26.3 第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

课题

26.3 第2课时　二次函数y＝ax２＋bx＋c的图象

与x 轴交点情况的探究

授课人

教学目标

1.灵活运用根的判别式处理二次函数图象与 x 轴的交点问题.

2.解决有关二次函数取值以及两个函数值的大小比较问题.

3.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合的思想.

教学重点

掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用函数图象求一元二次方程的近似解.

教学难点

理解二次函数的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.

授课类型

新授课

课时

1

教学步骤

师生活动

设计意图

情境导入

学生观察图象填空：

（1）a＜0；（2）b＞0；（3）c＞0；

（4）△＝b2－4ac＞0；（5）a＋b＋c＞0；

（6）a－b＋c＜0；（7）2a＋b＜0；

（8）方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1=1，x2=m；

（9）当y＞0时，x的范围为m＜x＜1；

（10）当y＜0时，x的范围为x＜m或x＞1；

学生自主解答问题，教师根据学生的回答做好总结，从而引入新课.

通过创设情境，以问题形式引导学生复习已学内容，为后面学习新课做好铺垫

探究新知

利用函数图象求一元二次方程的近似解

完成以下两道题：

问题：画出函数y＝2x2-4x－1的图象，求方程2x2-4x－1＝0的解.(精确到0.1)

画出抛物线y＝2x2－4x－1的图象如图所示．

由图象知，当x≈2.2或x≈－0.2时，y＝0.即方程2x2－4x－1＝0的近似解为x1≈2.2，x2≈－0.2.

我们可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根．

问题提示：（1）教师引导学生利用列表、描点、连线的步骤进行画图；

（2）教师巡视指导，与学生合作、交流；

（3）教师引导学生观察函数图象，体会得到问题答案的过程；

（4）学生分组讨论、交流，总结二次函数与一元二次方程之间的关系.

通过具体例子，让学生观察函数图象，启发学生思考，归纳出二次函数的图象和性质，让学生在实践中感悟，提高学生利用数形结合思想解决问题的能力.

典例精析

【例1】（教材p48例2）利用函数图象求一元二次方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.

【解】作二次函数y＝x2－2x－2的图象，如图，

它与x轴的公共点的横坐标x1≈－0.7，x2≈2.7，

本环节为学生提供了多次观察、比较、归纳的活动过程，教学时应让学生进行充分的

所以一元二次方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7.

【方法总结】

用图象法求一元二次方程的近似根的步骤：

（1）画出函数的图象，并由图象确定方程根的个数；

（2）由图象交点位置确定横坐标的范围；

（3）估计方程的近似根．

【例2】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
  （1）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围x      1（填“≥”或“≤”）；
  （2）写出二次函数y=ax2+bx+c的顶点      ；
  （3）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集        ；
  （4）当0＜x＜5时，y的取值范围是         ．

【解】（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，开口向下，
∴当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围是x≥1．
故答案为：≥；
（2）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为（-1，0），（3，0），
∴y=a（x+1）（x-3），
代入（0，3）得，3=-3a,解得a=-1，
∴y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为（1，4）．
故答案为：（1，4）；
（3）由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集为-1＜x＜

探索和交流，注重类比是帮助学生正确理解概念的有效方法.