湖南长沙市周南中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 立足高一数学核心知识，通过集合、概率、立体几何等基础题与统计分析、解三角形结合柯西不等式等综合题，梯度检测数学抽象、逻辑推理与数据意识，融入《九章算术》文化素材。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、互斥事件概率、线面平行判定|基础概念直接应用，检测空间观念| |多选题|3/18|复数运算、逻辑否定、向量共线|多角度辨析，培养批判性思维| |填空题|3/15|对数函数单调性、独立事件概率、堑堵外接球|结合《九章算术》，渗透文化传承| |解答题|5/77|频率分布直方图、向量最值、三角函数零点、立体几何体积与夹角、解三角形与柯西不等式|跨知识点综合，如第19题融合解三角形与柯西不等式，发展创新意识|

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A B A D C D ABC AD 题号 11 答案BCD 1.A 【详解】MnN=(0,3]. 2.C 【详解】P(AUB)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8 3.A 【详解】由于油a+e-血a,所以s咖a=号 则cos2a=1-2sim2a=1-2× 25 4.B 【详解】因为E,F分别是棱PC,CD的中点， 所以EFIPD, 因为EFE平面PAD,PDc平面PAD,所以EFII平面PAD 5.A 【详解】因为底面积为4π，所以圆锥的底面半径为2，轴截面为等边三角形， 所以该圆锥的母线长为4，所以S=ml=π×2×4=8元， 6.D 【详解】利用f(x)是R上的偶函数可知，f(-2)=f(2),f(-3)=f(3), 由于2<3<π，又f(x)在区间[0，+∞)上单调递增， 则f(2)<f3)<f(),故f()>f(-3)>f(-2): 7.c 【详解】由图可得：-0，fo)=-(）,所以()的图像关于后0对称， 所以7（}员，所以1=，所以。-经-经-2 8.D 【详解】作出函数f(x)图像如图所示： 123456 -2 令t=f(x),则[f(x)+m时(x)+m+3=0可化为2+mt+m+3=0, 若f(x+mf(x)+m+3=0有6个根， 结合图像可知方程？+mt+m+3=0在(0,2)上有2个不相等的实根， 不妨设0<5<2<2，g)=2+mt+m+3, m2-4(m+3)>0 则0<<2 7 ，解得-了m<-2, g(0)=m+3>.0 g(2)=4+2m+m+3>0 故加的取值范围为（子2 9.ABC 【详解】对于A,因为z0+)=-1+31,所以2=-1+31_1+3刘0- 1+i)(1+1-) =1+2i,所以A 正确。 对于B,因为z=1+2i,所以z的共轭复数为1-2i,所以B正确， 对于C,{z√P+2=√5，所以C正确. 对于D,复平面内表示复数z的点为(1,2)，所以D错误， 10.AD 【详解】对于A,“xeQ,2=3”的否定是“xEQ,2≠3，故A正确； 对于B,x>3→x>2,但x>2不能推出x>3,“x>3"是“x>2”的充分不必要条件，故 B错误； 对于C,平均数为84，故C错误； 对于D,因为f(x)=(m-7x是幂函数，所以m2-7=1,得m=2,则1og2m=1, 故D正确。 11.BCD 【详解】对于A,当a仍时，m=6,故A错误： 对于B,由a=m2+m2+4m+4=2(m+1)2+2≥2，得2V2,所以有最小值V2,B 正确； 对于C,由邮+-6-，两边同时平方得a50,解得加=号，C正确， 对F0,当，要青器 D正确 2 【详解】由对数函数=log-x在区间(0，+o)上单调递增，得3a-1>1,解得a> 3 所以实数a的取值范围是a> 2 3 13.0.56 【详解】P(aB=P(a)P(⑧)=(-02)x1-0.3)=0.56. 14.100元 64 【详解】鳖膈ACBC外接球即为堑堵ABC-4B,C的外接球，可将堑堵ABC-4BG补 成长方体， 则外接球直径为4B=V6+82=10, .其表面积为5=100元. 64=AC2+BC>2ACBC,当且仅当AC=BC=4W2时取等号， 所以AC·BC≤32， “阳马4-BC℃8的体积为号8C-B盟4C=4C-BC~A4≤64， 15.(1)a=0.02,80(2)2 【详解】（1)由频率分布直方图得(0.0025+0.0125+a+0.01+0.005)×20=1, 解得a=0.02,因这0.05+0.25=0.3，所以x=80..6分 (2)由题意得，需分别从成绩在[100,120)和[120,140]的学生中抽取2人、1人， 分别记为aa2b,由题样本空间2={aa,ab,a,b},共3个样本点， 15.记事件A：所选的2名学生的成绩来自不同组，则A={ab,a,b}共2个样本点， P(A)=子，故所选的学生中成绩来自不同组的概率为2…13分 16042x-23 【详解】(1) AB=(2,0)AC=(2,2AB·AC=46分 (2)DF=AB=(21,0,AF=AD+DF=(21,2月 丽丽-(F-©=AF2-正正 4--a-9 因为s,所以当=时，示-所有最小值，且最小值为315分 17.(1）x=g+,ke2(2m>5或m<-1 82 【详解】1)令2x+异-登+akeZ,解得x日+经ke2, 82 所以f似的对称轴方程为x=及+，ke乙…5分 82 （2》由题知86创=i-}月-5m2x-引-as2x,10分 (3)方程f-m=0无解，即函数y=与)=m在x[引上无交点，（在 [引上的准装为w可则m>或5分 18.(1)以B为坐标原点，BC,BA,BB,所在的直线分别为x轴，y轴、z轴建立空 间直角坐标系， B 设AE=BF=m,0<m<2, 则4(0,2,2)，F(m0,0)，C(2,0,2),E(0,2-m,0), 所以4=(m,-2,-2)，C正=(-2,2-m,-2), 又4F.CE=-2m-4+2m+4=0,所以4F1CE7分 (2)结合(1)设AE=BF=m,0<m<2,则BE=2-m, 由%g汉e×明=x BEx朗2-四a旷+1， 3 3 所以当m=1时，三棱锥B-BEF的体积取得最大值， 所以结合(1)的空间直角坐标系有4(0,2,2)，E(01,0),F(1,0,0),B(0,0,2),C(2,0,2), 则E4=(0,12)，E乎=(1，-1,0)，BC=(2,0,0),BE=(0,1,-2), 设平面AEF的法向量为m=(x,y,z),则 mEA=y+22=0 m丽=x-y=0 令x=2,则y=2,z=-1,即m=(2,2,-1), 设平面GB的法向量为=(a6,小，则日亚=b-2c=0' i.BG=2a=0 令b=2,则a=0,.c=1,即可得元=(0,2,1)， 记平面4EF与平面B,CE的夹角6， 则有os6=m列。 10+4-1=3-5 例-同V4+4+14+135=5, 所以平面4BF与平面8CE的夹角的余弦值为 17分 5 19(04:ag:⑧5 【详解】.(1)在aABC中，由bsinA+atan4cosB=2 asinC,得 bsin Acos A+asinAcosB=2asin Ccos A, 由正弦定理得sin Bsin Acos A+sin Asin4cosB=2 sin AsinCcosA,而sinA>0, 2sin Ccos A=sin Bcos A+sin AcosB=sin(A+B)=sinC,sinC>0, 因此0s4=克，而0<A<元，所以4=骨…5分 (2)由(1)及余弦定理3=a2=b2+c2-2 bccos4=b2+c2-bc≥2bc.-bc=bc,当且仅当 b=c时取等号， 由M为BC边中点，得成=面+C,、 所孤分m而-分，+c-62c号 所以当且仅当=c=5时，M取得最大值号 10分 (3)T=4B+9BC+lAC.&+9p+bc290 b2 IPDI PEI PFI PDI IPE PFICIPDIa PEbPF' cPD1.eaPPF,Soru+Sancn-Su 则cPD+aPE引+b1PF卡2Sc,由三维分式型柯西不等式有 长沙市周南中学2026年上学期高一年级数学科期末考试试题 时量：120分量：150 命题人、审题人：谭周涛、代志强 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合M={x|-1<x≤4},N={x|0<x≤3},则M∩N= ( ) A. (0,3] B. (0,4] C.(-1,3] D.[-1,4] 2.已知P(A)=0.5,P(B)=0.3,且A,B互斥,则P(A∪B)= ( ) A. 0.5 B. 0.3 C. 0.8 D. 0 3.若 则cos2α= ( ) 4.在三棱锥P—ACD中,E,F分别是棱PC,CD的中点,则EF与平面PAD的位置关系为( ) A.异面 B.平行 C.相交 D.无法判断 5.已知某圆锥的底面积为4π，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为 ( ) A. 8π B. 4π C. 12π D. 16π 6.已知f(x)是R上的偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( ) A. f(π)<f(-3)<f(-2) B. f(π)>f(-2)>f(-3) C. f(π)<f(-2)<f(-3) D. f(π)>f(-3)>f(-2) 7.若f(x)= Asin(ωx+)(A>0,ω>0,0< <)的部分图象如图所示，则ω的值是 ( ) A. 1 B.4 C.2 D.3 8.已知函数若关于x的方程 有6个根，则m的取值范围为（ ） 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数z(1+i)=-1+3i,则下列叙述正确的是( ) A. z的实部为1 B. z的共轭复数为1-2i D.复平面内表示复数z的点在第二象限 10.下列结论正确的是( ) A.“∃x∈Q,2x=3”的否定是“∀x∈Q, 2x≠3” B.“x>3”是“x>2”的必要不充分条件 C.小张5次数学周测成绩为80,84,84,86,86,则这组数据的平均数为86 D.若 是幂函数,则log₂m=1 11.已知平面向量 则下列结论正确的是( ) A.若与共线，则实数m=7 B.| |一定有最小值 C.一定存在一个实数m，使得 D.若m=1，则在上的投影向量的坐标为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若对数函数 在区间(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 . 13.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则甲、乙两地都不降雨的概率为 14.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在堑堵. 中,AC⊥BC, 则鳖臑A₁CBC₁外接球的表面积为 ,阳马体积的最大值为 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.某校高一年级教师为了精准掌握学生的数学学习情况，进行了数学质量监测，最高分为140分，最低分为40分.现从中随机抽取了40名学生的成绩，并以[40,60),[60,80),[80,100),[100,120),[120,140]为分组,制成了如下的频率分布直方图. (1)求图中a的值，并估计这40名学生成绩的30%分位数x； (2)现采用分层抽样的方式从成绩不低于100分的同学中抽取3人，再从这3人中选择2人分享学习经验，求所选的2名学生的成绩来自不同组的概率. 16.如图，在边长为2的正方形ABCD中. (1) 求 (2) 若F为边DC上一动点，且 问当λ为何值时，可使 最小，并求出 的最小值. 17.已知函数 (1)求函数f(x)的对称轴方程； (2)将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度后得到g(x)的图象，求函数g(x)的解析式； (3)若函数h(x)=f(x)-m在区间 上没有零点，求m的取值范围. 18.如图，在直三棱柱 中,已知∠ABC≠90°,AB=BC=BB₁=2, E,F分别是线段AB，BC上的动点(不含端点)，AE=BF. (1)求证: (2)当三棱锥 的体积取得最大值时，求平面A₁EF与平面 的夹角的余弦值. 19.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsinA+atanAcosB=2asinC. (1)求A; (2)若M为BC边的中点, 求AM的最大值； (3)奥古斯丁·路易斯·柯西(AugustinLouisCauchy, 1789年—1857年)是法国著名数学家.柯西在数学领域的造诣极高，诸多数学定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式，其中柯西不等式在求解不等式证明的相关问题中广泛应用.现保持(1)的条件不变，若a=3，P是△ABC内一点，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，借助三维柯西不等式： 其中 当且仅当 时，等号成立.当 取得最小值时，求△ABC的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $