26.4 二次函数的应用 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的最值问题，围绕高度与面积的实际应用展开。通过问题链导入，从二次函数最值的决定因素，到自变量取值范围对最值的影响，搭建从基础性质到实际应用的学习支架，衔接函数顶点知识与现实问题解决。 其亮点在于以跳水高度、矩形菜园面积等实例为载体，引导学生用数学眼光观察现实中的数量关系，通过推理判断顶点横坐标是否在取值范围内培养数学思维，建立函数模型体现数学语言。典题解析与变式训练结合，小结步骤明确，助力学生提升应用意识，教师可高效开展教学。

第1课时　 高度、面积的最值问题 第二十六章　二次函数 26.4 探究与应用 问题1　二次函数y=ax2+bx+c的最值由什么决定? 活动1　与高度有关的最值问题 引发思考 解:由a,b,c的值及自变量的取值范围决定. 问题2　当自变量x的取值范围为全体实数时,二次函数y=ax2+bx+c的最值是多少? 问题3　当自变量x的取值有限制时,二次函数y=ax2+bx+c的最值如何确定? 解:当a>0时,y最小值=,此时x=-;当a<0时,y最大值=,此时x=-. 解:先判断-是否在x的取值范围内,若在,则二次函数在x=-时取得最大(小)值;若不在,则根据二次函数的增减性确定二次函数的最值. 抛物线y=ax2+bx+c的顶点与函数最值的关系 一般地,当a>0(a<0)时,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(高)点,也就是说,当x=　　时,二次函数y=ax2+bx+c有最　 (　　)值 　　　　.  懂 结论 - 小 大 (教材典题)在一次跳水运动中,某运动员的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)之间的关系式是h= -4.9t2+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点?运动员跳水过程中重心的最大高度是多少?(结果保留小数点后一位) 理解应用 例 1 解:对于二次函数h=-4.9t2+2.8t+11,当t=-=-≈0.3时,h有最大值=11.4. 因此,运动员起跳后大约0.3 s时,其重心达到最高点,最大高度为11.4 m. 运动员在跳水过程中,重心的高度是时间的二次函数,于是最大高度问题转化为求二次函数的最大值问题,而何时达到最高点问题,转化为二次函数取最大值时自变量的取值问题. 学 思路 活动2　与几何图形面积有关的最值问题 (教材典题)如图26-4-1,利用一面墙(墙的长度不限),用20 m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大?最大面积是多少? 解:设垂直于墙的边长为x m,则平行于墙的边长为(20-2x)m,矩形菜园的面积S=x(20-2x),即S=-2x2+20x(0<x<10). 当x=-=-=5时,S有最大值=50. 因此,当垂直于墙的边长为5 m时,这个矩形菜园的面积最大,最大面积为50 m2. 例 2 图26-4-1 利用二次函数解决图形面积最值问题的步骤 (1)根据题意求出函数解析式和自变量的取值范围. (2)判断函数图象的顶点横坐标是否在自变量的取值范围内. (3)根据(2)的结论确定最值,即若函数图象的顶点横坐标在自变量的取值范围内,则顶点的纵坐标是最值;若不在,则右(或左)端点的纵坐标是最值. 学 思路 如图26-4-2,利用一面墙(墙的长度为10 m),用30 m长的篱笆围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形菜园.设菜园的一边AB的长为x m,矩形菜园ABCD的面积为y m2. (1)求y关于x的函数解析式; 变式 解:(1)由题意,得y=x(30-3x),即y=-3x2+30x. ∵0<30-3x≤10,∴≤x<10, ∴y关于x的函数解析式为y=-3x2+30x（≤x<10）. 图26-4-2 (2)当x为何值时,y的值最大?求出y的最大值. 解:(2)y=-3x2+30x=-3(x-5)2+75. ∵≤x<10,且当x>5时,y随x的增大而减小, ∴当x=时,y的值最大,最大值为. 图26-4-2 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.已知直角三角形两条直角边的和为18,则当这个直角三角形的面积最大时,两条直角边的长分别为 (　　) A.8,10 B.9,9 C.7,11 D.6,12 | 课堂检测 | B 2.如图26-4-3,某杂技演员从蹦床A处弹跳到人梯顶端椅子B处,其身体(看成一点)的路线是抛物线y=-2x2+8x+1的一部分,求该演员离地面的最大高度. 解:∵y=-2x2+8x+1=-2(x-2)2+9, ∴当x=2时,y取得最大值,最大值是9, 即该演员离地面的最大高度是9米. 图26-4-3 3.常青钢窗厂要利用12米长的钢材制成如图26-4-4所示的矩形窗框,窗框的长与宽分别为多少时,窗框的透光面积最大?最大面积是多少? 解:设AD=x米,窗框的透光面积为y平方米,则AB=米. 根据题意,得y=x·=-(x-2)2+6(0<x<4), ∴当x=2时,y取得最大值,最大值为6,此时=3, 即窗框的长AB为3米,宽AD为2米时,窗框的透光面积最大,最大面积是6平方米. 图26-4-4 $第2课时　 最大利润问题 第二十六章　二次函数 26.4 探究与应用 某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映,若调整单价(单价为整数):每涨价1元,则每星期要少卖出10件;每降价1元,则每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?最大利润是多少? 活动　会利用二次函数解决最大利润等问题 问题情境 解“利润最大化”问题的一般步骤 (1)用含自变量的式子表示一件商品的利润以及销售量. (2)根据“总利润=一件商品的利润×销售量”列出二次函数解析式. (3)求自变量的取值范围. (4)判断抛物线顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内. (5)根据(4)的结论确定最值.即若抛物线顶点的横坐标在自变量的取值范围内,则顶点的纵坐标是最值;若不在,则右(或左)端点的纵坐标是最值. 学 方法 问题1　每件涨价x元时,每件商品的利润是多少元?每星期售出商品的总件数是多少?每星期售出商品的总利润y(元)与x之间的函数解析式怎样表示?定价是多少时,利润最大?最大利润是多少? 引发思考 解:每件商品的利润是60-40+x=(20+x)元;每星期售出商品的总件数是(300-10x)件;y与x之间的函数解析式是y=(20+x)(300-10x)=-10x2+100x+6000 (0≤x≤30,且x为整数);当x=-=-=5时,y最大.也就是说,在涨价的情况下,涨价5元,即定价65元时,利润最大,最大利润是6250元. 问题2　每件降价x元时,每件商品的利润是多少元?每星期售出商品的总件数是多少?每星期售出商品的总利润y(元)与x之间的函数解析式怎样表示?定价是多少时,利润最大?最大利润是多少? 解:每件商品的利润是60-40-x=(20-x)元;每星期售出商品的总件数是(300+20x)件;y与x之间的函数解析式是y=(20-x)(300+20x)=-20x2+100x+6000(0≤x≤20,且x为整数);当x=-=-时,y最大. 又∵x为整数,∴x=2或3.也就是说,在降价的情况下,降价2元或3元,即定价58元或57元时,利润最大,最大利润是6120元. (教材补充例题)某网店售卖一款进价为30元/个的玩偶,规定单个销售利润不低于10元,且不高于25元.试销期间发现,当销售单价定为40元时,每天可以售出500个,销售单价每上涨1元,每天的销售量减少10个.该网店决定提高销售单价,设销售单价为x元(x为整数),每天的销售量为y个. (1)求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围; (2)求该网店每天销售该玩偶所获利润W(元)的最大值. 理解应用 例 解:(1)由题意,得y=500-10(x-40)=-10x+900, ∴y关于x的函数解析式为y=-10x+900.　 ∵单个销售利润不低于10元,且不高于25元, ∴10≤x-30≤25,∴40≤x≤55且x为整数. (2)由题意,得W=(-10x+900)(x-30) =-10x2+1200x-27000 =-10(x-60)2+9000. ∵-10<0,且40≤x≤55,∴当x=55时,W有最大值,最大值为-10×(55-60)2+9000=8750. 答:该网店每天销售该玩偶所获利润W(元)的最大值为8750元. 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.某商店销售一种品牌衬衣,如果这种衬衣每天所获得的利润y (单位:元)与衬衣的销售单价x(单位:元) 满足关系式y=-x2+50x+500,那么要想每天获得最大利润,销售单价应定为 (　　) A.20元 B.25元 C.30元 D.40元 | 课堂检测 | B 2.服装店将每件进价为100元的服装按每件x元的价格出售,每天可销售(200-x)件.若想每天获得最大利润,则x的值应为 (　　) A.150 B.160 C.170 D.180 A 3.某商品的进价为90元/个,按100元/个的价格出售时,每月能售出500个.如果这种商品的售价每上涨1元/个,每月的销售量就减少10个.为使每月获得最大利润,其售价应定为 (　　) A.130元/个 　B.120元/个 C.110元/个 　D.100元/个 B $第3课时　 建立适当坐标系解决抛物线形问题 第二十六章　二次函数 26.4 探究与应用 一座抛物线形拱桥如图26-4-5所示,当拱顶离水 面4 m时,水面宽10 m.突降暴雨后水面上升1 m, 此时水面宽为多少(结果保留小数点后一位)? 请按下面提供的方法建立平面直角坐标系,求出函数解析式并解决问题. 活动　能建立适当的坐标系,并运用二次函数的图象与性质解决 拱桥类实际问题 问题情境 图26-4-5 方法一:以水面所在直线为x轴,抛物线的对称轴与水面的交点为原点,建立平面直角坐标系. 解:方法一:如图①所示. 由题意,设抛物线的解析式为y=ax2+b. ∵当拱顶离水面4 m时,水面宽10 m,∴C(0,4),B(5,0). 将C(0,4),B(5,0)代入y=ax2+b, 得解得∴抛物线的解析式为y=-x2+4. 当水面上升1 m时,水面的纵坐标为1.令y=1,则1=-x2+4,解得x=±, ∴此时水面宽为-（-）=5≈8.7(m). 方法二:以抛物线的顶点为原点,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系. 解:方法二:如图②所示. 由题意,设抛物线的解析式为y=ax2. 由抛物线经过点(5,-4),得-4=a×52,解得a=-, ∴抛物线的解析式为y=-x2. 当水面上升1 m时,水面的纵坐标为-3. 令y=-3,则-x2=-3,解得x=±,∴此时水面宽为-（-）=5≈8.7(m). 方法三:以抛物线与水面的左侧交点为原点,水面所在直线为x轴,建立平面直角坐标系. 解:方法三:如图③所示. 由题意知,抛物线与x轴的交点为(0,0),(10,0),其顶点坐标为(5,4). 设抛物线的解析式为y=a(x-5)2+4.将(0,0)代入,得25a+4=0,解得a=-, ∴抛物线的解析式为y=-(x-5)2+4,即y=-x2+x. 当水面上升1 m时,水面的纵坐标为1. 令y=1,则-x2+x=1,解得x=5±,∴此时水面宽为5+-（5-）=5≈8.7(m). 比较上面的三种方法,你觉得哪种方法更简便? 解:比较上面的三种方法,方法二更简便. 同一个问题中,建立平面直角坐标系的方法有多种,建立适当的平面直角坐标系能简化求解过程.通常以已知点所在的位置为原点建立平面直角坐标系,以方便求解为原则. 作 比较 (教材补充例题)如图26-4-6,某公司的大门呈抛物线形,大门底部AB宽为4 m,顶部C距地面的高度为4.4 m. (1)试建立适当的平面直角坐标系,求抛物线的函数解析式; 理解应用 例 图26-4-6 解:(1)答案不唯一.如图,以AB的中点为原点,AB所在直线为x轴, 建立平面直角坐标系,则点A,B,C的坐标分别为(-2,0),(2,0),(0,4.4). 设抛物线的函数解析式为y=ax2+4.4. 将点B(2,0)的坐标代入,得4a+4.4=0,解得a=-1.1, ∴y=-1.1x2+4.4,故抛物线的函数解析式为y=-1.1x2+4.4. (2)一辆装满货物的货车欲通过大门,已知货物顶部距地面2.65 m,装货宽度为2.4 m,那么这辆货车能否顺利通过大门? 图26-4-6 解:(2)将x=1.2代入y=-1.1x2+4.4,得y=2.816>2.65, ∴这辆货车能顺利通过大门. 利用二次函数解决拱桥类问题的步骤 (1)建立恰当的平面直角坐标系; (2)把实际问题中的相关数量转化成点的坐标; (3)利用待定系数法确定二次函数的解析式; (4)利用函数解析式,由一个量求得另一个量,或由一个量的取值范围求得另一个量的取值范围,并用所得的结果来描述实际问题. 建 模型 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.小明以二次函数y=2x2-4x+8的图象为灵感设计了一款杯子,如图26-4-7为杯子的设计稿.若AB=4,DE=3,则杯子的高CE为 (　　) A.14 B.11 C.6 D.3 | 课堂检测 | B 图26-4-7 2.如图26-4-8所示是一学生推铅球时铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数图象,则铅球推出的水平距离是　　 m.  10 图26-4-8 3.如图26-4-9①,“东方之门”通过简单的几何曲线处理,将传统文化与现代建筑融为一体,最大程度地传承了苏州的历史文化.如图②,“门”的内侧曲线呈抛物线形,已知其底部宽度为80 m,高度为200 m.求离地面150 m处的水平宽度(即CD的长)为多少米. 图26-4-9 解:以底部AB所在的直线为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图, 则A(-40,0),B(40,0),E(0,200). 设抛物线的解析式为y=a(x+40)(x-40). 将(0,200)代入,得200=a(0+40)(0-40),解得a=-, ∴抛物线的解析式为y=-(x+40)(x-40)=-x2+200. 将y=150代入,得-x2+200=150,解得x=±20,∴C(-20,150),D(20,150), ∴CD=40 m,即离地面150 m处的水平宽度(即CD的长)为40 m. $