精品解析：福建省泉州市晋江市晋江一中教育集团 2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

2026年春季七年级期末质量检测 数 学 试 题 （满分150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列方程中，是二元一次方程的是( ) A. x﹣y2＝1 B. 2x﹣y＝1 C. D. xy﹣1＝0 2. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 已知三角形的三边长分别为3，5，，则不可能是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 5. 在解方程组的过程中，将②代入①可得（ ） A. B. C. D. 6. 下列式子变形正确的是（　　） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 7. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕着点A逆时针旋转，得到，若，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有 1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是（ ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 A. E卡片 B. B卡片 C. C卡片 D. D卡片 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：____． 12. 如图，已知，若，，则的值为_____． 13. 如图，在中，，将沿射线平移后得到，若，则的长度为______ ． 14. 已知是关于x、y的方程的解，则代数式的值是________． 15. 某广场的地面是由相同的正五边形与相同的四角星形（四个尖角的度数相同）铺成的无缝隙，不重叠的图形，如图是该广场地面的一部分，则图中四角星形的尖角的度数为________°． 16. 好事成双，“双”在中国传统文化里有吉利、繁荣和团聚的意义，被认为是幸福和好运 的象征规定：一个各个数位上的数字均不为的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的倍，则称这个四位数为“成双数” 对于“成双数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．若“成双数”千位上的数字与个位上的数字之和为能被整除，则满足条件的“成双数”中的最小数为_____________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 解方程组：． 19. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 20. 用无刻度的直尺作图：如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，画出； （2）将绕点顺时针旋转90度得到，画出； （3）第（2）问中的线段也可由第（1）问中的线段旋转得到，请作出其旋转中心． 21. 如图，在中，平分． （1）作出的边上的高（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求的度数； 22. 2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两类智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹． （1）求A、B两类机器人每小时分别分拣多少件包裹？ （2）该物流中心计划用不超过26万元购买两种智能分拣机器人共10台，且确保每小时的总分拣量不少于12000件，已知A类机器人每台3万元，B类机器人每台2万元，则该物流中心有几种投入方案？ 23. 折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．请根据题意，回答以下问题： （1）如图①，纸片沿折叠，点落在内部点处，若，求的度数； （2）如图②，纸片沿折叠，使点落在外部点处，请直接写出之间的数量关系_______________． 24. 学习了一元一次方程后，老师在综合实践课上给同学们布置了“如何自己动手做一杆秤”的实践活动，阅读材料，完成任务． 实践活动 如何自己动手做一杆秤 素材一 如图1，用一根质地均匀的长的木杆和一些等重的小物体做下列实验，并记录每一次支点与木杆左右两边挂重物处的距离： （1）在木杆中间处拴绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点； （2）在木杆两端各悬挂一重物，看看左右是否保持平衡； （3）在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡； （4）在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡； （5）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作并记录如下： 木杆左边挂重物个数 支点到木杆左边挂重物的距离 木杆右端挂重物个数 支点到木杆右端挂重物的距离 状态 1 1 平衡 2 1 平衡 3 平衡 4 1 平衡 5 ① 1 平衡 素材二 同学们根据这个原理自制了一个杆秤，如图3所示，提钮处是支点，已知为，秤砣重量是，称盘重量是，秤砣到提钮处的距离为(即) 任务一 （1）根据素材一实验记录数据的规律，补全实验记录：①_________；如图2，支点在木杆中点处，在木杆右端挂一个重物，支点左边挂个重物，并使左右平衡．设木杆长为，支点到木杆左边挂重物处的距离为，把，l作为已知数，列出关于的一元一次方程__________________． 任务二 （2）根据素材二，若秤盘上不放重物，问当为何值时，杆秤刚好平衡． 任务三 （3）根据素材二，记放入的重物重量为．根据查阅的信息，若与的关系满足形如，其中，且，为常数，则说明杆秤上的刻度均匀．用式子表示与的关系，并判断自制的杆秤上的刻度是否均匀？若杆秤上最大刻度距离提纽处点为，求这根杆秤能称量的最大重量是多少？ 25. 数学课上，同学们用和两条平行线展开探究，如图，，且满足． （1）若， ①如图1，点B落在a、b之间（不含在a，b上），，则_______； ②如图2，点B落在a上，作的平分线并反向延长交的平分线于点H，求的度数； （2）如图3，点A、C落在b上，点B落在a、b之间，作直线、，分别交a于点D、E，P是边上的一点，连结，恰好平分，Q是射线上的一点，连结，若，设，，，试求出、、之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季七年级期末质量检测 数 学 试 题 （满分150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列方程中，是二元一次方程的是( ) A. x﹣y2＝1 B. 2x﹣y＝1 C. D. xy﹣1＝0 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．据此逐一判断即可得． 【详解】解：A．x-y2=1不是二元一次方程； B．2x-y=1是二元一次方程； C．+y＝1不是二元一次方程； D．xy-1=0不是二元一次方程； 故选B． 【点睛】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 2. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项数学符号是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意； B选项数学符号既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故不符合题意； C选项数学符号既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； D选项数学符号是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：C. 3. 一个不等式组的解集在数轴上的表示如图，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式解集在数轴上的表示可得答案， 本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【详解】解：由数轴知，该不等式组的解集为：， 故选：B． 4. 已知三角形的三边长分别为3，5，，则不可能是（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】已知两边时，第三边的范围是大于两边的差，小于两边的和．这样就可以确定x的范围，也就可以求出x的不可能取得的值． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 5. 在解方程组的过程中，将②代入①可得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将方程②中的表达式代入方程①，去括号即可得到结果． 【详解】解：将②代入①可得， ∴． 6. 下列式子变形正确的是（　　） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了不等式的性质．根据不等式的性质，等式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．由，得，故选项A错误； B．由，得，故选项B错误； C．由，得，故选项C正确； D．由，得，故选项D错误． 故选：C． 7. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人五竿多三竿，每人七竿少五竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知道有多少人和竹竿．每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿．设牧童有x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系成为解题的关键． 设牧童有x人，根据“每人5竿，多3竿；每人7竿，少5竿”列出方程即可． 【详解】解：设牧童有x人， 由题意可得：． 故选A． 8. 如图，将绕着点A逆时针旋转，得到，若，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，由旋转性质得，，，，，再根据平行线的性质和三角形的内角和定理求得，，进而可得答案． 【详解】解：如图， ∵将绕着点A逆时针旋转，得到，， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 综上，选项A、B、D正确，不符合题意，选项C错误，符合题意， 故选：C 9. 静止在斜坡上的小正方体木块的受力情况如图所示，其中摩擦力的方向，支持力的方向，重力的方向．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查角度的计算，三角形内角和定理，理解题意，结合图形求解是解题关键． 根据题意得出，，重力的方向，，确定，即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵，，重力G的方向，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10. 在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有 1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是（ ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 50 62 55 67 44 A. E卡片 B. B卡片 C. C卡片 D. D卡片 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的等量关系结合等式的性质先算出，再分别计算出每张卡片的大小，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， 卡片A：， 卡片B：， 卡片C：， 卡片D：， 卡片E：， ， 这五张卡片上数字最大的是B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 根据题意写出不等式：m的2倍与n的和不大于3：____． 