25.1 一元二次方程的概念（讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦初中数学“一元二次方程的概念”核心知识点，系统梳理从概念辨析（整式、一元、二次三层判定）到一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）规范书写，再到解的验证与应用的知识脉络，搭建递进式学习支架。 资料通过“随学随练+题型分类+易错提醒”设计，突出参数取值、降次法等难点突破，培养数学思维（推理能力）与模型意识（实际问题列方程）。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过“活学活用”例题查漏补缺，提升运算与应用能力。

第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 课标要点 1.结合实际问题情境抽象出整式方程，认识一元二次方程的概念，能准确识别一元二次方程，规范写出一般形式并确定二次项、一次项、常数项及对应系数。 2.能根据实际等量关系列一元二次方程，区分一元一次、分式、二元方程与一元二次方程，建立 “整式、一元、二次” 三层判定逻辑。 3.能利用一元二次方程的解的定义，代入求值、逆向求参数，结合实际情境判断方程解的合理性。 学习重难点 重点： 1.一元二次方程的定义辨析，一般形式的规范书写。 2.根据实际问题列一元二次方程，识别各项与对应系数。 3.一元二次方程根（解）的概念与简单代入计算。 难点： 1.理解隐含条件(a≠0)，含参数方程中利用一元二次定义求参数取值范围。 2.复杂整式化简后判断方程类型，区分易混淆方程。 3.结合实际应用题挖掘隐藏等量关系，构建一元二次方程模型并检验解的实际意义。 知识点 一元二次方程的概念 1.定义：等号两边都是 ，只含有 未知数，化简后未知数最高次数为 的方程，叫做一元二次方程。 2.三大必备判定条件(缺一不可) ①整式方程：未知数 出现在分母、根号内； ②一元：方程仅含1种未知字母； ③二次：化简合并同类项后，未知数最高次为2，二次项不抵消。 3.判定步骤：先化简→再数未知数→最后看最高次数。 特别提醒 1）定义中“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2”是对整理化简后的方程而言的. 2）定义中“整式方程”是指原方程等号两边都是整式，而不是指将原方程化简之后等号两边都是整式. 随学随练 1．（25-26九年级下·湖南永州·期中）下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 2．（25-26九年级上·天津滨海新区·月考）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 知识点 一元二次方程的一般形式（重点） 一元二次方程一般形式ax²+bx+c=0(a≠0) 1.书写要求：所有项移到左边，等式右侧=0，按二次项、一次项、常数项排序； 2.项与系数： 二次项(a二次项系数)， 一次项(b一次项系数)， 常数项； 3.硬性条件：a≠0，若a=0，方程变为一元一次方程。 易错提醒 1.一般形式右侧不为0 错误写法3x²=5x-4直接当作标准形式； 规范写法：移项整理为3x²-5x+4=0，右边必须化为0。 2.提取系数时漏掉负号 例：2x²-5x-3=0 错解：一次项系数5，常数项3; 正解：一次项系数—5，常数项-3; 提醒：系数包含该项前面的正负符号，移项变号不能丢。 随学随练 1．（25-26九年级上·河南开封·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 2．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 知识点 一元二次方程的解（根） 核心知识点 1.定义：使方程左右两边 的未知数的 叫做方程的解，一元二次方程的解也叫 ； 2.根的数量：最多2个实数根； 3.验证方法：将数值代入原方程，左右相等才是有效根； 4.应用：已知根可代入求参数、整体代换降次求值。 易错提醒 1.检验根时代入化简后的方程，不用原式 要求：验证必须使用题目给出的原始方程。 2.实际应用题不检验根的实际意义 适用场景：边长、人数、产量、时间等应用题； 错误做法：算出负数、非整数根直接保留； 纠正：长度、人数不能为负、不能是小数，不符合现实的根必须舍去。 3.降次求值强行解方程，不用整体代换 随学随练 1．（25-26九年级下·江西鹰潭·月考）下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 3．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 拓展 利用特殊值法解一元二次方程（常考） 题型1：已知一个方程的根，求变形后新方程的根 核心原理 已知x=m是方程at2+bt+c=0的根，则满足：am2+bm+c=0；把新方程整理变形，凑出和已知等式结构完全相同的整体，令整体=已知根，解出新未知数。 解题口诀 已知一根得等式，新方程先拆凑整体； 内外整体划等号，直接算出新根值。 易错提醒 1.变形时注意符号，提取公因式b时，不要漏变常数符号； 2.分清整体括号内的式子和原始根的等量关系，不要直接用原始根当作答案。 题型2：根据a、b、c的代数等式，反求一元二次方程的根 核心原理 方程标准形式：ax2+bx+c=0，给出的a、b、c关系式还原成a·( )2+b·( )+c=0的形式，括号里的数字就是方程的根。 解题口诀 给齐a、b、c关系式，还原成标准方程结构；a系数开平方，对应b系数就是根。 易错提醒 1.符号易错：a-b+c=0对应根是-1,不要错记成1； 2.看清a前面数字，比如16a对应根±4，结合b的符号判断正负。 活学活用 1．（25-26九年级上·福建龙岩·月考）若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 2．若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（    ） A．0，4 B．0， C．，4 D．1，4 拓展 利用“降次”法求代数式的值（常考） 利用方程变形得到二次项替换式x2=a+b，将更高次幂(x3、x4...)拆成x·x低次，逐层把高次全部降为一次整式，整体代入所求多项式,消去未知数后直接算出常数结果。 两步核心操作 1.构造降次工具：把已知一元二次方程移项，得到用一次式表示x2的等式； 2.逐层降次代入：高次幂拆出x2替换化简，全部代进目标多项式，合并同类项消去含x项，得到数值。 活学活用 1．（2026·四川广安·二模）若实数x满足，则______． 2．（2026·四川广元·二模）若是方程的根，则代数式的值是____． 3．（2026·甘肃白银·二模）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 题型一 识别一元二次方程 解题贴士 判断一个方程是不是一元二次方程的三个条件:①整式方程(等号两边都是整式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2.注意“整式方程”是指原方程是整式方程，而不是指化简之后;“只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2”是对方程化简之后而言的. ▌例1 （25-26九年级上·山东烟台·期末）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26九年级下·山东淄博·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 解题贴士 必须同时满足两个硬性条件(缺一不可) 条件1：未知数最高次数等于2 方程里最高次项的指数=2，据此列等式解参数； 条件2：二次项系数不能为0 若二次项系数为0，二次项直接消失，方程降级为一次方程； ▌例2 （25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． ▌对点练2-1．（25-26九年级上·河南开封·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是__________． 题型三 化为一元二次方程的一般式 解题贴士 整理成标准形式：ax²+bx+c=0(a≠0)，右边必须为0，左边按二次项、一次项、常数项降幂排列。 四步核心流程 1.去分母：等式所有项同乘公分母，无分母常数项也要乘； 2.去括号：负括号内每一项全部变号，完全平方不漏2ab中间项； 3.移项：全部项移到等号左侧，移项必变号，右侧只剩0； 4.合并同类项：二次项、一次项、常数项分别合并，统一整理。 ▌例3 （25-26九年级下·湖南永州·期中）把一元二次方程化为一般形式为______________________ ▌对点练3-1．（25-26九年级上·北京·课后作业）将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． ▌对点练3-2．将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 题型四 判断是否为一元二次方程的解 ▌例4 （25-26九年级上·上海金山·期末）下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-1．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， ▌对点练4-2．（25-26九年级上·广东广州·月考）已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（   ） A． B．3 C． D．不能确定 题型五 利用“整体代入法”求代数式的值 解题贴士 1.代根入方程 将已知根替换方程里的未知数，得到含参数a、b的等式。 2.化简整理等式 去括号、移项、合并同类项，得到形如ma+nb=k的整体关系式。 3.变形目标代数式 对要求的式子添括号、提负号，凑出上面得到的整体ma+nb。 4.整体代入求值 不单独求a、b各自的值，直接把整体式子的数值代进去计算。 ▌例5（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）若是关于的方程的一个实根，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． ▌对点练5-1．（25-26九年级上·北京·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是________． ▌对点练5-2．（2026·江苏宿迁·二模）若a是方程的根，则代数式值是_________． 题型六 已知一元二次方程的解求参数 解题贴士 1.代入：将已知根替换方程里的未知数x，得到只含参数的一元一次方程； 2.化简：展开、移项、合并同类项，整理成am=b标准形式； 3.求解：系数化为1，算出参数； 4.检验(一元二次方程专用):确认二次项系数不为0，保证方程确实是一元二次方程。 ▌例6 （2026·辽宁阜新·二模）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． ▌对点练6-1．（2026·浙江金华·二模）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． ▌对点练6-2．（2026·四川宜宾·一模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为__________. 题型七 一元二次方程解的估算 解题贴士 一、核心原理 设y=ax²+bx+c，方程ax²+bx+c=0的根，就是使函数值y=0的x；y从负数变正数(或正数变负数)中间跨过0，0就在这两个x之间；离0越近的函数值，对应的x就是最精确近似根。 二、标准解题四步 1.对应函数：把方程左边看成函数y=x²-x-1.1，求y=0时的x； 2.找正负交界：在表格里找到一组相邻x，一个对应y<0，一个对应y>0，根就在这两个数中间； 3.对比绝对值：分别算出两个函数值与0的差值(绝对值)，绝对值越小，代表越接近0； 4.确定近似根：绝对值更小的那个x，就是最精确近似根。 ▌例7（25-26九年级上·广西崇左·月考）关于x的二次三项式，满足下表中的对应关系：则一元二次方程的两个整数根是_____________． x … 0 1 2 4 5 … … 16 7 7 16 … ▌对点练7-1．（25-26九年级上·四川成都·期中）小刚在探索一元二次方程的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是______． x 0 1 2 13 ▌对点练7-2．（25-26九年级上·福建漳州·月考）观察表格，一元二次方程的最精确的一个近似根是______． 题型八 一元二次方程中新定义类问题 解题贴士 总核心逻辑 先读懂、套定义，再用一元二次方程常规知识解题 题目会临时给出新概念(新运算、新数、新根定义、新判定规则)，所有计算必须严格遵守题目给的规则 ▌例8 在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如． (1)判断是否为一元二次方程． (2)判断和是否是方程的根． ▌对点练8-1．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． ▌对点练8-2．（25-26九年级上·广东东莞·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 基础通关 1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）下列方程属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽六安·期末）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 3．（25-26九年级上·广西南宁·期末）若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 4．（25-26九年级上·北京平谷·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 5．（2026·福建福州·模拟预测）已知是方程的解，则________． 6．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 7．（25-26九年级上·福建福州·期中）已知m是方程的一个实数根，则的值是______． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知，可用“降次法”求得的值是________． 9．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知t是方程的一个根，求代数式的值． 10．（25-26九年级上·北京·期中）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 11．（24-25九年级下·广东广州·月考）已知． (1)化简A； (2)若a为方程的一个解，求A的值． 素养提升 1．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26九年级上·北京·期中）若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山西晋中·期中）下表是某同学求代数式（为常数，且）的值的情况．根据表格中的数据，可知关于的一元二次方程的一个根为（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 3 8 15 ．．． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知，可用“降次法”求得的值是________． 7．（25-26九年级上·江西南昌·月考）在一个物理实验中，有一个电路的电阻变化规律可以用方程来描述，其中表示电阻值（单位：欧姆）．若是该方程的一个根，现在要计算一个与该电阻相关的电学量的值（该电学量的单位是焦耳），求这个值是____________． 8．（25-26九年级上·全国·周测）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如． (1)判断是否为一元二次方程． (2)判断和是否是方程的根． 9．（25-26九年级上·广东潮州·期中）阅读理解题． 定义：如果一个数i的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位.我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：______，______，______； (2)已知，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程． 迁移创新 1．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位i，规定．形如（，为实数）的数统称为复数，当时，称为虚数；当时，称为实数． （1）化简________； （2）关于的一元二次方程有一个根是，其中，是实数，则________． 3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 课标要点 1.结合实际问题情境抽象出整式方程，认识一元二次方程的概念，能准确识别一元二次方程，规范写出一般形式并确定二次项、一次项、常数项及对应系数。 2.能根据实际等量关系列一元二次方程，区分一元一次、分式、二元方程与一元二次方程，建立 “整式、一元、二次” 三层判定逻辑。 3.能利用一元二次方程的解的定义，代入求值、逆向求参数，结合实际情境判断方程解的合理性。 学习重难点 重点： 1.一元二次方程的定义辨析，一般形式的规范书写。 2.根据实际问题列一元二次方程，识别各项与对应系数。 3.一元二次方程根（解）的概念与简单代入计算。 难点： 1.理解隐含条件(a≠0)，含参数方程中利用一元二次定义求参数取值范围。 2.复杂整式化简后判断方程类型，区分易混淆方程。 3.结合实际应用题挖掘隐藏等量关系，构建一元二次方程模型并检验解的实际意义。 知识点 一元二次方程的概念 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，化简后未知数最高次数为2的方程，叫做一元二次方程。 2.三大必备判定条件(缺一不可) ①整式方程：未知数不能出现在分母、根号内； ②一元：方程仅含1种未知字母； ③二次：化简合并同类项后，未知数最高次为2，二次项不抵消。 3.判定步骤：先化简→再数未知数→最后看最高次数。 特别提醒 1）定义中“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2”是对整理化简后的方程而言的. 2）定义中“整式方程”是指原方程等号两边都是整式，而不是指将原方程化简之后等号两边都是整式. 随学随练 1．（25-26九年级下·湖南永州·期中）下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【答案】①④/④① 【详解】解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程． ①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； ②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； ③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义； ④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 综上所述，是一元二次方程的有①④． 2．（25-26九年级上·天津滨海新区·月考）若关于x的方程是一元二次方程，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般式为．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0． 【详解】解：由一元二次方程的定义，得且． 解方程，得． 即． 当时，，不符合二次项系数不为0的条件； 当时，，符合条件． 故答案为：1． 知识点 一元二次方程的一般形式（重点） 一元二次方程一般形式ax²+bx+c=0(a≠0) 1.书写要求：所有项移到左边，等式右侧=0，按二次项、一次项、常数项排序； 2.项与系数：ax²二次项(a二次项系数)，bx一次项(b一次项系数)，c常数项； 3.硬性条件：a≠0，若a=0，方程变为一元一次方程。 易错提醒 1.一般形式右侧不为0 错误写法3x²=5x-4直接当作标准形式； 规范写法：移项整理为3x²-5x+4=0，右边必须化为0。 2.提取系数时漏掉负号 例：2x²-5x-3=0 错解：一次项系数5，常数项3; 正解：一次项系数—5，常数项-3; 提醒：系数包含该项前面的正负符号，移项变号不能丢。 随学随练 1．（25-26九年级上·河南开封·期末）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是________． 【答案】 ，， 【分析】先将给定的一元二次方程整理为一般形式，再分别确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程移项整理为一般形式，得 ， ∴该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 2．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 知识点 一元二次方程的解（根） 核心知识点 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫根； 2.根的数量：最多2个实数根； 3.验证方法：将数值代入原方程，左右相等才是有效根； 4.应用：已知根可代入求参数、整体代换降次求值。 易错提醒 1.检验根时代入化简后的方程，不用原式 要求：验证必须使用题目给出的原始方程。 2.实际应用题不检验根的实际意义 适用场景：边长、人数、产量、时间等应用题； 错误做法：算出负数、非整数根直接保留； 纠正：长度、人数不能为负、不能是小数，不符合现实的根必须舍去。 3.降次求值强行解方程，不用整体代换 随学随练 1．（25-26九年级下·江西鹰潭·月考）下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 2．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 根据方程的含义，直接从表格中找出使代数式的值为2对应的值，即为方程的实数根． 【详解】∵当时，； 当时，， ∴方程的实数根为，, 故选： A． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的解，由可知令即成立，则可求出答案． 【详解】解：当时，方程为， 方程必有一个根是， 故选：C． 拓展 利用特殊值法解一元二次方程（常考） 题型1：已知一个方程的根，求变形后新方程的根 核心原理 已知x=m是方程at2+bt+c=0的根，则满足：am2+bm+c=0；把新方程整理变形，凑出和已知等式结构完全相同的整体，令整体=已知根，解出新未知数。 解题口诀 已知一根得等式，新方程先拆凑整体； 内外整体划等号，直接算出新根值。 易错提醒 1.变形时注意符号，提取公因式b时，不要漏变常数符号； 2.分清整体括号内的式子和原始根的等量关系，不要直接用原始根当作答案。 题型2：根据a、b、c的代数等式，反求一元二次方程的根 核心原理 方程标准形式：ax2+bx+c=0，给出的a、b、c关系式还原成a·( )2+b·( )+c=0的形式，括号里的数字就是方程的根。 解题口诀 给齐a、b、c关系式，还原成标准方程结构；a系数开平方，对应b系数就是根。 易错提醒 1.符号易错：a-b+c=0对应根是-1,不要错记成1； 2.看清a前面数字，比如16a对应根±4，结合b的符号判断正负。 活学活用 1．（25-26九年级上·福建龙岩·月考）若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．关于x的方程变形为，此方程可看作关于的一元二次方程，根据题意得到，从而得到． 【详解】解：关于x的方程变形为，此方程可看作关于的一元二次方程， 是关于x的方程的一个根， ， 解得， 关于x的方程必有一个根为． 故选：D． 2．若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（    ） A．0，4 B．0， C．，4 D．1，4 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵把代入得：， ∴方程的一个解是， ∵把代入得：， ∴方程的一个解是． 故选：C． 拓展 利用“降次”法求代数式的值（常考） 利用方程变形得到二次项替换式x2=a+b，将更高次幂(x3、x4...)拆成x·x低次，逐层把高次全部降为一次整式，整体代入所求多项式,消去未知数后直接算出常数结果。 两步核心操作 1.构造降次工具：把已知一元二次方程移项，得到用一次式表示x2的等式； 2.逐层降次代入：高次幂拆出x2替换化简，全部代进目标多项式，合并同类项消去含x项，得到数值。 活学活用 1．（2026·四川广安·二模）若实数x满足，则______． 【答案】 【分析】利用已知一元二次方程对所求多项式进行降次处理，将高次多项式转化为低次多项式后代入计算即可得到结果． 【详解】 ， ∴ 2．（2026·四川广元·二模）若是方程的根，则代数式的值是____． 【答案】2029 【分析】利用方程的根的定义，得到；两边同除以，构造出的形式；对平方，求出的值；代入代数式，直接算出最终结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ， 方程两边同时除以，得： 整理得： ∴ 化简得： 移项得： 将其代入代数式得： ． 3．（2026·甘肃白银·二模）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 【答案】36 【分析】利用m是方程的一个根，求得，将原式整理得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 题型一 识别一元二次方程 解题贴士 判断一个方程是不是一元二次方程的三个条件:①整式方程(等号两边都是整式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2.注意“整式方程”是指原方程是整式方程，而不是指化简之后;“只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2”是对方程化简之后而言的. ▌例1 （25-26九年级上·山东烟台·期末）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A选项：方程，∵是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为，∴是一元二次方程，该选项符合要求． B选项：方程，∵是分式，方程不是整式方程，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． C选项：对展开整理，得，∵未知数的最高次数是，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． D选项：方程，∵方程含有和两个未知数，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． ▌对点练1-1．（25-26九年级下·山东淄博·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件，只含有一个未知数，未知数的最高次数为，是整式方程，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A中，未知数最高次数为，不满足条件，∴A错误； 选项B中，含有两个未知数，不满足条件，∴B错误； 选项C中，只含1个未知数，未知数最高次数为，且为整式方程，满足所有条件，∴C正确； 选项D中，分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件，∴D错误． ▌对点练1-2．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、中未说明，当时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、由整理得，即，该方程满足一元二次方程的全部条件，故该选项符合题意； C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意； D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意． ▌对点练1-3．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项B：方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项C：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项D：方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 解题贴士 必须同时满足两个硬性条件(缺一不可) 条件1：未知数最高次数等于2 方程里最高次项的指数=2，据此列等式解参数； 条件2：二次项系数不能为0 若二次项系数为0，二次项直接消失，方程降级为一次方程； ▌例2 （25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． ▌对点练2-1．（25-26九年级上·河南开封·期中）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，由此列出不等式求解． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程，则二次项系数， 解得， 故答案为：． 题型三 化为一元二次方程的一般式 解题贴士 整理成标准形式：ax²+bx+c=0(a≠0)，右边必须为0，左边按二次项、一次项、常数项降幂排列。 四步核心流程 1.去分母：等式所有项同乘公分母，无分母常数项也要乘； 2.去括号：负括号内每一项全部变号，完全平方不漏2ab中间项； 3.移项：全部项移到等号左侧，移项必变号，右侧只剩0； 4.合并同类项：二次项、一次项、常数项分别合并，统一整理。 ▌例3 （25-26九年级下·湖南永州·期中）把一元二次方程化为一般形式为______________________ 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴. ▌对点练3-1．（25-26九年级上·北京·课后作业）将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (2)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (4)，二次项系数为，一次项系数为，常数项． 【分析】（）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】（1）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （2）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （3）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （4）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项． ▌对点练3-2．将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 【答案】(1)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； (2)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义． （1）移项，将方程化为一般形式，即可求解； （2）去括号，移项，合并同类项，将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 题型四 判断是否为一元二次方程的解 ▌例4 （25-26九年级上·上海金山·期末）下列一元二次方程中，有一个根为1的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，熟知方程的解是满足方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入各方程，验证方程是否成立． 【详解】解：A、当时， ，该选项不符合题意； B、当时， ，该选项符合题意； C、当时， ，该选项不符合题意； D、当时， ，该选项不符合题意． 故选：B． ▌对点练4-1．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 根据方程的含义，直接从表格中找出使代数式的值为2对应的值，即为方程的实数根． 【详解】∵当时，； 当时，， ∴方程的实数根为，, 故选： A． ▌对点练4-2．（25-26九年级上·广东广州·月考）已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（   ） A． B．3 C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．由于当时，，则可判断该方程一定有一个根为． 【详解】解：当时，，所以若，则一元二次方程一定有一个根为． 故选：A． 题型五 利用“整体代入法”求代数式的值 解题贴士 1.代根入方程 将已知根替换方程里的未知数，得到含参数a、b的等式。 2.化简整理等式 去括号、移项、合并同类项，得到形如ma+nb=k的整体关系式。 3.变形目标代数式 对要求的式子添括号、提负号，凑出上面得到的整体ma+nb。 4.整体代入求值 不单独求a、b各自的值，直接把整体式子的数值代进去计算。 ▌例5（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）若是关于的方程的一个实根，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用方程根的定义，把已知等式变形，采用整体代入法即可求代数式的值． 【详解】解：是方程的一个实根， ∴， ∴， ∴． ▌对点练5-1．（25-26九年级上·北京·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是________． 【答案】 【分析】利用方程的根满足原方程，将已知根代入方程得到与的关系式，再整理后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：将代入得， 整理得， 等式两边同除以得， 移项得， 变形得， 因此． ▌对点练5-2．（2026·江苏宿迁·二模）若a是方程的根，则代数式值是_________． 【答案】 【分析】利用方程变形得到相关关系式，再通过整体代入法求解代数式的值． 【详解】解：是方程的根，且， ， 变形可得， 方程两边同时除以得， 即， ∴ ． 题型六 已知一元二次方程的解求参数 解题贴士 1.代入：将已知根替换方程里的未知数x，得到只含参数的一元一次方程； 2.化简：展开、移项、合并同类项，整理成am=b标准形式； 3.求解：系数化为1，算出参数； 4.检验(一元二次方程专用):确认二次项系数不为0，保证方程确实是一元二次方程。 ▌例6 （2026·辽宁阜新·二模）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】已知是给定一元二次方程的一个根，将代入原方程，可得到关于的一元一次方程，解该方程即可得到的值． 【详解】由题意，将代入方程， 得 ， 整理得 ， 即 ， 解得 ． ▌对点练6-1．（2026·浙江金华·二模）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的含义，将已知根代入原方程即可求解的值． 【详解】把代入原方程得：， 整理得， 即， 解得． ▌对点练6-2．（2026·四川宜宾·一模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为__________. 【答案】 【分析】根据题意得到且，即可求出a的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴且， 解得． 题型七 一元二次方程解的估算 解题贴士 一、核心原理 设y=ax²+bx+c，方程ax²+bx+c=0的根，就是使函数值y=0的x；y从负数变正数(或正数变负数)中间跨过0，0就在这两个x之间；离0越近的函数值，对应的x就是最精确近似根。 二、标准解题四步 1.对应函数：把方程左边看成函数y=x²-x-1.1，求y=0时的x； 2.找正负交界：在表格里找到一组相邻x，一个对应y<0，一个对应y>0，根就在这两个数中间； 3.对比绝对值：分别算出两个函数值与0的差值(绝对值)，绝对值越小，代表越接近0； 4.确定近似根：绝对值更小的那个x，就是最精确近似根。 ▌例7（25-26九年级上·广西崇左·月考）关于x的二次三项式，满足下表中的对应关系：则一元二次方程的两个整数根是_____________． x … 0 1 2 4 5 … … 16 7 7 16 … 【答案】3； 【分析】本题考查的是一元二次方程的特殊解法，根据表格中的数据可知当时，，当时，，因此方程在和之间有一个整数根 ．同理，当时，，当时，．方程在和之间有一个整数根，根据两根互为相反数，这两个整数根分别为和 ． 【详解】解：由表格数据可知， 当和时，； 当和时，； 当和时，； 当和时，． ∴方程的两个根互为相反数 ． ∵当时，；当时，， ∴在范围内存在的一个根 ． ∵根为整数， ∴该根为 ． 同理，当时，；当时，， 故在范围内存在的一个根，且为整数 ． 综上，一元二次方程的两个整数根为3和 ． 故答案为3和． ▌对点练7-1．（25-26九年级上·四川成都·期中）小刚在探索一元二次方程的近似解时做了如下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是______． x 0 1 2 13 【答案】1 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围． 通过观察表格中函数值的变化，确定根所在区间，进而得出整数部分． 【详解】解：当时，； 当时，； 由于函数值在和之间由负变正，根据零点存在定理，方程在1到之间有一个根，因此该根的整数部分是1， 故答案为：1． ▌对点练7-2．（25-26九年级上·福建漳州·月考）观察表格，一元二次方程的最精确的一个近似根是______． 【答案】1.7 【分析】本题考查用表格法求一元二次方程的近似根，解题的关键是观察表格中函数值的变化，找到函数值由负变正的区间，从而确定近似根． 通过观察表格中对应的的值，找到函数值最接近0时对应的，即为方程的近似根． 【详解】解：我们观察表格中的数据： 当时，， 当时，， 可以看到，当时，的值更接近0， 所以一元二次方程最精确的一个近似根是1.7． 故答案为：1.7． 题型八 一元二次方程中新定义类问题 解题贴士 总核心逻辑 先读懂、套定义，再用一元二次方程常规知识解题 题目会临时给出新概念(新运算、新数、新根定义、新判定规则)，所有计算必须严格遵守题目给的规则 ▌例8 在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如． (1)判断是否为一元二次方程． (2)判断和是否是方程的根． 【答案】(1)是 (2)不是  是 【分析】本题考查了新定义运算、一元二次方程的定义以及方程根的检验方法，掌握新运算的转化规则和方程根的验证方法是解题的关键． （1）根据新运算的法则，将展开并整理成整式方程形式，再根据一元二次方程的定义进行判断； （2）先根据新运算将转化为整式方程，再将和分别代入方程，通过检验等式是否成立来判断是否为方程的根． 【详解】（1）解：由题意可得， 整理，得， 是一元二次方程． （2）解：由题意可得， 整理，得． 当时，， 不是方程的根． 当时，， 是方程的根． ▌对点练8-1．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是______； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解：由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵m是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． ▌对点练8-2．（25-26九年级上·广东东莞·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是________； (3)已知是关于的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求的值． 【答案】(1) 在方程中，，，， ∴， 故方程是“黄金方程”． (2) (3)m的值为1或 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义问题，对该新定义的理解以及一元二次方程的相关知识点的掌握是解题的关键． （1）根据“黄金方程”的定义，验证是否等于0； （2）根据“黄金方程”的定义，得出；再根据一元二次方程根的定义，即时方程成立，得出；联合上述两个方程，即可求出a、c的值，最后得出该“黄金方程”的表达式； （3）解题思路与（2）基本一致，根据“黄金方程”的定义和一元二次方程根的定义，得出与m、n相关的两个方程，为便于计算，用m表示n，可得出与m有关的一元二次方程，解出m的值即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， ∵2是此方程的一个根， ∴将代入方程 ，得， 得方程组，解得， ∴该方程为． 故答案为：． （3）解：∵方程是“黄金方程”， ∴， 又∵m是此方程的一个根， ∴，即， 将代入， 得一元二次方程，解得或． 故m的值为1或． 基础通关 1．（25-26九年级上·浙江金华·期末）下列方程属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．所以一元二次方程满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：方程中含有，两个未知数，不符合定义，故A选项不符合题意； 选项B：方程是整式方程，只含一个未知数，且未知数最高次数为，符合一元二次方程的定义，故B选项符合题意； 选项C：方程中含未知数的项的最高次数为，是一元一次方程，不符合定义，故C选项不符合题意； 选项D：方程中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合定义，故D选项不符合题意． 2．（25-26九年级上·安徽六安·期末）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3．（25-26九年级上·广西南宁·期末）若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】将代入原方程求出的值，再计算即可得到结果. 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 解得， ∴． 4．（25-26九年级上·北京平谷·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将已知根代入方程求出的可能取值，再结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到的正确值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程得， 解得或， 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足，即， ∴． 5．（2026·福建福州·模拟预测）已知是方程的解，则________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程的解可得，再变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 即， 则． 6．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 【答案】 【分析】将代入方程求解判断即可． 【详解】解：将代入得，， 此方程必有一根为． 7．（25-26九年级上·福建福州·期中）已知m是方程的一个实数根，则的值是______． 【答案】2027 【分析】本题考查方程的解的定义，将代入已知方程，得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】∵ 是方程的一个实数根， ∴ 将代入方程得：， 移项整理得： ， ∴ . 8．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知，可用“降次法”求得的值是________． 【答案】 【分析】根据题意，将化为，再逐步代入代数式进行求值即可． 【详解】解： ． 9．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）已知t是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【分析】根据方程根的定义得出，然后化简求值即可． 【详解】解：根据题意得，， ， 将代入上式得， 原式． 10．（25-26九年级上·北京·期中）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键： （1）直接根据波浪方程的定义判断即可； （2）先根据波浪方程的定义得到，再由一元二次方程的解的定义得到，据此联立①②求解即可； 【详解】（1）解：方程为波浪方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， （2）解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； 11．（24-25九年级下·广东广州·月考）已知． (1)化简A； (2)若a为方程的一个解，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式化简求值，一元二次方程的解，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据分式四则混合运算法则，进行计算即可； （2）根据a为方程的一个解得出，整理得出，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵a为方程的一个解， ， ， ， ． 素养提升 1．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）若实数，满足，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果. 【详解】解：∵ ，且，， ∴ 是方程的两个不相等的实数根， ∴ ， 对比系数得 ， 又∵ ， ∴ ， 则， 把代入得 ， ∴ ，. 2．（25-26九年级上·北京·期中）若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求方程整理变形，使其与原方程结构一致，通过换元利用已知方程的解求解即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为 ∴ 整理所求方程 移项得 提取公因式得 令，则方程变为，与原方程结构完全相同，故该方程的一个解为 即 解得 因此所求方程必有一解为 3．（25-26九年级上·山西晋中·期中）下表是某同学求代数式（为常数，且）的值的情况．根据表格中的数据，可知关于的一元二次方程的一个根为（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 3 8 15 ．．． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查代数式的值与方程的解，理解表格信息，掌握方程与解的关系是解题的关键． 通过表格数据，分析当x取不同值时，的值，代入方程观察方程是否成立，即可求解． 【详解】解：根据表格可知， A、当时，，可得，故不是方程的根，选项A不符合题意， B、当时，，可得，故是方程的根，选项B符合题意， C、当时，，可得，故不是方程的根，选项C不符合题意， D、当时，，可得，故不是方程的根，选项D不符合题意． 故选：B． 4．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和一次函数的象限判断，将代入方程求出m的值，再判断直线不经过的象限即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得； 又∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∴， ∴直线为， ∵， ∴直线经过第二、第三、第四象限，但不经过第一象限， 故选：A． 5．已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】2011 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，变形为，，，代入式子求解即可． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴，，， ∴． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知，可用“降次法”求得的值是________． 【答案】 【分析】根据题意，将化为，再逐步代入代数式进行求值即可． 【详解】解： ． 7．（25-26九年级上·江西南昌·月考）在一个物理实验中，有一个电路的电阻变化规律可以用方程来描述，其中表示电阻值（单位：欧姆）．若是该方程的一个根，现在要计算一个与该电阻相关的电学量的值（该电学量的单位是焦耳），求这个值是____________． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意易得：，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：2024． 8．（25-26九年级上·全国·周测）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如． (1)判断是否为一元二次方程． (2)判断和是否是方程的根． 【答案】(1)是 (2)不是  是 【分析】本题考查了新定义运算、一元二次方程的定义以及方程根的检验方法，掌握新运算的转化规则和方程根的验证方法是解题的关键． （1）根据新运算的法则，将展开并整理成整式方程形式，再根据一元二次方程的定义进行判断； （2）先根据新运算将转化为整式方程，再将和分别代入方程，通过检验等式是否成立来判断是否为方程的根． 【详解】（1）解：由题意可得， 整理，得， 是一元二次方程． （2）解：由题意可得， 整理，得． 当时，， 不是方程的根． 当时，， 是方程的根． 9．（25-26九年级上·广东潮州·期中）阅读理解题． 定义：如果一个数i的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位.我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似． 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：______，______，______； (2)已知，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了复数的基本概念与运算，一元二次方程根与系数的关系，理解复数的概念是解题的关键． （1）根据复数定义，即及幂的运算求解即可； （2）先化简，再根据复数相等的条件列方程组，最后根据一元二次方程根与系数的关系构造一元二次方程． 【详解】（1）解：， ，，， ,， ； 故答案为：； （2）， ，即， ， ， 是一元二次方程的两根． 迁移创新 1．（2026·江苏苏州·一模）我们将关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则的值分别为（   ） A． B．，2 C．，4 D．，0 【答案】C 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程的顶点式中的值相同，由第一个方程可知，故第二个方程也满足此条件，通过比较两个方程展开式的系数即可建立方程组求解． 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程与方程为同一个方程， ， ， ， 解得：． 2．（25-26九年级上·安徽阜阳·月考）数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位i，规定．形如（，为实数）的数统称为复数，当时，称为虚数；当时，称为实数． （1）化简________； （2）关于的一元二次方程有一个根是，其中，是实数，则________． 【答案】 5 4 【分析】（1）利用乘法公式计算，结合规定化简求值 （2）将代入原方程，可得出，进而可得出，，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：（1）； （2）将代入得：， 整理得：， ，， ，， ． 3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【答案】 【详解】解：依题意，当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 所以这个方程的根为，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $