26.3 课时2 利用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的联系，核心内容为利用图象法和二分法求一元二次方程近似根。课堂导入从两者联系切入，通过具体方程引导学生将方程问题转化为函数图象与x轴交点问题，搭建从函数到方程的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于采用步骤化教学（画图、定位、试值、定根）和合作探究，结合几何直观和推理意识，以x²-2x-2=0为例详细演示二分法缩小根范围的过程，课堂小结系统梳理方法。学生能发展几何直观和推理能力，教师可借助清晰流程和实例提升教学效率。

第二十六章 二次函数 26.3二次函数与一元二次方程 课时2 22051 学习目标 1 2 了解用图象法求一元二次方程的近似根. 能将一元二次方程问题转化为相应的二次函数问题，发展几何直观. 22051 根据二次函数与一元二次方程的联系，也可以将一元二次方程问题转化为相应的二次函数问题.不妨来看下面的问题. 22051 利用函数图象求方程 的根的近似值(结果保留小数点后一位) 解：画出函数 y=x²-2x-2 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间，另一个在2与3之间. 先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.8或-0.7， 当x分别取-0.8和-0.7时，对应的y由负变正，可见在-0.8与-0.7之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-2的一个根， 题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.8或x=-0.7都符合要求.但当x=-0.7时更为接近0.故x1≈-0.7.同理可得另一近似值为x2≈2.7. 有什么办法能得到更精确的近似根呢？ 22051 4 （1）观察图象，确定根所在的大致范围： ①取 2 和 3 的平均数 2.5， ②继续取 2.5 和 3 的平均数 2.75， 计算得 与时的函数值异号，所以根在之间. 二分法动态演示（放映状态下点击图象，跳转到网页） 二分法：通过取平均数不断缩小根所在的范围 (可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似值)，直到达到要求的精确度. 计算得 与时的函数值异号，所以根在之间. （2）二分法取平均数不断缩小根所在范围： x … 2.5 2.625 2.6875 2.75 … y … -0.75 -0.3594 -0.1523 0.0625 … ③重复上述步骤（利用计算器得结果见表），逐步得到：根在 2.687 5，2.75 之间……可以看到根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，故能作为根的近似值． 当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于 0.1 时，由于|2.6875－2.75|＝0.0625＜0.1，我们可以将 2.6875 作为根的近似值． 22051 5 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的根的近似值(结果保留小数点后一位). 例1 解：画出函数y=x2-2x-2的图象， 它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7. 由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的. 所以方程的实数根为 y=x2-2x-2 22051 我们还可以通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根. 观察函数的图象，可以发现：点(2,-2)在x轴的下方，即当自变量为2时的函数值小于0，点(3,1)在x轴的上方，即当自变量为3时的函数值大于0. 因为抛物线y=x2-2x-2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y=x2-2x-2在2<x<3这一段经过x轴.也就是说，当自变量取2，3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2-2x-2=0在2，3之间有根. y=x2-2x-2 22051 例2 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的根的近似值(结果保留小数点后一位). 2 合作探究 求抛物线y=x2-2x-2与x轴的 公共点的横坐标. 当二次函数y=x2-2x-2的函数值是0时，求自变量x的值. 求方程x2-2x-2=0 的实数根 抛物线 y=x2-2x-2 抛物线与x轴的公共点的横坐标 方程x2-2x-2=0 的实数根 -0.7 2.7 22051 解：画出函数y=x2-2x-2的图象，它与x轴 的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7. 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 x1≈-0.7，x2≈2.7. 例2 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的根的近似值(结果保留小数点后一位). 2 合作探究 -0.7 2.7 由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的. 22051 利用二次函数的图象求一元二次方程近似根的步骤： (1) 用描点法画出相应二次函数的图象，确定方程根的大致范围（二次函数的图象与x轴的交点的横坐标）； (2) 用二分法，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 (可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似值)，直到达到要求的精确度. (3) 写出方程的近似根（使二次函数的函数值更接近0的数）. 22051 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. 例如，取2，3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间. 再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间. y=x2-2x-2 22051 重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6 875，2.75之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值. 例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于∣2.6875-2.75∣=0.0 625<0.1，我们可以将2.6 875作为根的近似值. y=x2-2x-2 22051 延伸 我们还可以通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根. 2 合作探究 抛物线y=x2-2x-2在2<x<3这一段经过x轴 当自变量为2时的 函数值小于0 点(2，-2)在x轴的下方 当自变量为3时的 函数值大于0 点(3，1)在x轴的上方 当自变量取2，3之间的某个值时，函数值为0 方程x2-2x-2=0在2，3之间有根 22051 延伸 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. 2 合作探究 抛物线y=x2-2x-2在2.5<x<3这一段经过x轴 当自变量为2.5时的 函数值为-0.75<0 取2，3的平均数2.5 当自变量为3时的 函数值大于0 点(3，1)在x轴的上方 当自变量取2.5，3之间的某个值时，函数值为0 方程x2-2x-2=0在2.5，3之间有根 22051 延伸 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. 2 合作探究 抛物线y=x2-2x-2在2.5<x<2.75这一段经过x轴 当自变量为2.5时的 函数值为-0.75<0 取2，3的平均数2.5 当自变量为2.75时的函数值为0.0625>0 取2.5，3的平均数2.75 当自变量取2.5，2.75之间的某个值时，函数值为0 方程x2-2x-2=0在2.5，2.75之间有根 22051 试一试：用这种方法得出方程 x2－2x－2＝0 的另一个根的近似值（要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于 0.1）？ 当自变量 x＝－1 时，y＞0，当自变量 x＝0 时，y＜0，即方程 x2－2x－2＝0 在－1，0 之间有根． 取－1，0 的平均数－0.5，当自变量 x＝－0.5 时，y＜0，即方程 x2－2x－2＝0 在－0.5，－1 之间有根． 通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围． 由于|－0.75－(－0.687 5)|＝0.062 5＜0.1，我们 可以将 －0.687 5 作为另一个根的近似值． 22051 已知二次函数的变量的部分对应值如表： … 0 1 … … 13 6 1 … 根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是______________． 解：根据表格中的数据可知： 当时，且当时， 一元二次方程的一个近似解的范围是 22051 确定一元二次方程的近似根的步骤 当二次函数图象与  轴有两个公共点，且公共点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根，步骤如下： 1.画图：画出二次函数 y=ax2+bx+c 的图象. 2.定位：观察函数图象，确定函数图象与  轴的一个公共点在两个连续整数 m,n (m<n) 之间. 22051 确定一元二次方程的近似根的步骤 3.试值：通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，取  和  的平均数 ，计算出当  时的函数值 ，将  与自变量分别为  和  时的函数值  比较，若函数值  异号，说明所求的根在  和  之间，再取  和  的平均数，计算函数值；若函数值  异号，说明所求的根在  和  之间，再取  和  的平均数，计算函数值.重复前面的步骤，直到得出的数达到所需精确的数位为止. 4.定根：按照(2)(3)的方法估计出方程的另一个根. 22051 2 合作探究 重复上述步骤，我们逐步得到： 这个根在2.625，2.75之间，在2.6875，2.75之间…… 可以看到： 根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值. 例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于|2.6875-2.75|=0.0625<0.1，我们可以将2.6875作为根的近似值. 22051 类比 你能用这种方法得出方程x2-2x-2=0的另一个根的近似值吗(要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1)? 2 合作探究 解：记自变量为a时的函数值为f(a). ∵f(-1)=1>0，f(0)=-2<0，∴这个根在-1，0之间. ∵f(-1)=1>0，f(-0.5)=-0.75<0，∴这个根在-1，-0.5之间. ∵f(-0.75)=0.06>0，f(-0.5)=-0.75<0，∴这个根在-0.75，-0.5之间. ∵f(-0.75)=0.06>0，f(-0.625)≈-0.36<0，∴这个根在-0.75，-0.625之间. ∵f(-0.75)=0.06>0，f(-0.6875)≈-0.15<0，∴这个根在-0.75，-0.6875之间. 由于|0.75-0.6875|=0.0625<0.1，我们可以将0.6875作为根的近似值. 22051 利用二次函数的图象求一元二次方程根的近似值 图象法+二分法 利用二次函数的图象求一元二次方程近似根的步骤： (1) 用描点法画出相应二次函数的图象，确定方程根的大致范围（二次函数的图象与x轴的交点的横坐标）； (2) 用二分法，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 (可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似值)，直到达到要求的精确度. (3) 写出方程的近似根（使二次函数的函数值更接近0的数）. 22051 跟踪训练 利用二次函数的图象求方程 2x2-3x-1=0 的近似根（结果保留小数点后一位）. 解：画出函数y=2x2-3x-1的图象，如图所示. 由图可知，函数y=2x2-3x-1的图象与x轴的两个公共点的横坐标分别在-1和0，1和2之间. 取-1和0的平均数-0.5，当x= -0.5 时,y=1,当x=0时,y=-1, 所以方程的一个根在-0.5和0之间. 取-0.5和0的平均数-0.25，当x=-0.25 时,y= -0.125, 所以方程的这个根在-0.5和-0.25之间. 取-0.5和-0.25的平均数-0.375，当x=-0.375 时,y=0.406 25, 22051 跟踪训练 所以方程的这个根在-0.375和-0.25之间， 由此方法可得到原方程的一个近似实数根为-0.3. 用同样的方法可得到原方程的另一个近似实数根为1.8. 所以方程 2x2-3x-1=0 的近似实数根是x1≈-0.3，x2≈1.8. 根据根与系数的关系求方程的另一个近似实数根 利用二次函数的图象求方程 2x2-3x-1=0 的近似根（结果保留小数点后一位）. 22051 6 课堂小结 二次函数 概念 相关概念 图象 和性质 一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量. a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 与方程的关系 实际应用 解析式 图象 性质 描点法 形状 位置 开口方向 顶点 ··· 增减性 对称性 最值 ··· 二次函数图象与x轴的交点 一元二次方程的实数根 转化 22051 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 1.根据下列表格的对应值: 22051 26 2.已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值．根据表格，可以估计方程的近似解是（    ） A．-0.55和2.55 B．1.45和2.55 C．1.25和2.75 D．-0.75和2.75 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.96 4.25 4.56 4.89 5.24 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴观察表格可知，当时，在和之间， 根据二次函数的对称性可知当时，还在 之间， D 22051 27 估计一元二次方程的近似根 二次函数与一元二次方程 求解一元二次不等式的解集 抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上方的点对应的 x 的所有值是不等式 ax2+bx+c>0 的解集； 抛物线 y=ax2+bx+c 在x轴下方的点对应的 x 的所有值是不等式ax2+bx+c<0的解集 1.画图；2.定位；3.试值；4.定根 22051 $