【答案】 【解析】 【分析】先将题目中的文字描述转化为代数式，再根据“不大于”的含义确定不等关系，即可写出对应不等式． 【详解】解：根据题意，的倍可表示为． 的倍与的和可表示为． “不大于”的含义是小于或等于． 因此可得不等式 ． 12. 如图，已知，若，，则的值为_____． 【答案】 4 【解析】 【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等，即，进而利用线段的和差关系得出的长 ． 【详解】解：， ，  ． 13. 如图，在中，，将沿射线平移后得到，若，则的长度为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质． 根据平移的性质得到，，进而计算即可． 【详解】解：∵在中，，将沿射线平移后得到， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 已知是关于x、y的方程的解，则代数式的值是________． 【答案】19 【解析】 【分析】将方程的解代入原方程，得到的值，再对所求代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：是方程的解， 代入方程得，整理得， ． 15. 某广场的地面是由相同的正五边形与相同的四角星形（四个尖角的度数相同）铺成的无缝隙，不重叠的图形，如图是该广场地面的一部分，则图中四角星形的尖角的度数为________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），关键是求出正五边形的每个内角的度数． 先算出正五边形的每个内角的度数，让减去个内角的度数和的差除以即可． 【详解】正五边形内角和为， 正五边形每个内角是， ∴． 故答案为． 16. 好事成双，“双”在中国传统文化里有吉利、繁荣和团聚的意义，被认为是幸福和好运 的象征规定：一个各个数位上的数字均不为的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的倍，则称这个四位数为“成双数” 对于“成双数”，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．若“成双数”千位上的数字与个位上的数字之和为能被整除，则满足条件的“成双数”中的最小数为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“成双数”的定义设出四位数各数位的数字，表示出，再结合整除条件分类讨论，即可求出满足条件的最小数． 【详解】解：设“成双数”的千位数字为，百位数字为，所有数位数字均不为0， ∵“成双数”千位数字与个位数字之和为8， ∴个位数字为，可得，为整数， ∵千位数字与个位数字之和是百位数字与十位数字之和的2倍， ∴百位数字与十位数字之和为， ∴十位数字为，可得，为整数， 任意去掉一个数位得到四个三位数，求和得：  ， 整理得，则， 变形得， ∵能被7整除， ∴能被7整除， ∵，， ∴，可得或， 当时，，得，，此时； 当时，，得时，，不符合要求，舍去； 时，，此时；时，，此时； 比较得， 因此满足条件的最小“成双数”为． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】x=-1 【解析】 【分析】根据一元一次方程的解法即可求解． 【详解】 x=-1． 【点睛】此题主要考查一元一次方程的求解，解题的关键是熟知其解法． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】使用加减消元法求解二元一次方程组即可． 【详解】解：方程组， 可得，，解得， 将代入中，，解得， 因此原方程组的解为 ． 19. 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，用数轴表示如下： 【解析】 【分析】先分别解两个不等式，再根据大小小大中间找得到不等式组的解集，然后利用数轴表示解集． 【详解】解： 解①得，， 解②得，， 所以不等式组的解集为， 用数轴表示略． 20. 用无刻度的直尺作图：如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，画出； （2）将绕点顺时针旋转90度得到，画出； （3）第（2）问中的线段也可由第（1）问中的线段旋转得到，请作出其旋转中心． 【答案】（1） 如下图所示： （2） 如下图所示： （3） 旋转中心如下图所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了作平移图，旋转图等知识，掌握平移以及旋转的定义和性质画出图形即可， （1）根据平移的性质作图即可； （2）利用网格根据旋转的性质作图即可； （3）连接，，两线相交点即其旋转中心O． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图，在中，平分． （1）作出的边上的高（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求的度数； 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）利用尺规作垂线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义，三角形的内角和定理进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴. 22. 2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两类智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹． （1）求A、B两类机器人每小时分别分拣多少件包裹？ （2）该物流中心计划用不超过26万元购买两种智能分拣机器人共10台，且确保每小时的总分拣量不少于12000件，已知A类机器人每台3万元，B类机器人每台2万元，则该物流中心有几种投入方案？ 【答案】（1）A类机器人每小时分拣1500件包裹，B类机器人每小时分拣1000件包裹 （2）该物流中心有3种投入方案 【解析】 【分析】（1）设A类机器人每小时分拣x件包裹，B类机器人每小时分拣y件包裹，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买A类智能分拣机器人a台，则购买B类智能分拣机器人台，根据题意“总费用不超过26万元，每小时总分拣量不少于12000件”，建立一元一次不等式组，解不等式组得到a的取值范围，最后考虑到a为非负整数，确定一共有3种方案． 【小问1详解】 解：设A类机器人每小时分拣x件包裹，B类机器人每小时分拣y件包裹． 由题意得：， ∴解得： 答：A类机器人每小时分拣1500件包裹，B类机器人每小时分拣1000件包裹． 【小问2详解】 解：设购买A类智能分拣机器人a台，则购买B类智能分拣机器人台． 由题意得：， ∴解得：． ∵a为非负整数， ∴a可为4、5、6， ∴该物流中心有3种投入方案． 23. 折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．请根据题意，回答以下问题： （1）如图①，纸片沿折叠，点落在内部点处，若，求的度数； （2）如图②，纸片沿折叠，使点落在外部点处，请直接写出之间的数量关系_______________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，进一步求出度数，则可求出度数； （2）可先求出表达式，再求出表达式，两式进行相减，再进一步转化成含的式子即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由题意得，， ， ， ， ， 故数量关系为． 24. 学习了一元一次方程后，老师在综合实践课上给同学们布置了“如何自己动手做一杆秤”的实践活动，阅读材料，完成任务． 实践活动 如何自己动手做一杆秤 素材一 如图1，用一根质地均匀的长的木杆和一些等重的小物体做下列实验，并记录每一次支点与木杆左右两边挂重物处的距离： （1）在木杆中间处拴绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点； （2）在木杆两端各悬挂一重物，看看左右是否保持平衡； （3）在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡； （4）在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡； （5）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作并记录如下： 木杆左边挂重物个数 支点到木杆左边挂重物的距离 木杆右端挂重物个数 支点到木杆右端挂重物的距离 状态 1 1 平衡 2 1 平衡 3 平衡 4 1 平衡 5 ① 1 平衡 素材二 同学们根据这个原理自制了一个杆秤，如图3所示，提钮处是支点，已知为，秤砣重量是，称盘重量是，秤砣到提钮处的距离为(即) 任务一 （1）根据素材一实验记录数据的规律，补全实验记录：①_________；如图2，支点在木杆中点处，在木杆右端挂一个重物，支点左边挂个重物，并使左右平衡．设木杆长为，支点到木杆左边挂重物处的距离为，把，l作为已知数，列出关于的一元一次方程__________________． 任务二 （2）根据素材二，若秤盘上不放重物，问当为何值时，杆秤刚好平衡． 任务三 （3）根据素材二，记放入的重物重量为．根据查阅的信息，若与的关系满足形如，其中，且，为常数，则说明杆秤上的刻度均匀．用式子表示与的关系，并判断自制的杆秤上的刻度是否均匀？若杆秤上最大刻度距离提纽处点为，求这根杆秤能称量的最大重量是多少？ 【答案】任务一：；； 任务二：； 任务三：，刻度均匀；最大称量重量是   【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，核心是根据实验记录数据发现平衡关系并列方程求解． （1）先观察素材一的实验数据，发现左边重物个数与支点到左边距离的乘积是一个定值，由此计算；再根据这个关系，结合木杆长度和重物个数，列出关于的一元一次方程； （2）当秤盘不放重物时，利用“”的平衡关系列方程求解； （3）根据杠杆平衡条件列出与的关系式，化简整理并判断刻度是否均匀；再将最大刻度对应的值代入关系式，求解最大称量的重量． 【详解】任务一： 解：观察素材一的实验数据，可以发现： ， 所以当木杆左边挂重物个数为5时，支点到木杆左边挂重物的距离为cm； 设每个重物重量为，木杆长为， ∵支点在木杆中点， ∴支点到右端挂重物处的距离为， 根据题意，，约去得． 故答案为：6，． 任务二： 解：当秤盘上不放重物时，根据题意，， ，解得； 即时，杆秤刚好平衡； 任务三： 解：放入重物重量为时，左边总重量为， 根据题意得：， 整理化简为； ∴与的关系是形如的关系式， ∴自制的杆秤刻度均匀； 当时，，解得， 即这根杆秤能称量的最大重量是． 25. 数学课上，同学们用和两条平行线展开探究，如图，，且满足． （1）若， ①如图1，点B落在a、b之间（不含在a，b上），，则_______； ②如图2，点B落在a上，作的平分线并反向延长交的平分线于点H，求的度数； （2）如图3，点A、C落在b上，点B落在a、b之间，作直线、，分别交a于点D、E，P是边上的一点，连结，恰好平分，Q是射线上的一点，连结，若，设，，，试求出、、之间的数量关系． 【答案】（1）①；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①过点作，根据平行线的性质得到，，再由，即可求解； ②过点作，设，则，，，根据平行线的性质得到，，即可求解； （2）分点在线段上和点在的延长线上两种情况，即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ②如图，过点作， 设， ∵平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，当点在线段上时，过点作，过点作， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在的延长线上时，过点作，过点作， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，、、之间的数量关系为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $