第10讲：直线与圆的位置关系讲义-2025年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019）

第10讲：直线与圆的位置关系 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ d<r d＝r d>r 代数法： 由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 【例题详解】 题型一、判断直线与圆的位置关系 1．（24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 2．（2024高三·全国·专题练习）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 3．（2025·北京海淀·三模）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 题型二、由直线与圆的位置关系求参数 4．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知直线与圆和圆都相切，则k的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）（多选）能使圆：恰有四个点到直线：距离等于1，则的值可能为（   ） A．0 B．1 C． D． 6．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线与圆在第一象限有交点，则的范围是 ． 题型三、圆的弦长问题 7．（24-25高二下·广西桂林·期末）直线与圆交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·云南昭通·期末）已知点在圆 上，则直线被截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·河南周口·期末）（多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 题型四、已知圆的弦长求参数或方程 10．（2025·山西·一模）若直线被圆所截得的弦的长度为，则（   ） A． B． C．或 D．或 11．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知直线与圆相交于、两点，则当取最小值时，（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·四川凉山·期末）平面内一动点到点与的距离之比为． (1)求动点的轨迹方程； (2)斜率为1的直线与曲线交于、两点，且，求直线的方程． 题型五、直线与圆的应用 13．（24-25高二上·安徽合肥·期中）台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（   ） A．1小时 B．小时 C．小时 D．2小时 14．（2024高二上·全国·专题练习）如图，圆弧形拱桥的跨度米，拱高|米，则拱桥的直径为（　　） A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米 15．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）在气象台A正西方向200km处有一台风中心，它正向东北（北偏东）方向移动，移动速度的大小为，距台风中心150km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地大约多长时间后受到影响？（用根式表示）持续时间有多长？ 题型六、圆的切线方程 16．（2025·河北邯郸·一模）（多选）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高二下·上海·阶段练习）过点作圆的切线，则直线的方程为 . 18．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆． (1)求的取值范围； (2)若，过作圆的切线，求切线的方程． 题型七、直线与圆的位置求距离的最值问题 19．（24-25高二上·陕西汉中·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的最短弦长为（    ） A． B．2 C． D．4 21．（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； 题型八、直线与圆的位置定点定值问题综合应用 22．（22-23高二下·安徽合肥·开学考试）已知圆过点，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)若，点在圆上运动，证明：为定值． 23．（24-25高二下·上海·期末）已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 24．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知圆，过作直线圆交于点． (1)求证：是定值； (2)若点．求的值． 【专项训练】 一、单选题 1．（2025·湖北恩施·模拟预测）直线，圆，则圆上的点到直线的距离等于的点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）直线的图象如图所示，则圆与直线的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 3．（2025·福建·模拟预测）已知直线与圆相交于，两点，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（2025·北京海淀·三模）已知直线与圆有公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·云南曲靖·期中）已知曲线：和直线：有且仅有一个公共点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．不存在 6．（24-25高二上·河南开封·期中）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 8．（24-25高二上·山东菏泽·期中）直线l：与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 9．（2025·江西·一模）已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高三下·甘肃白银·开学考试）已知圆，直线，则（    ） A．直线过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为 D．直线与圆相交于、两点，不可能为 11．（24-25高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知直线与圆，则（   ） A．直线过定点 B．圆的半径为4 C．直线与圆一定相交 D．圆心到直线的距离的最大值是1 12．（2023·全国·模拟预测）已知圆，直线l：，则（    ） A．存在，使得l与圆C相切 B．对任意，l与圆C相交 C．存在，使得圆C截l所得弦长为1 D．对任意，存在一条直线被圆C截，所得弦长为定值 三、填空题 13．（24-25高二下·上海杨浦·期末）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 14．（24-25高三下·重庆·阶段练习）圆心在射线 上，与轴相切，且被轴所截得的弦长为的圆的方程为 . 15．（24-25高二上·安徽淮南·期中）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 . 16．（24-25高二·上海·随堂练习）小明家附近有一座圆拱桥，当水面跨度是40米时，拱顶离水面5米．当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为 米． 17．（2022·山西晋中·模拟预测）点在圆：上，，，则最大时， . 18．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知直线：，圆：，若直线与圆交于两点，则的取值范围为 . 四、解答题 19．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知圆，直线：. (1)当为何值时，直线与圆相切； (2)当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程. 20．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆，点，且直线l经过点P. (1)若l与C相切，求l的方程； (2)若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长. 21．（24-25高二上·福建三明·期中）已知圆. (1)若直线方程为与圆C相交于A、B两点，求. (2)在（1）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值. 22．（24-25高二上·山东临沂·期中）已知圆经过点和，并且圆心在直线上， (1)求圆的标准方程； (2)直线交圆于两点，若直线的斜率之和为0. 求证：直线的斜率是定值，并求出该定值. 23．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，已知的方程为，点，过点A作的切线AP，P为切点. (1)求AP的长； (2)在x轴上是否存在点B（异于A点），满足对上任一点C，都有为定值？若存在，求B点的坐标；若不存在，请说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲：直线与圆的位置关系 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d＝ d<r d＝r d>r 代数法： 由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 【例题详解】 题型一、判断直线与圆的位置关系 1．（24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【答案】A 【分析】根据圆心到直线的距离与半径比较即可求解. 【详解】的圆心和半径分别为， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交但不经过圆心， 故选：A 2．（2024高三·全国·专题练习）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】B 【分析】根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式计算即可判断. 【详解】圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切. 故选：B 3．（2025·北京海淀·三模）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【分析】根据直线方程确定定点，再判断点圆位置关系，即可得直线与圆的位置，进而确定公共点个数. 【详解】由直线恒过定点，而， 所以点在圆内，故直线恒与圆相交，故有两个交点， 故选：C 题型二、由直线与圆的位置关系求参数 4．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知直线与圆和圆都相切，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式列式求解. 【详解】圆的圆心，半径；圆的圆心，半径， 由直线与圆、圆都相切，则，解得. 故选：C 5．（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）（多选）能使圆：恰有四个点到直线：距离等于1，则的值可能为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【分析】首先根据圆的方程求出圆心坐标和半径大小，然后根据条件判断圆心到直线的距离条件，列出不等式，求出的取值范围，得出答案选项. 【详解】因为圆的方程为：， 所以圆心，半径. 若圆上恰有4个点到直线的距离为1，则 圆心到直线的距离等于. 即，解得. 显然0和1在该区间内. 故选：AB. 6．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线与圆在第一象限有交点，则的范围是 ． 【答案】 【分析】由直线方程可得其所过定点，由圆的方程可得其与坐标轴正半轴的交点，由题意可直观想象直线的位置，进而可得斜率的范围，可得答案. 【详解】由直线，整理可得，则直线过定点， 由圆，则圆与坐标轴正半轴的交点分别为与， 由题意可得直线在点与连线与点与连线之间， 由直线斜率为，则或，解得或. 故答案为：. 题型三、圆的弦长问题 7．（24-25高二下·广西桂林·期末）直线与圆交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的相关知识即可求得弦长 【详解】由已知圆，圆心为，半径 所以圆心到直线的距离 所以 故选： 8．（24-25高二上·云南昭通·期末）已知点在圆 上，则直线被截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点在圆上列方程求，由此确定圆心的坐标及半径，求圆心到直线的距离，结合弦长公式求结论. 【详解】因为点在圆 上， 所以， 所以， 所以圆的方程为，即， 所以圆心的坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以直线被截得的弦长为. 故选：A. 9．（24-25高二下·河南周口·期末）（多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（   ） A．当时，被圆截得的弦长为 B．恒过点 C．当被圆截得的弦长最大时，的斜率为 D．被圆截得的弦长的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用勾股定理可判断A选项；求出直线所过定点的坐标，可判断B选项；分析可知直线过圆心时，可得出直线的斜率，可判断C选项；分析可知，当时，被圆截得的弦长的最小值，求出弦长的最小值，结合勾股定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，圆的圆心为，半径为， 当时，直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 此时，被圆截得的弦长为，A错； 对于B选项，将直线的方程可化为， 由，解得，因此，恒过点，B对； 对于C选项，当被圆截得的弦长最大时，直线过圆心， 则，解得， 此时，直线的方程为，即，即直线的斜率为，C对； 对于D选项，记点，则， 当时，且直线的斜率为，此时，即当时， 圆心到直线距离取最大值，被圆截得的弦长取最小值，且 因为，弦长的最小值为，D对. 故选：BCD. 题型四、已知圆的弦长求参数或方程 10．（2025·山西·一模）若直线被圆所截得的弦的长度为，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据条件计算圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式可得结果. 【详解】由题意得，圆的圆心坐标为，半径. ∵弦长， ∴圆心到直线的距离，即点到直线的距离为2， ∴，解得或. 故选：C. 11．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知直线与圆相交于、两点，则当取最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简直线的方程，求出直线所过定点的坐标，分析可知，当时，取最小值，结合斜率关系可求得实数的值. 【详解】将直线的方程化为，由可得， 所以，直线过定点，且，故点在圆内， 圆心为，当时，圆心到直线的距离取最大值，此时取最小值， ，所以. 故选：A. 12．（24-25高二上·四川凉山·期末）平面内一动点到点与的距离之比为． (1)求动点的轨迹方程； (2)斜率为1的直线与曲线交于、两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设动点，根据结合两点间距离公式运算求解； （2）设直线，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，列式求解即可. 【详解】（1）设动点， 因为，则， 整理可得， 所以动点的轨迹方程为. （2）由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 则，解得， 所以直线的方程为. 题型五、直线与圆的应用 13．（24-25高二上·安徽合肥·期中）台风中心从地以每小时的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（   ） A．1小时 B．小时 C．小时 D．2小时 【答案】B 【分析】建立直角坐标系，数形结合求直线与圆相交的弦长，进而可得城市处于危险区内的时长. 【详解】 如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则， 以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 当台风进入圆内，则城市处于危险区， 又台风的运动轨迹为， 设直线与圆的交点为，， 圆心到直线的距离， 则， 所以时间， 故选：B. 14．（2024高二上·全国·专题练习）如图，圆弧形拱桥的跨度米，拱高|米，则拱桥的直径为（　　） A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米 【答案】B 【分析】利用勾股定理求得圆的半径，进而求得圆的直径. 【详解】设圆心为，半径为，连接，如下图所示， ，则由勾股定理得， 即，解得，所以拱桥的直径为13米. 故选：B. 15．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）在气象台A正西方向200km处有一台风中心，它正向东北（北偏东）方向移动，移动速度的大小为，距台风中心150km以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地大约多长时间后受到影响？（用根式表示）持续时间有多长？ 【答案】；4 【分析】根据题意建立数学模型，即台风中心到达点时开始受影响，计算出直线与圆相交的弦长，利用对称性得到，再计算开始影响时间即可. 【详解】以气象台A为原点建立直角坐标系， 则台风中心移动的轨迹在直线上， 距离气象台150km的轨迹为， 则台风中心经过图中弦时，气象台会受到影响， 又原点到直线的距离，所以弦， 即， 设经过时间后开始影响，持续时间为 则，， 所以气象台所在地大约小时后受到影响，持续时间为4小时. 题型六、圆的切线方程 16．（2025·河北邯郸·一模）（多选）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出圆的圆心和半径，再按直线的斜率是否存在分类，结合圆的切线性质求解. 【详解】圆的圆心，半径， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，点到直线的距离为1，不符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由直线与圆相切得：，解得或， 所以直线的方程为：或. 故选：AC 17．（24-25高二下·上海·阶段练习）过点作圆的切线，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】分类讨论，切线斜率是否存在，再利用解方程. 【详解】当直线斜率存在时，设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，得， 切线方程为； 当直线斜率不存在时，直线方程为，则圆心到切线的距离，故直线不是切线. 故直线的方程为. 故答案为：. 18．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆． (1)求的取值范围； (2)若，过作圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）根据二元二次方程表示圆可得答案； （2）当斜率不存在时，可直接求得直线方程；当斜率存在时，由点斜式设出直线方程，结合点到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】（1）因为方程表示圆， 所以，解得， 所以的取值范围为； （2）若，则圆， 即，则圆心为，半径为， 当斜率不存在时，直线方程为， 因为圆心到直线方的距离为，所以直线与圆相切； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离为， 解得，所以切线方程为， 即. 综上所述，切线的方程为，或． 题型七、直线与圆的位置求距离的最值问题 19．（24-25高二上·陕西汉中·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】首先求出点的轨迹方程，然后判断直线恒过定点，再将距离的最大值转化为两点间的距离. 【详解】设，又，得， 即点的轨迹为以圆心，以1为半径的圆， 又过定点，又，所以P在圆外， 所以点到直线的距离的最大值为， 故选：C 20．（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的最短弦长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】先求得直线过定点，再根据当定点与圆心连线垂直于直线l时，被圆截得的弦长最短，结合勾股定理即可求解. 【详解】由题意，直线l：过定点， 圆心，半径， 因为， 所以点P在圆内， 当直线CP与弦垂直时，弦长最短， 且， 所以最短弦长为 故选：C 21．（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值是，最小值为 (2)最小值，最大值． 【分析】（1）先把圆方程化为标准式，得到圆心和半径．设，它代表圆上点与原点连线斜率．利用圆心到直线距离小于等于半径，列出不等式求解，得出的范围，即的最值． （2）方法一：将圆方程用参数表示，令，，得到关于的式子，根据三角函数取值范围求最值． 方法二：设，与圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程．因为直线与圆有公共点，所以方程有解，通过判别式得出的范围，即的最值． 【详解】（1）    圆即为， 可得圆心为，半径为， 设，即， 则圆心到直线的距离，即， 平方得，解得：， 故的最大值是，最小值为， （2）方法1：圆即为， 令， 则， ∵，∴， ∴的最大值为，最小值为． 方法2：设，则， 化简整理得到， ，解得， 故的最小值，最大值． 题型八、直线与圆的位置定点定值问题综合应用 22．（22-23高二下·安徽合肥·开学考试）已知圆过点，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)若，点在圆上运动，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明过程见详解 【分析】（1）设圆心，半径为，根据题意列出方程，求出圆心和半径，进而求出圆的方程； （2）先将圆的标准方程化为一般方程，设点，再根据题意分别求出，，进而即可证明结论． 【详解】（1）设圆心，半径为， 因为点，，所以直线的中垂线方程是， 过点且与直线垂直的直线方程是， 由，解得， 圆心，， 圆的标准方程是． （2）证明：由（1）知圆的标准方程为， 则其一般方程为，即， 设点，且点在圆上运动， 则， ， 于是， 为定值． 23．（24-25高二下·上海·期末）已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3)弦长为；直线方程为 【分析】（1）由两直线垂直求出斜率，再由点斜式求出直线方程可得； （2）将直线方程整理为关于的方程，再解方程组可得顶点；由定点在圆内可证明； （3）弦长最短时利用斜率关系求出斜率，点斜式得到直线方程，再由几何法求弦长可得. 【详解】（1）由题意可得圆心， 由点在圆上，所以设切线斜率为， 则， 所以直线方程为，即. （2）变形为， 令，解得， 所以直线l恒经过点， 因为，所以点在圆内部， 所以直线l与圆C恒相交. （3）当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点所在的直线垂直， 设弦的斜率为，则， 弦方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 24．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）已知圆，过作直线圆交于点． (1)求证：是定值； (2)若点．求的值． 【答案】(1)为定值，证明见解析 (2)-1 【分析】（1）易知当直线的斜率不存在时；当直线的斜率存在时，设直线方程和，联立圆方程，利用韦达定理表示，结合平面向量的坐标表示化简计算即可求解； （2）根据两点表示可得，由（1）知，计算化简即可求解. 【详解】（1）若直线的斜率不存在，则， 则，所以； 若直线的斜率存在，设， ，消去，得， ，又， 所以. 综上，为定值. （2）易知直线的斜率存在，由（1）知， 所以，得， 由，得， 所以. 【专项训练】 一、单选题 1．（2025·湖北恩施·模拟预测）直线，圆，则圆上的点到直线的距离等于的点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据圆心到直线的距离和半径之间的长度关系，可确定所求点的个数. 【详解】因为直线，圆， 所以，， 由于圆的半径为2，所以恰好有3个对应的点到直线的距离等于. 故选：D. 2．（24-25高二下·重庆·阶段练习）直线的图象如图所示，则圆与直线的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由圆心到直线的距离小于半径可得. 【详解】由题意可得圆心坐标，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交. 故选：C 3．（2025·福建·模拟预测）已知直线与圆相交于，两点，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】由点到直线的距离公式、圆的弦长公式列方程即可求解. 【详解】设圆心到直线的距离为， 则由点到直线的距离公式可得， 因为，圆的半径为，所以，解得. 故选：D. 4．（2025·北京海淀·三模）已知直线与圆有公共点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，列出不等式，求解即可. 【详解】由题可知，直线与圆有交点，故圆心到直线的距离，小于等于半径， 即，故，也即，解得，则的最小值为. 故选：C. 5．（24-25高二下·云南曲靖·期中）已知曲线：和直线：有且仅有一个公共点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】由题意知直线过定点，即可判断与圆的位置关系，最后由圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】易知，直线过定点，曲线表示圆心为，半径为2的圆， 定点在圆外.由与有且仅有一个公共点时，与圆相切， 此时圆心到直线的距离，解得， 故选：A. 6．（24-25高二上·河南开封·期中）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点M，再根据直线与垂直时，弦最小，结合圆的弦长公式即可得解. 【详解】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，即，恒过定点， 又由圆的方程为，则点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为； 故选：A 7．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，求出直线过的定点，证明定点在圆内，根据当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大即可求解. 【详解】原圆方程配方得， 所以圆心为，半径， 因为直线， 所以直线过定点，因为定点和圆心的距离， 所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大为， 所以弦长最短为. 故选：C. 8．（24-25高二上·山东菏泽·期中）直线l：与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】利用直线恒过定点，且定点在圆的内部，即可得到结论. 【详解】由整理得：， 可知圆圆心坐标为，半径为， 再由直线l：恒过点， 由圆心到点的距离为，可知， 所以点在圆的内部， 即直线l与圆一定有两个交点. 故选：C. 9．（2025·江西·一模）已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆的圆心为，半径为，利用勾股定理求出的值，利用圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】圆的标准方程为， 所以，圆心为，半径为， 由中垂线的性质可得，则， 所以，点在以点为圆心，半径为的圆上， 点到直线的距离为， 所以，. 故选：C. 二、多选题 10．（24-25高三下·甘肃白银·开学考试）已知圆，直线，则（    ） A．直线过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为 D．直线与圆相交于、两点，不可能为 【答案】AD 【分析】根据直线方程的性质判断直线所过定点，利用圆的方程求出圆被轴截得的弦长，根据直线与圆的位置关系求出弦长最短时直线方程，通过计算圆心到直线的距离判断是否可能为. 【详解】将直线的方程变形为. 令， 用第一个方程减去第二个方程可得：， 即，解得. 把代入，得，解得. 所以直线过定点，A选项正确. 在圆的方程中，令，则， 即，，， 解得，. 所以弦长为，B选项错误. 已知圆：，则圆心，半径. 由前面可知直线过定点，. 当直线与垂直时，圆被直线截得的弦长最短，此时直线的斜率. 又直线过点，根据点斜式方程可得直线的方程为，即，C选项错误. 若，则圆心到直线的距离. 点到直线的距离. 假设，两边平方可得， 即，， 此时，方程无解，所以不可能为，D选项正确. 故选：AD. 11．（24-25高三上·湖北黄冈·阶段练习）已知直线与圆，则（   ） A．直线过定点 B．圆的半径为4 C．直线与圆一定相交 D．圆心到直线的距离的最大值是1 【答案】ACD 【分析】将直线变形为，即可求解定点，判断A，将圆转化为标准式，即可求解B，根据定点在圆内，即可判断C，根据定点与圆心的距离即可求解D. 【详解】直线变形为，故，解得，故直线过定点，A正确， 圆为，故半径为2，B错误， 由于定点在圆内，故直线与圆一定相交，C正确， 到圆心的距离为1，故当定点与圆心的连线与直线垂直时，距离最大，故圆心到直线的距离的最大值是1，D正确， 故选：ACD 12．（2023·全国·模拟预测）已知圆，直线l：，则（    ） A．存在，使得l与圆C相切 B．对任意，l与圆C相交 C．存在，使得圆C截l所得弦长为1 D．对任意，存在一条直线被圆C截，所得弦长为定值 【答案】BD 【分析】先求出圆的圆心及半径，求出圆心到直线的距离即可判断AB；若截所得弦长为1，则，解关于的方程即可判断C；圆的方程可变形为，令，求出交点坐标，从而可判断D． 【详解】由题意得圆，所以圆心，半径， 对于A，B：易知圆心到直线的距离， 所以恒成立， 所以，即对任意，l与相交，故A错误，B正确； 对于C：若截所得弦长为1，则，即， 因为，所以关于的方程无实数解， 即不存在，使得圆截所得弦长为1，故C错误； 对于D：圆的方程可变形为， 令，解得，所以圆过定点和， 所以存在直线被圆截，所得弦长为定值，故D正确. 故选：BD． 三、填空题 13．（24-25高二下·上海杨浦·期末）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再利用圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则，然后解不等式即可. 【详解】圆心到直线的距离， 又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，即，解得. 故答案为：. 14．（24-25高三下·重庆·阶段练习）圆心在射线 上，与轴相切，且被轴所截得的弦长为的圆的方程为 . 【答案】 【分析】设圆心为，可知半径，根据垂径定理，利用直线截圆所得弦长可构造方程求得圆心和半径，由此可得圆的方程. 【详解】设圆心为，则圆的标准方程为， 所以圆的半径，又圆被轴所截得的弦长为，则， 解得， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 15．（24-25高二上·安徽淮南·期中）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】将直线按照斜率是否存在两种情况，分别利用垂径定理列方程求解即得所求. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时， 的方程为， 此时直线被圆截得弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 因圆心到直线距离， 由垂径定理，弦长， 解得，则直线的方程为. 故答案为：或. 16．（24-25高二·上海·随堂练习）小明家附近有一座圆拱桥，当水面跨度是40米时，拱顶离水面5米．当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为 米． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出圆的半径，然后再利用圆的弦长公式即可得解. 【详解】设圆的半径为，则，解得， ，， 所以当水面上涨4米后， 桥在水面的跨度为米． 故答案为：． 17．（2022·山西晋中·模拟预测）点在圆：上，，，则最大时， . 【答案】3 【分析】根据题意最大时，直线与圆相切从而可得出答案. 【详解】点在圆：上，即圆心为，已知，， 如图将绕点沿逆时针方向旋转，当刚好与圆相切时，最小. 当旋转到与圆相切于点时，最大. 所以最大时，直线与圆相切， 故答案为：3 18．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知直线：，圆：，若直线与圆交于两点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由直线过定点，可知圆心到直线的距离的范围，即可得弦长的取值范围. 【详解】 直线：过定点， 圆的标准方程为，所以圆心为，半径为， 因为，所以点在圆内， 所以直线与圆相交， 设圆心到直线的距离为，当与直线垂直的时候最大，所以， 则. 故答案为：. 四、解答题 19．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知圆，直线：. (1)当为何值时，直线与圆相切； (2)当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径即可求解； （2）由弦长公式即可求解； 【详解】（1）根据题意，圆， 则圆的标准方程为， 其圆心为，半径， 若直线与圆相切，则有 解得. （2）设圆心到直线的距离为， 则， 即，解得 则有， 解得或， 则直线的方程为或. 20．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知圆，点，且直线l经过点P. (1)若l与C相切，求l的方程； (2)若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）考虑直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，由圆心到直线距离等于半径得到方程，求出直线方程； （2）写出直线l的方程，求出圆心到直线l的距离，即可求出弦长. 【详解】（1）的圆心为，半径为5， 过的直线斜率不存在时，直线为，此时到直线的距离为，故与圆相交，不合题意， 过的直线斜率存在时，设为，即， 由题意得，解得，此时直线l的方程为，即， 综上，直线l的方程为； （2）l的倾斜角为，故斜率为，故直线l的方程为，即， 圆心到直线的距离， 故l被圆C截得的弦长为. 21．（24-25高二上·福建三明·期中）已知圆. (1)若直线方程为与圆C相交于A、B两点，求. (2)在（1）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由圆的弦长公式结合点到直线距离公式即可计算求解； （2）求出点Q到直线距离的最大值即可求解. 【详解】（1）由题意可得圆的标准方程为，所以圆心，半径， 又直线方程为， 则圆心C到直线的距离，直线AB与圆相交， 所以. （2）圆的圆心，半径， 则点到直线：的距离为， 所以点Q到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 22．（24-25高二上·山东临沂·期中）已知圆经过点和，并且圆心在直线上， (1)求圆的标准方程； (2)直线交圆于两点，若直线的斜率之和为0. 求证：直线的斜率是定值，并求出该定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析，定值为. 【分析】（1）根据给定条件，求出圆C的圆心坐标及半径即可作答. （2）设出直线AM，AN的方程，与圆C的方程联立，求出点M，N的坐标，再用斜率坐标公式计算作答. 【详解】（1）线段的中点，直线的斜率， 则线段中垂线方程为，即， 依题意，圆C的圆心在直线上，由，得点， 因此圆C的半径， 所以圆C的标准方程是：. （2）设直线方程为：，由消去y并整理得：， 则有点，而直线：，同理， 于是得直线的斜率， 所以直线的斜率是定值，该定值为. 23．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，已知的方程为，点，过点A作的切线AP，P为切点. (1)求AP的长； (2)在x轴上是否存在点B（异于A点），满足对上任一点C，都有为定值？若存在，求B点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)4； (2)存在点B，为定值. 【分析】（1）利用勾股定理求出切线长. （2）设出点、点坐标，根据题意列出等式化简，转化为恒成立问题求解即可. 【详解】（1）依题意，，且，而， 所以. （2）设，则， 假设存在这样的点，使得为常数，且，则， 即，将代入消去, 得对恒成立， ，而，解得， 所以存在点B ，使得对于上任一点，都有为定值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$