26.3 第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数图象与一元二次方程近似解的关系，通过10道填空复习二次函数性质，如a、b、c符号、判别式及函数值正负时x的范围，搭建新旧知识支架，为新课学习铺垫。 以数形结合为核心特色，通过绘制y=2x²-4x-1等函数图象探究方程解，培养几何直观与推理意识，典例与随堂检测结合提升模型应用能力，帮助学生掌握图象法求近似解，助力教师高效教学。

26.3　二次函数与一元二次方程 第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 教学设计 课题 26.3 第2课时　二次函数y＝ax２＋bx＋c的图象 与x 轴交点情况的探究 授课人 教学目标 1.灵活运用根的判别式处理二次函数图象与 x 轴的交点问题. 2.解决有关二次函数取值以及两个函数值的大小比较问题. 3.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合的思想. 教学重点 掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用函数图象求一元二次方程的近似解. 教学难点 理解二次函数的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 学生观察图象填空： （1）a＜0；（2）b＞0；（3）c＞0； （4）△＝b2－4ac＞0；（5）a＋b＋c＞0； （6）a－b＋c＜0；（7）2a＋b＜0； （8）方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1=1，x2=m； （9）当y＞0时，x的范围为m＜x＜1； （10）当y＜0时，x的范围为x＜m或x＞1； 学生自主解答问题，教师根据学生的回答做好总结，从而引入新课. 通过创设情境，以问题形式引导学生复习已学内容，为后面学习新课做好铺垫 探究新知 利用函数图象求一元二次方程的近似解 完成以下两道题： 问题：画出函数y＝2x2-4x－1的图象，求方程2x2-4x－1＝0的解.(精确到0.1) 画出抛物线y＝2x2－4x－1的图象如图所示． 由图象知，当x≈2.2或x≈－0.2时，y＝0.即方程2x2－4x－1＝0的近似解为x1≈2.2，x2≈－0.2. 我们可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根． 问题提示：（1）教师引导学生利用列表、描点、连线的步骤进行画图； （2）教师巡视指导，与学生合作、交流； （3）教师引导学生观察函数图象，体会得到问题答案的过程； （4）学生分组讨论、交流，总结二次函数与一元二次方程之间的关系. 通过具体例子，让学生观察函数图象，启发学生思考，归纳出二次函数的图象和性质，让学生在实践中感悟，提高学生利用数形结合思想解决问题的能力. 典例精析 【例1】（教材p48例2）利用函数图象求一元二次方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）. 【解】作二次函数y＝x2－2x－2的图象，如图， 它与x轴的公共点的横坐标x1≈－0.7，x2≈2.7， 所以一元二次方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7. 【方法总结】 用图象法求一元二次方程的近似根的步骤： （1）画出函数的图象，并由图象确定方程根的个数； （2）由图象交点位置确定横坐标的范围； （3）估计方程的近似根． 【例2】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围x  1（填“≥”或“≤”）； （2）写出二次函数y=ax2+bx+c的顶点  ； （3）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集  ； （4）当0＜x＜5时，y的取值范围是  ． 【解】（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，开口向下， ∴当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围是x≥1． 故答案为：≥； （2）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为（-1，0），（3，0）， ∴y=a（x+1）（x-3）， 代入（0，3）得，3=-3a,解得a=-1， ∴y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为（1，4）． 故答案为：（1，4）； （3）由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集为-1＜x＜3； 故答案为：-1＜x＜3； （4）∵x=5时，y=-（x-1）2+4=-12，x=1时，y=4， ∴当0＜x＜5时，y的取值范围是-12＜y≤4． 故答案为：-12＜y≤4． 【方法总结】 利用二次函数的图象解不等式，关键是准确画出函数图象，y>0时，对应的范围是x轴上方的图象；y<0时，对应的范围是x轴下方的图象. 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答． 本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法. 随堂检测 1.二次函数y=x2-x-2的图象如图所示，则不等式x2-x-2＜0的解集是（　　） A．x＜-1 B．x＞2 C．-1＜x＜2 D．x＜-1或x＞2 解：由图可知，抛物线与x轴的交点为（-1，0）、（2，0）， 所以，不等式x2-x-2＜0的解集是-1＜x＜2． 故选：C． 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是 ． 解：函数值y＜0时，自变量x的取值范围是-1＜x＜3． 故答案为：-1＜x＜3． 3.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为  ． 解：∵抛物线与x轴的一个交点为（-3.4，0），又抛物线的对称轴为：x=-1， ∴另一个交点坐标为：（1.4，0）， 则方程的另一个近似根为1.4， 故答案为：1.4． 4．利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根（精确到0.1）． 解：作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示． 由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间． 先求－1和0之间的根.当x＝－0.4时，y＝－0.04；当x＝－0.5时，y＝0.25； 因此，x＝－0.4（或x＝－0.5）是方程的一个近似根， 同理，x＝2.4（或x＝2.5）是方程的另一个近似根． 故一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根是x1≈－0.4（或－0.5），x2≈2.4（或2.5）． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 【课堂小结】 引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？ 1. 方法层面 学习了利用二次函数图象求一元二次方程的近似解，牢牢紧扣数形结合的核心思想，通过绘制函数图象、定位交点位置来估算方程的根，体会以形助数、逼近取值的解题方法，掌握从图象中提取数值、逐步缩小范围求近似解的思路，打通函数图象与方程根的直观联系. 2. 知识内容层面 掌握利用二次函数图象求一元二次方程近似解的核心原理、完整步骤、作图要点和逼近技巧. 3. 概念联系与区别 联系：该方法依托二次函数与一元二次方程的核心关联，和精准求解方程根的代数法（公式法、因式分解法）目标一致，都是求方程的根，二者可以相互验证结果. 区别：代数法求出的是方程的精准实数根，运算严谨；图象法求出的是近似解，结果存在微小误差，但是更直观，适合无法精准求解的方程. 核心易错点：作图不规范导致交点定位偏差；看错交点横坐标；区间逼近时取值不当；忽略近似解的精确度要求；混淆函数与方程的对应关系. 【知识网络】 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解的方法． 巩固所学知识，加深对利用二次函数的图象求与元二次方程的根的理解. 作业布置 板书设计 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 1.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 2.利用二次函数的图象求不等式. 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $