精品解析：贵州黔东南州2025-2026学年第二学期期末学业水平测试高二数学试卷

2025—2026学年度第二学期期末学业水平测试 高二数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为选择题和非选择题两部分，共19道小题，满分150分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，将条形码贴在答题卡“考生条形码区”． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 第Ⅰ卷 选择题部分（共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 已知数列为等差数列，，那么数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设数列的首项为，公差为，列方程组求出即得解. 【详解】解：设数列的首项为，公差为， 由题得，所以. 所以数列的通项为. 故选：A 2. 已知双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，若，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出的值，利用双曲线的定义可求得. 【详解】由题意知，所以，所以， 所以，所以点在双曲线的左支上， 所以，所以， 故选：D. 3. 已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解. 【详解】因为为直径，所以圆心为， 半径， 所以圆的方程为. 故选：C. 4. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表： 广告费用x（万元） 3 4 5 6 销售额y（万元） 25 30 40 45 根据如表可得回归方程中的为7．根据此模型预测广告费用为10万元时销售额为（ ）万元 A. 63.6 B. 75.5 C. 73.5 D. 72.0 【答案】C 【解析】 【分析】线性回归方程．根据回归方程必过样本中心点，求出回归系数，再将代入，即可得到预报销售额． 【详解】解：由题意，，， 由回归方程中的为7可得，，解得， 所以，回归方程为， 所以时，元． 故选：C． 5. 已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点的坐标，利用平面内两点间的距离公式求出的值，即可得出该抛物线的准线的方程. 【详解】抛物线的焦点为， 则，且，解得， 故该抛物线的准线方程为. 故选：C. 6. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“礼”在第一次，“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ） A. 48种 B. 36种 C. 24种 D. 20种 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“书”进行全排列，再将“射”和“御”交换位置，最后安排“数”， 根据分步计数原理即可求解. 【详解】解：因为“礼”在第一次，所以只需安排后面五次讲座的次序即可， 又“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻， 所以先将“射”和“御”捆绑看作一个元素与“乐”和“书”进行全排列有种排法，再将“射”和“御”交换位置有种排法，最后安排“数”有种排法， 所以根据分步计数原理共有种排法， 故选：B. 7. 已知直线与圆交于两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求圆的圆心和半径，再用点到直线的距离公式求点到直线的距离，再 利用弦长公式求. 【详解】因为圆的圆心为，半径r=2， 因为到直线的距离， 所以. 故选：B. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可得出、、，结合函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】设，其中，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 因为， ，， 因为，所以，即，所以， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若是等比数列，则，，成等比数列 D. 若是等差数列，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对选项A，利用特值法判断即可得到A错误，对选项B，利用与的关系判断即可得到B正确，对选项C，利用特值法判断即可判断C错误，对选项D，根据等差数列公式即可判断D正确. 【详解】对选项A，，，， ，不满足是等差数列，故A错误. 对选项B，当时，， 当时，， 检验：时，，所以，即是等比数列，故B正确. 对选项C，当时，是等比数列， ，，， 不满足，，成等比数列，故C错误. 对选项D，，故D正确. 故选：BD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知随机变量的分布列为，，则 B. 若随机变量，则 C. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则 D. 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据离散型随机变量的期望和方差公式即可求得；B选项，根据二项分布的期望公式求解期望，再借助期望的线性运算即可求得结果；C选项，根据古典概型的计算公式即可求得和的概率，相加即可；D选项，根据条件概率的乘法公式即可求得. 【详解】对于A：因为， 所以，故A正确； 对于B：因为随机变量，所以， 所以，故B 错误； 对于C：因为，故C正确； 对于D：设“下雨”为事件，“刮风”为事件， 则， 所以，故D正确. 11. 在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，点是正方形内一动点（包括边界），则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面，则点的轨迹长度是 C. 当点在直线上运动时，的最小值是 D. 若点是棱的中点，则平面截正方体所得截面的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：由平面平行可得点到平面的距离为定值，结合体积公式即可得；对B：借助线面平行的判定定理与性质定理与面面平行的性质定理可得平面平面，计算即可得点的轨迹长度；对C：将沿翻折到与在同一个平面，借助两点之间线段最短计算即可得；对D：画出截面图形后计算即可得. 【详解】对于A：平面平面，则点到平面的距离为定值2， 则为定值，故A正确； 对于B：如图1，分别取、中点、，连接， 则，且，又，故且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，有平面， 因为且都在平面内，所以平面平面， 因为平面平面， 所以点的轨迹是线段，其长度为，故B正确； 对于C：把沿翻折到与在同一个平面，如图2所示， 连接，则是的最小值，其中是边长为的等边三角形， 是直角边为2的等腰直角三角形， 由对称性得， 即的最小值是，故C错误； 对于D：如图3，由B选项知，四边形就是平面截正方体所得的截面图形， 其周长为，故D正确. 第Ⅱ卷 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 的二项展开式中项的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】写出的二项展开式，令的指数为，求出参数的值，代入展开式通项即可得解. 【详解】的展开式的通项为， 令，得，所以的二项展开式中项的系数为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，考查计算能力，属于基础题. 13. 已知随机变量，且，则_________． 【答案】## 【解析】 【详解】由随机变量，得正态曲线的对称轴，故， 因为，， 所以. 14. 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为______________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，，根据椭圆的对称性可得四边形为平行四边形，再利用椭圆定义得到，，在中，由余弦定理可得，即可求得. 【详解】解：设是椭圆的右焦点，连接，， 由对称性可知：，，则四边形为平行四边形， 则，即，且， 因为，则，， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足：，. （1）若，求证：为等差数列. （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证； （2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 因为，所以， 即，，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列； 【小问2详解】 由（1）可得，则， 所以， 所以 . 16. 在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接，， 又是的中点，所以，且． 因为四边形是矩形，所以且，所以，且． 因为是的中点，所以，所以且， 所以四边形是平行四边形，故． 因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形，可得线线平行，进而可证明线面平行.（2）根据空间向量，计算法向量，利用法向量的夹角求二面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，四边形是矩形，所以，，两两垂直， 以点为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）． 设，所以，． 因为，分别为，的中点， 所以，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 由即 令，则，，所以． 设平面的一个法向量为， 由即 令，则，， 所以． 所以． 由图知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 17. 为了解高二､1班学生数学建模能力的总体水平，王老师组织该班的50名学生（其中男生24人，女生26人）参加数学建模能力竞赛活动. （1）若将成绩在80分以上的学生定义为“有潜力的学生”，统计得到如下列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为该班学生的数学建模能力与性别有关联？ 没有潜力 有潜力 合计 男生 6 18 24 女生 14 12 26 合计 20 30 50 （2）现从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的调研，记随机变量为这3人中男生的人数，求的分布列和数学期望. 附：. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）依据小概率值的独立性检验，认为该班学生的数学建模能力与性别无关 （2）分布列见解析，数学期望. 【解析】 【分析】（1）按照独立性检验步骤求出，后进行判断即可； （2）运用超几何分布概率公式求概率，后列出分布列，再求期望即可. 【小问1详解】 零假设为：该班学生的数学建模能力与性别无关， 因为， 所以，依据小概率值的独立性检验，没有充分证据证明推断不成立， 因此可以认为成立，即该班学生的数学建模能力与性别无关. 【小问2详解】 从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，其中男生有3人女生有2人， 则随机变量服从超几何分布，可能取. ， ， . 则的分布列为 1 2 3 所以. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，求的单调区间； （3）若存在，使得，求证：. 【答案】（1）； （2）单调递减区间为，单调递增区间为； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求导得函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数，利用导数求出单调区间. （3）利用导数求得，确定函数单调性，由此可得，再按分类并构造函数，利用单调性证明不等式. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 依题意，的定义域为，求导得， 令函数，求导得， 函数，即在上单调递增，而，则当时，； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 函数，求导得， 则函数在上单调递减，又，则当时，；当时，， 由，得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且，则， 若存在，使得，则， 当时，，满足； 当时，，此时或， 当时，，不等式显然成立； 当时，要证，即证明，而，在上单调递增， 因此要证明，即证明，又，即证明. 令函数， 求导得，令， 求导得， 函数在上单调递减，，即，函数在上单调递增， 因此，即在区间上恒成立，则， 由，得， 由函数在上单调递增，得，即， 所以. 19. 已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为. （1）求椭圆C的方程； （2）设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，. （i）证明：； （ii）证明：直线AB过定点. 【答案】（1） （2）（i）设直线PA的方程为， 直线PB的方程为，由题知， 所以，所以， 同理，， 所以，是方程的两根，所以. （ii）设，，设直线AB的方程为， 将代入得， 所以，① ，② 所以，③ ，④ 又因为，⑤ 将①②③④代入⑤，化简得， 所以，所以， 若，则直线，此时AB过点P，舍去. 若，则直线，此时AB恒过点， 所以直线AB过定点. 【解析】 【分析】（1）利用，结合三角形的面积公式，求出，即可求椭圆的方程. (2) （i）设直线的方程为，直线的方程为，由题意可知，可得是方程的两根，利用韦达定理即可证明. （ii）设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合，可得与的关系式，即可证明直线过定点. 【小问1详解】 解：由题知，，的面积等于， 所以，解得，，所以，椭圆C的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末学业水平测试 高二数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为选择题和非选择题两部分，共19道小题，满分150分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，将条形码贴在答题卡“考生条形码区”． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 第Ⅰ卷 选择题部分（共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 已知数列为等差数列，，那么数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，若，则（ ） A. B. 或 C. 或 D. 3. 已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表： 广告费用x（万元） 3 4 5 6 销售额y（万元） 25 30 40 45 根据如表可得回归方程中的为7．根据此模型预测广告费用为10万元时销售额为（ ）万元 A. 63.6 B. 75.5 C. 73.5 D. 72.0 5. 已知点到抛物线的焦点的距离为，则该抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．为传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“礼”在第一次，“数”不在最后，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ） A. 48种 B. 36种 C. 24种 D. 20种 7. 已知直线与圆交于两点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若，则是等比数列 C. 若是等比数列，则，，成等比数列 D. 若是等差数列，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知随机变量的分布列为，，则 B. 若随机变量，则 C. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则 D. 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为 11. 在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，点是正方形内一动点（包括边界），则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若平面，则点的轨迹长度是 C. 当点在直线上运动时，的最小值是 D. 若点是棱的中点，则平面截正方体所得截面的周长为 第Ⅱ卷 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 的二项展开式中项的系数为______. 13. 已知随机变量，且，则_________． 14. 已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，，，则椭圆的离心率为______________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足：，. （1）若，求证：为等差数列. （2）求数列的前项和. 16. 在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值． 17. 为了解高二､1班学生数学建模能力的总体水平，王老师组织该班的50名学生（其中男生24人，女生26人）参加数学建模能力竞赛活动. （1）若将成绩在80分以上的学生定义为“有潜力的学生”，统计得到如下列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为该班学生的数学建模能力与性别有关联？ 没有潜力 有潜力 合计 男生 6 18 24 女生 14 12 26 合计 20 30 50 （2）现从“有潜力”的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的调研，记随机变量为这3人中男生的人数，求的分布列和数学期望. 附：. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，求的单调区间； （3）若存在，使得，求证：. 19. 已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为. （1）求椭圆C的方程； （2）设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，. （i）证明：； （ii）证明：直线AB过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $