个选项中的和代入方程，验证等式是否成立，即可求解． 【详解】解：A．当时，，此选项不符合题意； B．当时， ，此选项不符合题意； C．当时，，此选项符合题意； D．当时，，此选项不符合题意； 故选：C. 2. 一次函数和的图象的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把所给的两个函数解析式联立，组成方程组，解方程组求得x、y的值，即可得两个函数图像的交点坐标. 【详解】由题意可得， ， 解得， ， ∴一次函数和图象的交点坐标为（2，5）. 故选A. 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一次函数的关系，解题的关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点． 3. 不等式组解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，该不等式组的解集为， 在同一数轴上表示不等式的解集如下： 故选：A． 4. 下列语句中，不是命题的是（ ） A. 两个锐角的和大于直角 B. 作的平分线 C. 三个角对应相等的两个三角形全等 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了命题的定义，解题的关键是掌握命题的定义以及各性质定理． 根据命题的定义，判断各选项是否为可以判断真假的陈述句． 【详解】解： 选项A：“两个锐角的和大于直角”是命题，不符合题意； 选项B：“作的平分线”是祈使句，描述一个操作而非陈述事实，无法判断真假，因此不是命题，符合题意; 选项C：“三个角对应相等的两个三角形全等”是命题，不符合题意； 选项D：“两直线平行，同位角相等”是陈述句且为真命题，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，在中，，是的平分线，外角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质． 利用三角形的外角求出的度数，利用角平分线的性质求出的度数，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ， ∴， 故选：C． 6. 如图，已知，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 利用全等三角形的判定和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， ∴， 即，该选项正确，不符合题意； B. ∵， ∴， 由A.选项得， 又， ， ∴，该选项正确，不符合题意； C. ∵， ∴， 由B.选项得， ∴， 即， 又， , ∴，该选项正确，不符合题意； D.由以上条件，无法确定 ，该选项错误，符合题意； 故选：D． 7. 某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，符合这一结果的实验最有可能的是（ ） 实验次数 100 200 500 800 1000 2000 频率 0.165 0.166 0.166 0.167 0.166 0.167 A. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C. 抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5 D. 抛一枚硬币，出现反面的概率 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了用频率估计概率， 根据表格数据，随着实验次数的增加，频率稳定在0.167左右，对应的概率约为．需逐一验证各选项的理论概率，选择最接近的选项． 【详解】解：表格中实验次数从100到2000时，频率在0.165至0.167之间波动，最终稳定在附近， A：一副去掉大小王的扑克牌共52张，红桃有13张，概率为，不符合． B：在“石头、剪刀、布”游戏中，每个选项的概率为，不符合． C：正六面体骰子每个点数出现的概率均为，与表格数据一致． D：抛硬币出现反面的概率为，不符合． ∴选项C的理论概率与实验频率最接近． 故选：C． 8. 某文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打八折，能比标价省19.8元． 已知书包标价比文具盒标价的3倍多15元，若设文具盒的标价是x元，书包的标价为y元，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据文具盒和书包之间的关系列出方程组即可． 【详解】根据题意有，即 故选：A． 【点睛】本题主要考查列二元一次方程组，读懂题意，找到等量关系是解题的关键． 9. 如果直线与直线的交点在轴上，那么当时，和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据题意判断出一次函数的增减性是解答本题的关键． 由两直线交点在x轴上，可求得参数b的值，再代入计算和的值进行比较． 【详解】将代入，得： 解得 ∴交点为 将代入，得： 解得 ∴ ∴时， ∵ ∴ 故选：A． 10. 如图，的外角的平分线，交于点于点于点，下列结论中：①周长为；②；③连接，则垂直平分线段；④的面积为与的面积和；⑤．其中正确的是（ ） A. ②③④⑤ B. ①②④⑤ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等内容，解题的关键是掌握以上性质，并且巧妙构造辅助线． 利用角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等内容逐项进行判断即可． 【详解】解：①如图所示，过点作，交于于点， 平分，， ， 又∵， ∴， 同理，，， 综上，， ∴， 平分， ∵，，，， ∴， ∴， ∴周长为:， 故①正确，符合题意； ②由和得， ， ∴， 故②正确，符合题意； ③如图所示，连接， 由和得， 垂直平分线段，而非垂直平分线段， 故③错误，不符合题意； ④由和得， 的面积为与的面积和， 故④正确，符合题意； ⑤如图，在上靠近点侧，截取，交于点， ， ∴， ， ， 又， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， 又 ∴， ∵和， ， ∴， ∴， 即， 故⑤正确，符合题意； 综上，①②④⑤正确，符合题意， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果） 11. 等腰三角形有一内角为，则这个等腰三角形底角的度数为______ ． 【答案】或 【解析】 【分析】由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论． 【详解】分两种情况： 当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数； 当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解答此题时要注意的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，分类讨论是正确解答本题的关键． 12. “若，则”是一个假命题，请举反例说明______________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意找到一个，但的即可． 【详解】若，此时，所以“若，则”是一个假命题， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查通过举反例说明一个命题为假命题，举反例是证明一个命题为假命题的常用方法，反例无需多，一个即可．反例是满足命题条件而不满足结论的例子，一般不唯一． 13. 若不等式的解集为，则的值为___________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查的知识点是解一元一次不等式，一元一次不等式的解集，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式．先移项和合并同类项，将系数化为1得出不等式的解，再由该不等式的解集为，可推得，求解即可． 【详解】解：， ， ， 由题意可得： ∴， ∴． 故答案为：7 14. 从分别标有数－3，－2，－1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由标有数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的七张没有明显差别的卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上的数的绝对值不小于2的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵标有数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的七张没有明显差别的卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上的数的绝对值小于2的有﹣1，0，1三种情况， ∴随机抽取一张，所抽卡片上的数的绝对值小于2的概率是：． 故答案为． 15. 如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为___________． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，，再根据的周长，从而得出答案． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理， 的周长， 故答案为：． 16. 如图，在中，，．平分，交于点，，垂足为点；平分，交于点，，垂足为点．若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，解题时注意，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．先根据，，平分，，求得，，再根据平分，，求得，，设，根据，列出方程求解即可． 【详解】解：，，平分，， ，， 又平分，， ，， 设，则，，， 中， ，即， 解得， 即． 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. （1）解不等式，并把解集表示在数轴上； （2）解不等式组，并求出所有整数解之和． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确计算是解题的关键． （1）解不等式求得其解集后在数轴上表示出来即可； （2）解各不等式求得其解集后找到它们的公共部分，然后确定不等式组的整数解，将它们相加并计算即可． 【详解】解： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得 在数轴上表示为： （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则原不等式组的解集为， 所以所有整数解为：， 0，1，2，3，4， 整数解的和为：． 18. （1）解方程组：． （2）关于、的方程组，若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组的问题，熟练掌握运算法则，利用消元法进行计算是解题的关键． （1）利用加减消元法即可求解． （2）将两个方程相加便可求得，根据得出，即可求解． 【详解】解：（1）， 由①式得：③ 得， 解得： 将代入③得， 解得： 所以原方程组的解为． （2）依题意， 得： ∵ ∴ 解得：． 19. 如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利． （1）分别求出对应的函数表达式； （2）该产品的销售量超过多少吨时，生产该产品才能盈利？ 【答案】（1）直线的函数解析式为，直线的函数解析式为； （2）该产品销售量超过吨时，生产该产品才能盈利 【解析】 【分析】本题考查利用待定系数法求解直线的函数表达式，并根据这两个表达式确定产品开始盈利的销售量，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）分别利用待定系数法求解直线的函数表达式； （2）先求出直线交点的坐标，再通过图象比较两个直线的函数值，即可确定该产品开始盈利时的销售量． 【小问1详解】 解：设直线的函数解析式为， 由图可知，直线过点， 把点代入解析式得：， 解得：， 则直线的函数解析式为； 设直线的函数解析式为， 由图可知，直线过点、， 把点、代入解析式得：， 解得：， 则直线函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得， 有图象可知，当时，， 则该产品的销售量超过吨时，生产该产品才能盈利． 20. 甲乙两个布袋中都装有红白两种小球，两种小球除颜色外完全相同．甲袋中装有红球4个，白球5个；乙袋中装有红球3个，白球若干个． （1）从甲袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率为多少？ （2）若从乙袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，则乙袋中装有多少个白球？ （3）小明和小凡一起做游戏，将甲袋中的球全部倒入乙袋中，从中随机摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小凡获胜．要使游戏公平，则原来乙袋中应装有白球___________个． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查概率的概念，即某一事件发生的可能性大小，通过计算不同事件发生的概率来解决问题，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）甲袋中装有红球4个，白球5个，则球的总数为9个，根据概率公式，摸到红球的概率为红球个数除以总球数，即可解答； （2）设乙袋中装有白球个，根据题意，乙袋中装有红球3个，则球的总数为个，根据概率公式，摸到红球的概率为，解方程求出即可； （3）设原来乙袋中应装有白球个，将甲袋中的球全部倒入乙袋中，此时红球7个，白球个，球的总数为个，要使游戏公平，摸到红球和白球的概率应相等，即，解方程求出即可． 【小问1详解】 解：摸到红球的概率为； 【小问2详解】 设乙袋中装有白球个， 摸到红球的概率为， ， 解得：， 则乙袋中装有个白球； 【小问3详解】 设原来乙袋中应装有白球个， 小明获胜的概率为：， 小凡获胜的概率为：， 要使游戏公平，则， 解得：， 故答案为：． 21. 蔬菜经销商老王从果蔬园购进了白菜和西兰花进行销售，两种蔬菜的进价和售价如表所示： 白菜 西兰花 进价（元/斤） 售价（元/斤） 4 已知老王购进40斤白菜和10斤西兰花共需144元，购进30斤白菜和20斤西兰花需要148元． （1）求的值； （2）若某天老王用600元购进白菜和西兰花共200斤，当天售完后老王一共能赚多少元钱？ 【答案】（1）a的值为，b的值为 （2）250元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． （1）根据“购进40斤白菜和10斤西兰花共需144元，购进30斤白菜和20斤西兰花需要148元．”列出方程组，即可求解； （2）设购进白菜x斤，西蓝花y斤，根据“用600元购进白菜和西兰花共200斤” ，列出方程组，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得： ， 解得：， 即a值为，b的值为； 【小问2详解】 解：设购进白菜x斤，西蓝花y斤，根据题意得： ， 解得：， 元， 答：当天售完后老王一共能赚250元钱． 22. 综合与实践 在一次课堂探究活动中，老师让同学探究如何利用尺规过直线外一点作已知直线的平行线．如图1，已知直线，点为直线外一点． （1）小东设计的尺规作图过程如下，如图2： ①在直线上取一点，连接； ②分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于、两点，作直线，交直线于点，交于点； ③以为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点，作直线．则就是所求作的直线． 你认为小东作的直线是否与平行？请说明理由． （2）小华设计的尺规作图过程如下，如图3： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交直线于点、，连接、，并延长至点； ②以为圆心，以任意长为半径作弧，分别交、于点、． ③分别以、为圆心，以大于长度为半径作弧，两弧交于点，作直线，则就是所求的直线． 你认为小华作的直线是否与平行？请说明理由． 【答案】（1）平行，理由见解析 （2）平行，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的尺规作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线和角平分线的尺规作图． （1）利用判断出，得出，即可得出结论； （2）根据作图可得是的角平分线，进而证明，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意可知：直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 根据作图可得， 是的角平分线， ， ， 又， ， ∴ ． 23. 台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线性质是解题关键．分别过点、、作，，，根据角平分线的定义以及垂线的定义得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】如图所示，分别过点、、作，， ，，， ， ， ， ， 的平分线始终与垂直． ， ， ． 24. 问题提出：已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． （1）问题解决：小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接．请你从小明和小刚的证明思路中任选一种进行证明． （2）问题拓展：如图③，在四边形中，对角线平分，，过点作，垂足为点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理；熟练掌握角平分线性质定理，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）小明的证明方法：证出，由证明，即可得出结论；小刚的证明方法：证出，得出，，再证明，即可得出结论； （2）作于M，先根据角平分线的性质得出，证明，得出，证明，得出，再根据线段的和差即可得出答案． 【小问1详解】 解：小明的证明方法： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 小刚的证明方法： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，理由如下： 证明：作于M，如图所示： ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初二数学试题 注意事项： 同学你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷共6页，满分120分．考试时间120分钟．考试结束只上交答题卡． 2．答题前，用0.5毫米黑色签字笔将考生信息填涂在答题卡制定的位置上． 3．将选择题答案用铅笔涂在答题卡对应题目的标号上，将非选择题答案用0.5毫米黑色中性笔填写在答题卡上，不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 4．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. “天宫课堂”第四课航天员演示了“水球变向实验”，水球的运动轨迹可表示为二元一次方程．下列哪组解是这个二元一次方程的解（ ） A. B. C. D. 2. 一次函数和的图象的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式组解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列语句中，不是命题的是（ ） A. 两个锐角的和大于直角 B. 作的平分线 C. 三个角对应相等的两个三角形全等 D. 两直线平行，同位角相等 5. 如图，在中，，是的平分线，外角，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，符合这一结果的实验最有可能的是（ ） 实验次数 100 200 500 800 1000 2000 频率 0.165 0.166 0.166 0.167 0.166 0.167 A. 一副去掉大小王普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C. 抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5 D. 抛一枚硬币，出现反面的概率 8. 某文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打八折，能比标价省19.8元． 已知书包标价比文具盒标价的3倍多15元，若设文具盒的标价是x元，书包的标价为y元，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如果直线与直线的交点在轴上，那么当时，和的大小关系为（ ） A B. C. D. 无法确定 10. 如图，的外角的平分线，交于点于点于点，下列结论中：①周长为；②；③连接，则垂直平分线段；④的面积为与的面积和；⑤．其中正确的是（ ） A. ②③④⑤ B. ①②④⑤ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果） 11. 等腰三角形有一内角为，则这个等腰三角形底角的度数为______ ． 12. “若，则”一个假命题，请举反例说明______________________． 13. 若不等式的解集为，则的值为___________． 14. 从分别标有数－3，－2，－1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是_________． 15. 如图，分别作两个内角的角平分线，过点作直线，分别交、于点、．若，，则的周长为___________． 16. 如图，在中，，．平分，交于点，，垂足为点；平分，交于点，，垂足为点．若，则___________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. （1）解不等式，并把解集表示在数轴上； （2）解不等式组，并求出所有整数解之和． 18. （1）解方程组：． （2）关于、的方程组，若原方程组的解也是二元一次方程的一个解，求的值． 19. 如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利． （1）分别求出对应的函数表达式； （2）该产品的销售量超过多少吨时，生产该产品才能盈利？ 20. 甲乙两个布袋中都装有红白两种小球，两种小球除颜色外完全相同．甲袋中装有红球4个，白球5个；乙袋中装有红球3个，白球若干个． （1）从甲袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率为多少？ （2）若从乙袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，则乙袋中装有多少个白球？ （3）小明和小凡一起做游戏，将甲袋中的球全部倒入乙袋中，从中随机摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小凡获胜．要使游戏公平，则原来乙袋中应装有白球___________个． 21. 蔬菜经销商老王从果蔬园购进了白菜和西兰花进行销售，两种蔬菜的进价和售价如表所示： 白菜 西兰花 进价（元/斤） 售价（元/斤） 4 已知老王购进40斤白菜和10斤西兰花共需144元，购进30斤白菜和20斤西兰花需要148元． （1）求的值； （2）若某天老王用600元购进白菜和西兰花共200斤，当天售完后老王一共能赚多少元钱？ 22. 综合与实践 在一次课堂探究活动中，老师让同学探究如何利用尺规过直线外一点作已知直线的平行线．如图1，已知直线，点为直线外一点． （1）小东设计尺规作图过程如下，如图2： ①在直线上取一点，连接； ②分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于、两点，作直线，交直线于点，交于点； ③以为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点，作直线．则就是所求作的直线． 你认为小东作的直线是否与平行？请说明理由． （2）小华设计的尺规作图过程如下，如图3： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交直线于点、，连接、，并延长至点； ②以为圆心，以任意长为半径作弧，分别交、于点、． ③分别以、为圆心，以大于长度为半径作弧，两弧交于点，作直线，则就是所求的直线． 你认为小华作的直线是否与平行？请说明理由． 23. 台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数． 24. 问题提出：已知，在四边形中，对角线平分，，求证：． （1）问题解决：小明说他可以用截长的方法解决，如图①，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．小刚说他用补短的方法也可以证明，如图②，延长到，使，连接．请你从小明和小刚的证明思路中任选一种进行证明． （2）问题拓展：如图③，在四边形中，对角线平分，，过点作，垂足为点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$