3.1 探索勾股定理知识能力全练 2026-2027学年鲁教版（五四制）七年级上册数学

**基本信息** 以勾股定理为核心，通过基础理解、方法应用、综合拓展三层递进设计，实现从概念到综合应用的知识巩固，适配新授课教学需求，培养运算能力、几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|勾股定理直接应用|选择填空为主，如已知斜边求平方和（题1）、直角边求面积（题2），夯实运算能力| |方法应用|定理验证与简单情境|结合赵爽弦图（题7）、实际问题（拖拉机噪音影响，题9），发展几何直观与模型意识| |综合拓展|多知识点综合与复杂情境|涉及折叠（题14）、分类讨论（题15）、新定义“垂美”四边形（题19），提升推理能力与创新意识|

3.1 探索勾股定理 知识能力全练 知识点一 勾股定理 1.在Rt△ABC中，若斜边AB＝5，则AC2＋BC2＝（ ） A.5 B.10 C.20 D.25 2.在Rt△ABC中，∠A＝90°已知AB＝5，BC＝13，则△ABC的面积为（ ） A.30 B.32.5 C.26 D.60 3.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2.以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ） A.8 B.12 C.18 D.20 4.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，已知BC＝8，AC＝6，则斜边AB上的高是（ ） A.10 B.5 C. D. 5.如图所示，有一个面积为84 cm2的直角三角形，如果它的一条直角边长是7 cm，那么这个直角三角形的斜边长是多少？ 知识点二 勾股定理的验证 6.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形，其中两个全等的直角三角形的边AE和EB在一条直线上.证明中用到的面积相等的关系是（ ） A.S△EDA＝S△CEB B.S△EDA＋S△CEB＝S△CDE C.S四边形CDAE＝S四边形CDEB D.S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD 7.下图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A.52 B.42 C.76 D.72 8.直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12，把四个相同的直角三角形拼成如图所示的正方形，则阴影部分的面积为____________. 知识点三 勾股定理的简单应用 9.一辆拖拉机沿着公路以20km/h的速度前行，幼儿园R距离公路大约3km，拖拉机产生的噪音能够影响周围5km的区域，则幼儿园学生受拖拉机噪音影响持续的时间约为（ ） A.0.4h B.0.8h C.1.2h D.1.5h 10.一帆船由于风向，先向正西航行80千米，然后向正南航行150千米，这时它离出发点_________千米. 11.下图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图，根据图中标出的尺寸（单位:mm），计算两圆孔中心A和B的距离为__________. 12.有一块边长为40米的正方形绿地ABCD，如图所示，在绿地边BC上的E处有健身器材，BE＝9米.由于居住在A处的居民去健身踩踏了绿地，小明想在A处竖立一个标牌“少走■米，踏之何忍”.请你计算后帮小明在标牌的■处填上适当的数. 13.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ） A.9 B.6 C.4 D.3 14.如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm.现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ） A.2 cm B.3cm C.4cm D.5cm 15.一直角三角形的三边长分别为2，3，x，那么以x为边长的正方形的面积为（ ） A.13 B.5或13 C.5 D.4 16.△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（ ） A.42 B.32 C.42或32 D.42或37 17.如图所示，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为___________. 18.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB-AC＝2，BC＝8，则AB的长是_________. 19.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.若AD＝2，BC＝4，则AB2＋CD2＝__________. 20.如图所示，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE交BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则BC2的值为___________. 21.用下图①中四个完全样的直角三角形可以拼成图②的大正方形，解答下列问题: （1）请用含a、b、c的代数式表示大正方形的面积，方法1:_______________________；方法2:_____________________； （2）根据图②，利用图形的面积关系，推导a、b、c之间满足的关系式； （3）利用（2）的关系式解答:如果大正方形的面积是25，且（a＋b）2＝49，求小正方形的面积. 参考答案 1.D 2.A 3.D 4.C 5.解析 设该直角三角形的另一条直角边长为a cm，斜边长为c cm，则＝84， ∴a＝24.由勾股定理，得c2＝72＋242＝252. ∴c＝25，该直角三角形的斜边长为25cm. 6.D 7.C 8.120 9.A 10.170 11.100 mm 12.解析 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2＝AB2＋BE2＝402＋92＝412， ∴AE＝41米，∵AB＋BE＝40＋9＝49米，49-41＝8米，∴标牌的■上填的数是8. 13.D 14.B 15.B 16.C 17.3 18.17 19.20 20.80 21.解析（1）a2＋b2；c2. （2）a2＋b2＝c2. （3）由（2）知，a2＋b2＝c2. 又（a＋b）2＝49，所以2ab＝49-（a2＋b2）＝49-c2＝49-25＝24. 所以小正方形的面积＝25-24＝1. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $