精品解析：山东省潍坊市高密市2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

八年级数学 2026.07 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间为120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每个小题四个选项中只有一项正确） 1. 围棋起源于中国．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 等于（    ） A. B. C. D. 3. 如图，将周长为的沿射线向左平移，得到．则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 4. 对于一次函数，下列说法错误的是（    ） A. 图象经过第一、二、四象限 B. 随的增大而减小 C. 图象与轴的交点为 D. 当时， 5. 为了解某校八年级学生每周的阅读时间，数学兴趣小组随机调查了部分同学，绘制了如图所示的统计图，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 中位数是，众数是 B. 中位数是，众数是 C. 中位数和众数都是 D. 中位数是，众数是 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小亮同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位（）与时间（）满足函数关系．水位（）与时间（）的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 … （） 0 2 4 6 … （） 2 2.8 3.6 4.4 … 下列说法错误的是（ ） A. 在实验开始时，水位是 B. 与成一次函数关系 C. 第7次数据记录时，水位应为 D. 当水位为时，对应实验的时间是 8. 小亮参加校园象棋挑战赛，共进行了场比赛．积分统计小组根据小亮这场比赛的得分绘制了如下箱线图，下列说法正确的是（ ） A. 比赛最低分是分 B. 比赛得分的中位数是 C. 分之间的数据相对集中 D. 比赛得分的第三四分位数是 9. 已知关于的一次函数和的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 点，是直线上不重合的两点，则 10. 如图表示某文创产品30天的销售情况，图①是该产品日销售量（件）与日期（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润（元）与日期（日）的函数图象，已知“日销售利润日销售量单件销售利润”．下列结论错误的是（ ） A. 第30天的销售量为150件 B. 第10天销售一件产品的利润是15元 C. 第10天和第20天的日销售利润相等 D. 从第20天至第25天，日销售利润逐渐增大 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果） 11. 如图，的对角线、相交于点，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是_____（写出一个即可） 12. 如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有__________种． 13. 若关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是_______． 14. 如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上．若，则的度数为_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在轴上且，，，，…，按此规律，过点，，，…作轴的垂线分别与直线交于点，，，，…，则的坐标是_______． 三、解答题（共8小题，共75分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解答题 （1）计算：； （2）当时，求代数式的值． 17. 已知直线与直线相交于点． （1）求和的值； （2）求方程组的解． 18. 为优化乡村旅游体验，文旅局随机抽取游客对两条乡村旅游线路开展百分制满意度调查，线路A为“山林田园采摘线”，线路B为“湖畔民俗休闲线”． 【收集与整理】 每条线路收集了份有效评分，并对数据整理如下： 线路B的评分情况 分数（分） 人数（人） 其中线路A的分段评分的具体数值为：，，，，，，，． 【描述与分析】 两条旅游线路评分的统计量（平均数、众数、中位数、方差）及箱线图如下： 线路 平均数 众数 中位数 方差 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中_______，_______； （2）求出统计表中的值； （3）请结合统计量及箱线图对线路，的评分情况进行分析． 19. 如图，是的一条对角线，点，分别在和的延长线上，且，请判断四边形的形状，并说明理由． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）描出点，，，并画出； （2）将向右平移4个单位得到，再画出关于点成中心对称的； （3）若为边上一点，经过（2）中的两次变换后对应点为，则的坐标为______． 21. 如图，直线：与坐标轴交于，两点，与过点的直线交于点，且． （1）求点的坐标和直线的解析式； （2）求的面积； （3）在轴上是否存在点，使最小？若存在，请直接写出的最小值；若不存在，请说明理由． 22. 为筹备2026年校园科技节，学校计划采购智能音箱和编程积木套装．已知智能音箱的单价比编程积木套装的单价多80元，用7200元购买智能音箱的数量和用6000元购买编程积木套装的数量相同． （1）智能音箱和编程积木套装的单价分别是多少元？ （2）学校计划购买两种物品共15件，且购买编程积木套装的数量不超过智能音箱数量的2倍，则购买智能音箱和编程积木套装各多少件时，费用最少？最少费用是多少元？ 23. 【问题背景】 在中，，．点是平面内任意一点（不与，重合），连接并将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． 【初步探究】 （1）如图①，点在边上，则线段和线段的数量关系是___________； 【类比探究】 （2）如图②，点在内，延长交于点，交线段于点，求的大小（用含的代数式表示）； 【拓展延伸】 （3）如图③，在中，，，，是边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 2026.07 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间为120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每个小题四个选项中只有一项正确） 1. 围棋起源于中国．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形是图形旋转后能与原图形重合，轴对称图形有对称轴，沿对称轴折叠后图形两部分可重合，即可选出正确选项． 【详解】、此图形旋转后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，有对称轴，也是轴对称图形，故此选项正确． 、此图形旋转后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误． 、此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，有对称轴，是轴对称图形，故此选项错误． 、此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误． 2. 等于（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用积的乘方运算法则将原式拆分，再结合二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：． 3. 如图，将周长为的沿射线向左平移，得到．则四边形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的特点得，，将四边形的周长分解为的形式，其中为的周长． 【详解】解：∵是向左平移得到的， ∴，， ∴四边形的周长为：． 4. 对于一次函数，下列说法错误的是（    ） A. 图象经过第一、二、四象限 B. 随的增大而减小 C. 图象与轴的交点为 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，结合和的取值，逐项分析函数图象位置，增减性，交点坐标和函数值范围，即可判断错误选项． 【详解】解：已知一次函数，其中，， A. ，， 图象经过第一、二、四象限，不符合题意； B. ， 随的增大而减小，不符合题意； C. 令，得， 图象与轴的交点为，不符合题意； D. 令，得， 解得， ， 随的增大而减小， 当时，，符合题意． 5. 为了解某校八年级学生每周的阅读时间，数学兴趣小组随机调查了部分同学，绘制了如图所示的统计图，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 中位数是，众数是 B. 中位数是，众数是 C. 中位数和众数都是 D. 中位数是，众数是 【答案】C 【解析】 【分析】众数是在一组数据中出现次数最多的数据，中位数是将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据或者最中间两个数据的平均数叫这组数据的中位数，据此进行解答． 【详解】解：由图可得数据总数为， ∴中位数为第和个数据的平均数， ∵条形统计图是按从小到大的顺序排列的，前3组的和为，前4组的和为， ∴第和个数据落在第4组，即中位数是8（小时）； ∵条形统计图中出现频数最大的条形对应第四组， 故众数是8（小时）． 6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质，勾股定理得到，结合矩形的性质得到，再利用三角形中位线定理，得，解答即可． 【详解】解：∵在矩形中，对角线相交于点O， ∴，， ∵，， ∴， ∵点E、F分别是的中点， ∴， ∴． 7. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小亮同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位（）与时间（）满足函数关系．水位（）与时间（）的实验数据如下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 … （） 0 2 4 6 … （） 2 2.8 3.6 4.4 … 下列说法错误的是（ ） A. 在实验开始时，水位是 B. 与成一次函数关系 C. 第7次数据记录时，水位应为 D. 当水位为时，对应实验的时间是 【答案】D 【解析】 【分析】 结合表格的数据分析，并求出与的函数关系式即可判断各选项． 【详解】解：选项A：当时，，符合表格数据，故A正确，不符合题意； 选项B：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加，故与成一次函数关系，故B正确，不符合题意； 选项C：设与的函数关系式为，当时，；当时， ∴ 解得 ∴ 第7次数据记录时，，对应，故C正确，不符合题意； 选项D：当时，，解得，故D错误，符合题意． 8. 小亮参加校园象棋挑战赛，共进行了场比赛．积分统计小组根据小亮这场比赛的得分绘制了如下箱线图，下列说法正确的是（ ） A. 比赛最低分是分 B. 比赛得分的中位数是 C. 分之间的数据相对集中 D. 比赛得分的第三四分位数是 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图逐项分析即可得出结果． 【详解】解：由箱线图可得，比赛最低分低于分，故A选项错误； 比赛得分的中位数位是，故B选项错误； 分之间的数据相对集中，故C选项正确； 比赛得分的第三四分位数是，故D选项错误． 9. 已知关于的一次函数和的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 点，是直线上不重合的两点，则 【答案】D 【解析】 【详解】的图象从左到右上升，则；与轴交点在正半轴，则． 的图象从左到右下降，则；与轴交点在负半轴，则． 对于A，，，，选项A正确，不符合题意； 对于B，当时，，，此时的图象在的上方，即， ，选项B正确，不符合题意； 对于C，已知两条直线的交点横坐标是， 当时，，即， ， ，选项C正确，不符合题意； 对于D，， 随的增大而减小， 若，则，此时，，则， 若，则，此时，，则， ，选项D错误，符合题意． 10. 如图表示某文创产品30天的销售情况，图①是该产品日销售量（件）与日期（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润（元）与日期（日）的函数图象，已知“日销售利润日销售量单件销售利润”．下列结论错误的是（ ） A. 第30天的销售量为150件 B. 第10天销售一件产品的利润是15元 C. 第10天和第20天的日销售利润相等 D. 从第20天至第25天，日销售利润逐渐增大 【答案】C 【解析】 【分析】由函数图象即可判断A正确；求出当时，，即可判断B正确；求出当时，，即可判断C错误；由函数图象即可判断D正确． 【详解】解：由图①得第30天的销售量为150件，故A说法正确； 设当时，， 将，代入解析式得， 解得， ∴当时，， 当时，，即第10天销售一件产品的利润是15元，故B说法正确； 设当时，， 将，代入解析式得， 解得， ∴当时，， 当时，， 当时，， 由图②得，第20天销售一件产品的利润为元， 故第10天的日销售利润为（元）， 第20天的日销售利润为（元），故C说法错误； 由图②得从第20天至第25天销售一件产品的利润不变，均为元，由图①可得，从第20天至第25天日销售量逐渐增大，故从第20天至第25天，日销售利润逐渐增大，故D说法正确． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果） 11. 如图，的对角线、相交于点，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是_____（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据矩形和平行四边形的关系即可解答． 【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形，即； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，即，……． 12. 如图，在正方形方格中，已有三个小正方形被涂上阴影，将一个空白的小正方形涂上阴影，使它与现有三个带有阴影的小正方形一起组成中心对称图形的情况有__________种． 【答案】3 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 13. 若关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】对于一次函数（为常数，），当时，的图象经过第一、三、四象限，据此列出不等式组求解即可. 【详解】解：关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限， ， 解不等式， 可得：， ． 14. 如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上．若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，求出，即可得出结果． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，…在轴上且，，，，…，按此规律，过点，，，…作轴的垂线分别与直线交于点，，，，…，则的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知先求出，，的长，再代入直线中，分别求出，，，，然后分别计算出，，，，推出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， 把代入直线中可得：， ∴，则，即， ， ∴， ∴． 三、解答题（共8小题，共75分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解答题 （1）计算：； （2）当时，求代数式的值． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算减法即可得出结果； （2）将代入所求式子，并结合平方差公式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ． 17. 已知直线与直线相交于点． （1）求和的值； （2）求方程组的解． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将代入中，求得，再将代入中，即可求得． （2）代入，即求两条直线的交点，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵点是直线上一点， ∴当时，， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴方程组为， 即求直线与直线的交点， ∴． 18. 为优化乡村旅游体验，文旅局随机抽取游客对两条乡村旅游线路开展百分制满意度调查，线路A为“山林田园采摘线”，线路B为“湖畔民俗休闲线”． 【收集与整理】 每条线路收集了份有效评分，并对数据整理如下： 线路B的评分情况 分数（分） 人数（人） 其中线路A的分段评分的具体数值为：，，，，，，，． 【描述与分析】 两条旅游线路评分的统计量（平均数、众数、中位数、方差）及箱线图如下： 线路 平均数 众数 中位数 方差 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中_______，_______； （2）求出统计表中的值； （3）请结合统计量及箱线图对线路，的评分情况进行分析． 【答案】（1）， （2） （3）解：从平均数来看，说明线路平均满意程度与线路相同； 从众数来看，线路中分分，说明线路大众满意度优于线路； 从中位数来看，分分，在箱线图中也能说明线路的中等水平好于线路；（只要写出一条合理信息即可） 从箱线图可以看出：线路中位数高，箱体短，数据集中，说明线路整体口碑好，游客评价高；线路中位数低，箱体长，数据分散，整体评分不高，评价差异较大 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求出结果即可； （2）根据平均数的定义求出结果即可； （3）根据两条线路的平均数、众数、中位数，箱线图得出评分情况的结果． 【小问1详解】 解：线路收集的评分中出现次数最多的是， ， 线路的评分按照从小到大的顺序排列，第10个数和第11个数都是87， ； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 略 19. 如图，是的一条对角线，点，分别在和的延长线上，且，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形为平行四边形，理由如下： 连接，交于点O， ∵四边形为平行四边形， ∴，； 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，，结合题意得出，再由对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得证． 【详解】略． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． （1）描出点，，，并画出； （2）将向右平移4个单位得到，再画出关于点成中心对称的； （3）若为边上一点，经过（2）中的两次变换后对应点为，则的坐标为______． 【答案】（1）点，，，即为所求， （2），即为所求， （3） 【解析】 【分析】（1）先描点，再连线即可得出； （2）根据平移的性质即可作出，根据中心对称图形的性质即可作出； （3）根据坐标平移的法则，以及成中心对称图形的性质求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵为边上一点，经过（2）中的两次变换后对应点为， ∴点的坐标为，即． 21. 如图，直线：与坐标轴交于，两点，与过点的直线交于点，且． （1）求点的坐标和直线的解析式； （2）求的面积； （3）在轴上是否存在点，使最小？若存在，请直接写出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点的坐标为， （2）12 （3）存在，最小值是 【解析】 【分析】（1）利用证明，得到，求得，然后利用待定系数法求直线的解析式； （2）根据三角形面积公式求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，求得的最小值为的长，由勾股定理求的长即可． 【小问1详解】 解：∵直线：与坐标轴交于A，B两点， 令，， ∴， 令，， ∴， 如图，过点D作y轴的垂线， ∵， 又∵，， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为1， 将代入中得， ∴， 设直线的解析式为，经过和， ∴，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时， ∴，即的最小值为的长， ∴的最小值是． 22. 为筹备2026年校园科技节，学校计划采购智能音箱和编程积木套装．已知智能音箱的单价比编程积木套装的单价多80元，用7200元购买智能音箱的数量和用6000元购买编程积木套装的数量相同． （1）智能音箱和编程积木套装的单价分别是多少元？ （2）学校计划购买两种物品共15件，且购买编程积木套装的数量不超过智能音箱数量的2倍，则购买智能音箱和编程积木套装各多少件时，费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】（1）智能音箱的单价为480元，编程积木套装的单价是400元． （2）购买智能音箱的数量为5件，编程积木套装的数量为10件时花费最少，最少费用是6400元． 【解析】 【分析】（1）先设编程积木套装的单价是x元，再根据题中条件列出分式方程，求解并检验，即可得到两种物品的单价． （2）先设购买编程积木套装的数量为a件，再根据题意列出不等式，求出a的取值范围，然后根据总价=单价数量，列出总费用的函数表达式，根据一次函数的性质求出费用最少时a的值，进而求出最少费用． 【小问1详解】 设编程积木套装的单价是x元，智能音箱的单价为元． 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则智能音箱的单价为（元）， 答：智能音箱的单价为480元，编程积木套装的单价是400元． 【小问2详解】 设购买编程积木套装的数量为a件，则购买智能音箱的数量为件． 由题意得， 所以， 设总费用是元， 则， 即， 因为， 所以w随a的增大而减小， 所以当时，w取最小值，最小值为， 此时购买智能音箱的数量为（件）， 答：购买智能音箱的数量为5件，编程积木套装的数量为10件时花费最少，最少花费是6400元． 23. 【问题背景】 在中，，．点是平面内任意一点（不与，重合），连接并将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． 【初步探究】 （1）如图①，点在边上，则线段和线段的数量关系是___________； 【类比探究】 （2）如图②，点在内，延长交于点，交线段于点，求的大小（用含的代数式表示）； 【拓展延伸】 （3）如图③，在中，，，，是边上的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据“边角边”证明，根据全等三角形的对应边相等可得答案； （2）由全等三角形的对应角相等得进而表示出，即可得，然后根据得出答案； （3）延长至点F，使，连接，作，再说明，然后根据垂线段最短，可知当点E与点H重合时，的长最短，为的长，最后根据含直角三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 解：根据旋转可得， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴； 【小问3详解】 解：延长至点F，使，连接，作， ∵， ，． 由旋转 ，得， ∴， ∴， ∴， ∴点E在射线上运动． 根据垂线段最短， ∴当点E与点H重合时，的长最短，为的长， ∵， ∴， 则的最小值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $