吉林松原市吉林油田高级中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

《高一数学期末答案》 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 ⊙ D B C AD CD ACD 1.B (1-3i)2=1-6i+(31)2=1-9-6i=-8-6i 2.A 由题意得cosA= AB2+AC-BC(V6)+1+3}-22V2 2AB.AC 2x6×1+√5) =号，又0<4<180，所以4=45 3.C 对于选项A,分别把AA、BC、AB当作直线m、n、l,显然⊥n,故A不正确： 对于选项B,平面AABB、平面BB,CC、平面ABCD分别视为平面a、B、Y,显然∩B=BB,故B 不正确：对于选项C,m⊥，m/∥n,则n⊥a,故C正确；对于选项D,平面A4BB、平面ABCD分别视为平面 a、B,AB,CD分别视为m,n,则/1n,故D不正确 B 4.B 5.A如图，过A作下底面的投影，垂足为M, 上底面对角线长AC1=√2×√2=2，下底面对角线长AC=√2×22=4， 则M=AC-AC)=1,可得正四棱台的高为4M=VA4-AM=10-1=3, 所以正四棱台的体积7-2+V2x8+8列3=14，故选：A 6.D 设2026年2月到该地旅游的游客总人数为a. 由题意，游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为0.2a,0.35a,0.45a, 其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为0.04a,0.0875a,0.135a. 对于A,0.45a=225,解得a=500,即一共调查的游客人数是500人，故A正确； 对于B,估计2026年2月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的13.5%，故B正确： 对于C设中年人应抽人，传超应得号5解得x=2,即中年人应指取1人放C正确。 对于D,因为2026年2月到该地旅游且选择自助游的游客的人数为0.04a+0.0875a+0.135a=0.2625a,其中青年人 的人数为0.135a,所以选择自助游的游客中青年人超过一半，故D错误. 7.B 【详解】记事件A为“选择景点A”,事件B为选择景点B”, 则事件A⌒B为“A,B两个景点都不选”，事件A⌒B为“A,B两个景点都选”.由题意得， P香P()-GP(an列=品PAU-1-Pan-1 1010 由P4)=P-P@到-Pun得.是-音+后-P(1n.六an助 故选：B。 第1页 2acsin B 8.C由题意sin(A+C)=imB=_2s2.1 ,而sinB>0,所以b2-a2=ac,由余弦定理得 62--b2-a2 b2=ad2+c2-2 ac cos B,故c=2 acosB+a,又由正弦定理得sinC=2 sinAcosB+sinA=sinAcosB+cosAsinB, 整理得sin(B-A)=SinA,故B-A=A或B-A=π-A（舍去)，得B=2A, /0<A<π 2 因为a1BC是锐角三角形，故0<2A<受，解得<4< 2 -<tanA<1, 6 4,放 3 0<π-3A< 1 234 tan A+- tanA+ 故选：C. 3tan(B-A) 3tan A 33 9.AD 【详解】对于A。白样本的方若瑞L-+(化矿++（门得样本容量m=20,样本平均 数-3，所以样本数据总和为乃5-20<3=60，故正确：对于B,样本数据，4标准差为8，故样本数据 1,x2,,x10的方差为64，所以数据2x-1,2x3-1,,2x10-1的方差为4×64，标准差为√4×64=16，故错误： 对于C,将数据从小到大排序后得12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，共10个数，所以10×0.7=7，所 以该组数据的第70百分位数是23+24=235，故错误：对于D,一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2， 2 纺记原始数据为，则=8×5=40，了∑化5列=2，即飞-可16，现样本中又加入 8台 i=1 18 个新数据5此时样本平均值为+5(0+5)=5，样本方差为”=，-5+6-5列-日<2。 1 i=1 所以加入一个新数据5，平均数不变，方差变小，故正确。 10.CD【详解】从2红2白中取2个球，所有基本事件共三种：{两个红球，一红一白，两个白球}， 对于A:“至少一个红球包含{一红一白、两个红球}，“至少一个白球”包含{一红一白、两个白球}， 二者可同时发生（取到一红一白时），不互斥，A错误： 对于B:“恰有一个红球即{一红一白}，“都是白球即{两个白球}，二者互斥，但存在“两个红球”的情况， 二者不是必有一个发生，不对立，B错误； 对于C:“至少一个红球”包含{一红一白、两个红球}，“都是白球即{两个白球}， 二者不能同时发生，且并集是全部样本空间，是互斥且对立，C正确： 对于D:“至多一个红球”包含{两个白球、一红一白}，“都是红球即{两个红球}， 二者不能同时发生，且并集是全部样本空间，是互斥且对立，D正确 11.ACD 【详解】对于A:4的吉宁2x2x2-多为定值，A正确； 11 第2页 对于B:正方体ABCD-ACA的外接球半径R=A+4+4-5,所以表面积S=4rx(-12π，B错误 对于C:取BC的中点M,连接ME,MF,AD,BC,因为E是AD中点，F是DD中点，所以EF∥AD, 又因为BFe平面ACA,AAC平面ABCA,所以BR1平面ABCA,因为AB=AD,BM=BC,AD=BC, 所以AE=BM,又因为AE/IBM,所以四边形ABMB为平行四边形，所以ME/IAB, 因为MEE平面ABC D,ABC平面ABCD,所以ME/I平面ABCD,又因为EF,MEC平面EFM,EF∩ME=E, 所以平面EFMI/平面ABCD,要想FPI平面ABCD,只需FP在平面EFM内运动即可，又因为P在平面ABCD 内运动，所以点P的轨迹为平面EFM与平面ABC1D在正方体内部的交线ME,ME=2,即P点的轨迹长为2，C 正确：对于D:AB/1CD,AB=CD,所以四边形ABCD为平行四边形，所以AD,IIBC,又因为EF∥AD,所 以EFI/BC,且EF≠BC1,所以B,E,F,C四点共面，所以截面即为梯形BEFC,并且EF=√2，BC=2V2, BE=CF=√5，所以等腰梯形BEFC的高h: 2-2 D正确： 2. 根据题意，投掷两次此骰子一共有6×6=36种情况， 其中骰子上面的点数之和为3的整数倍的情况有 (1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6),共12种， 所以骰子上面的点数之和为3的整数倍的概率为长} 363 故谷奖为：} 13.6 4 连接AC,AD,则AC/BD,则异面直线SA与BD所成角的平面角为∠SAC, B 设AB=2,则OA=0B=0C=0D=1AS=SC=V反，A0C=元-=2亚 33 则AC2=OA2+0C2-2DA×0C×cos∠A0C=1+1-2× }3,则4c=5o4C-4+4C8C=6 2×AS×AC 4 故答案为：6 14.4+25 由a-≥a-,则(a-)≥(a-, 故团-2a.6+25≥团-2a-6+5,则(22-2d5cos60°+1-2)5≤0， 整理得-20+26-20，故△=(-2-46(2风-)=40月-)≤（恒成立， 第3页 又4-0，则有10，的=1：则时版420.a--20:店写，.5=-死-专】 设c=(x,y),则有c-46=（x-2,y-2W3),c-a=(x-2,y),(-46)(-a)=(x-2)}+(y-23)y=0 即有x2-4x+4+y2-2V5y=0,又a.c=2x,则x取最大值时，a.c取最大值， 由x2-4x+4+y2-25y=0,则y2-23y+3=(y-3)=-x2+4x-4+3=-x2+4-1≥0， 即x2-4r+1≤0，则2-3≤x≤2+W3,故ac=2x∈[4-25,4+23]， 即ac的最大值是4+25. 15.1)2√7： @ks号且k#-1 1)由=2，同=25，a,五的夹角为若得ai=2x25cos君-6，所以 |a-2b=√a2-4a.b+4b2=√4-24+48=2√7. （2)由ka+2b与a-2b的夹角为钝角，得(ka+2b)(a-2b)<0,且ka+2b与a-2b不共线， 由(a+2)(位-26)<0，得2+(2-2k)ā.石-42<0，即4k+6(2-2k)-48<0,解得k>-9 9 庙a+2乃与a-2乃共线，d6不共线，得2解得女=1，因此由ka+2汤与a-2乃不洪线，得k≠-1，则k≥ 2 且太*一-山，所以的取位范用为>且太华-1 16.(1)小吃类24家，生鲜类9家 (2)①中位数为342.9，平均数为352.5：②168 (1)60×(1-25%-15%-10%-5%-5%)=24,60x15%=9,所以应抽取小吃类24家，生鲜类9家： (2)①根据题意可得(0.001×3+a+0.003+0.005+0.007)×50=1,解得a=0.002,设中位数为x,因为 (0.001+0.003)×50=0.2,(0.001+0.003+0.007)×50=0.55,所以(x-300)×0.007+0.2=0.5,解得x≈342.9， 平均数为： (225×0.001+275×0.003+325×0.007+375×0.005+425×0.002+475×0.001+525×0.001)×50=352.5, 所以该直播平台商家平均日利润的中位数为342.9，平均数为352.5. 450-430x0.002+0.001+0.001×50×1200-168,所以估计该直播平台优秀商家的个数为168. ②50 17.(1)证明见解析(2)证明见解析③)V2 6 （1)证明：连结EH,如图所示： 第4页 在△PAC中，H为AC的中点，E为PC的中点，所以EH为△PAC的中位线，所以EHI∥PA, 又HEC平面BDE,PAE平面BDE,所以PA∥平面BDE. (2)证明：因为PD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD, 所以PD⊥AC,又AD=CD,H为AC的中点，则AC⊥BD, B 又PD∩BD=D,PD,BDC平面PBD,故AC⊥平面PBD ,ACc平面PAC∴.平面PAC⊥平面PBD (3)由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影， 所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角由ADLCD,AD=CD=1,DB=3√2， 有DH=CH=2, 52 ),BI=5√2在Rt△BIC中，BC=VBH?+CH7 3 2 2 2 2 所以m∠CBH-C 2 √26， 所以直线BC与平面PBD所成的角的正弦值V26 BC 26 √1326 1804号 (2)a=2√7 (3)6 (1)因为b=a 3 sinc 所以由正弦定理可得sinB=si4cosC+5 在△ABC中， B=兀-(A+C),所以simB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinc=sinAcosC+ inAsinc, 即cos4simc-V sim4siC,因为Ce(Q,,sinC≠0，所以tamA=V5,因为Ae(0,),所以A=。 (2)因为D-(亚+ac),所以4网=+ac可=P+C+2@Co1, +12hmE。,又4D=i3,所以5e.所以e=2, 32 2 又因为d2=b2+c2-2cc0s4=e2+c2-2cos7c2,所以a=2万. 》由E孩定品流。青，可附6名， 4 √3 c, ∴.a+b+c=2+ G咖b+4 4 <B<π -2smB+2o3+2=4B)+2,因为aABC是锐角三角形.且A-号，则 6 <C 2-B< 3 2 得g经0肾n+名晋90君引1：a-6+ee+25d, 故△ABC的周长最大值为6. 9 19.(1)A获得冠军的概率 16,C获得冠军的概率为2 (2)在淘汰赛赛制下，A获得冠军的概率为p；在“双败赛制”赛制下，A获得冠军的概率为p(3-2P)；双败赛制对 第5页 强者更有利 【分析】(1)利用独立事件的概率公式进行求解即可： (2)首先利用独立事件的概率公式分别求出两种赛制下A获得冠军的概率 (3)利用作差法比较大小即可. 【详解】(1)结合题意可得A获得冠军：AB组A获胜，再由A与CD组胜者决赛并胜出， 防以4获制军的效宰为日子行子名 结合题意可得C获得冠军：CD组C获胜，再由C与AB组胜者决赛并胜出， 1311115 所以C获得冠军的概率为乃=二×二×二+二x二×二 24424232 (2)在淘汰赛赛制下，1获得冠军的概率为号=Px2p+D×2Xp=p。 在“双败赛制”赛制下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况： 当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军；若在胜者组A胜利，后一局（与败者组胜者比赛） 胜，方可得冠军， 此时获得冠军的概率为？=p(1-p)+p； 当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军， 此时A获得冠军的概率为卫=(1-p)p. 综上，A获得冠军的概率为卫+P=p(1-p)+p+(1-p)p=p(3-2p) (3)令g(p)=p(3-2p)-p2,(0<p<1), 则8(p)=p(3-2p)-p2=p2（-2p2+3p-1)=p2(2p-1)1-p), 由0<p<1得p2>0,1-p>0. 若A为强队，则分p<1,此时2-10 即g(p)=p(3-2p)-p>0,所以p(3-2p)>p2 所以双败赛制对强者更有利. 第6页吉林油田高级中学2025-2026学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟：满分：150分 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 一、单选题 1.(1-3i)=（) A.-8+6i B.-8-6i C.8+6i D.8-6i 2.在△ABC中，BC=2,AC=1+V3,AB=√6，则A=( A.45° B.60° C.1209 D.135° 3.已知，B,y是三个不同的平面，m,,1是三条不同的直线，下列命题中正确是() A.若m⊥1，n⊥1，则/n B.若a⊥y,B⊥y,则aF C.若m⊥a,m/∥n,则nLa D.若⊥B,mca,ncB,则m⊥n 4.如图，在矩形ABCD中，E,F分别为CD,CB中点，G为线段EF上的一点，且GF=-2GE, 若AG=2AB+uAC,则元+=( G A. 3 B. 2 F 2 B C.2 D.月 5.已知正四棱台的上、下底面的边长分别为√2、22，侧棱长为√10，则该正四棱台的体 积为( A.14 B.15 C.16 D.18 6.随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2026年2 月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年 龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是( ) 个自助游比率/% 青年人 3 老年人 25 20% 2 中年人 35% 0老年人中年人青年人年龄段 第 A.若调查的游客中青年人有225人，则一共调查了500人 B.估计2026年2月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的13.5% C.用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有12人，则中年人有21人 D.估计2026年2月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 7.黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特 的旅游魅力.对于A,B两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择A景点出游的概率 为后，远择：景点出游的概率为3,4B两个景点都不选的概率为石，则4B两个景点都 选的概率为( 1 A5 1 10 D. 2S 8.在锐角aMBC中，角4B,C的对边分别为ab,ca1BC的面积为S,若s(A+C)方a,则 1 tanA 3tan(B-A)的取值范围为( 2W3 2W3103 A. D. 3,9 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多 个选项是符合题目要求的。 9.下列说法中正确的是( A.样本的方差s2=[(x1-3)2+(0-3)2+.+(20-3)2],则这组样本数据总和为60 B.若样本数据，，，0标准差为8，则数据2x-1,2x-1,,2xo-1的标准差为32 C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23 D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5， 此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 10.从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列是互斥且对立的两个事件的是 A.至少有一个红球：至少有一个白球B.恰有一个红球：都是白球 C.至少一个红球；都是白球 D.至多一个红球；都是红球 11.如图，正方体ABCD-ABC1D的棱长为2，E,F分别是AD,DD的中点，点P是底面 页 ABCD内一动点，则下列结论正确的为( D C A.三棱锥C-ABP的体积为定值 B B.正方体ABCD-AB,CD的外接球表面积为8π F C.若P11平面ABCD,则P的轨迹长度为2 P. D.过B,B,P三点的平面截正方体所得截面面积是9 A B 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分。 12.现有一枚质地均匀的骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6），投掷两次此骰 子，则骰子上面的点数之和为3的整数倍的概率为 13.《几何原本》第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的 圆锥为直角圆锥.如图，若AB,CD是直角圆锥SO底面圆的 直径，且∠AOD-子，则异面直线与8D所成角的余弦值 -B 为 D 14.已知非零向量ā，b,满足<a,6-60,园=2，对于任意实数1满足a-≥a-, (-46)(c-a)=0,则a.c的最大值是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知向量a,方满足，同-2，=25，a,万的夹角为石 (1)a-26: (2)若ka+2b与a-2b的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 第 16.近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行的营 销形式.某直播平台1200个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、 生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图所示， 15% 频率/组距 0.007 25% 生鲜类 衣帽类 10% 0.005 玩具类 5% 饰品类 0.003 小吃类 5% 其他 0.001 200250300350400450500550平均日利润/元 (1)该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取60个直播商家进行问询交流.如 果按照比例分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ (2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对(1)中抽取的60个商家的平均日利润 进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如右图所示，请根据频率分布直方图计算下 面的问题： ①估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（结果保留一位小数，求平均数时同 一组中的数据用该组区间的中点值作代表)： ②若将平均日利润超过430元的商家评为“优秀商家”，估计该直播平台“优秀商家”的个 数 2页 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD, 中点，又点E为PC的中点，AD=CD=1,DB=3N2. E :B C (1)证明：PA∥平面BDE; (2)证明：平面PAC⊥平面PBD; (3)求直线BC与平面PBD所成的角的正弦值. 18.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c (1)求角A的大小： (2)若D为BC中点，AD=√13，b=3c,求边a: (3)若△ABC为锐角三角形，且a=2,求△ABC的周长 AD⊥CD,AC∩BD=H,且H为AC的 19.在体育比赛中，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.传统的淘 汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的资格，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了 两场才会淘汰出局，因此更有容错率，假设最终进入半决赛的有四支队伍，传统的淘汰赛制 下，会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠 军：双败赛制下，两两分组，胜者进入胜者组，败者进入败者组，胜者组两个队伍对决的 胜者将进入总决赛，败者进入败者组，之前进入败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰， 胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军（赛制 流程图如图所示).双败赛制下会发生一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比 赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其他的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上 来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？这里 我们简单研究一下两个赛制：假设四支队伍分别为A,B,C,D,其中A对阵其他三个队伍时 获胜的概率均为p(0<p<),另外三支队伍彼此之间对阵时获胜的概率均为}，最初分组时， A,B同组，C,D同组. 第一轮 第二轮 第三轮 A A/B胜 B 胜者组 晋级名额 C CD胜者 D 若b=a CoSC+3 sinc 第二轮胜者组败者 败者组4/B败者 晋级名额2 第二轮败者组胜者 CD败者 双败赛制流程图 3 (1)若p=,在淘汰赛赛制下，A,C获得冠军的概率分别为多少？ 最大值 (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用P表示）。 (3)分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 第3页