精品解析：陕西咸阳市彬州市公刘中学2025-2026学年八年级下学期期末学业水平测试数学试卷

2025-2026学年度第二学期期末学业水平测试 八年级数学试题（卷）（北师大版） 老师真诚地提醒你： 1．本试卷共6页，满分120分； 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意． 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断选项即可求解； 【详解】解：A、∵，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，∴，A选项不成立，不符合题意； B、∵，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，∴，B选项不成立，不符合题意； C、∵，∴，又∵，∴，可得，一定成立，符合题意； D、∵，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，∴，D选项不成立，不符合题意． 3. 下列各式中，由左向右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可； 【详解】解：A：，右边是多项式加法的形式，不是几个整式的积，不符合因式分解的定义，所以A不符合题意； B：，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，所以B符合题意； C：，是整式的乘法运算，是从积的形式化为多项式，不属于因式分解，所以C不符合题意； D：，右边中不是整式，不符合因式分解的要求，所以D不符合题意． 4. 如图，在中，，过点作于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质求得，再利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 5. 如图，将沿水平向右平移到的位置，若，则点之间的距离为（ ） A. 3 B. 5 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据平移的性质得，再利用，可计算出，从而得到的长． 【详解】解：如图，连接， 沿水平方向向右平移到的位置， ， ，， ， ． 6. 一副三角板按如图所示位置放置，已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 7. 若关于的分式方程有正整数解，且为正整数，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于a的表达式，再根据x为正整数解，a为正整数，结合分式方程分母不为0的条件，确定a的值． 【详解】解：原方程为 ， 变形得 ， ∵分式分母不为0， ∴， 方程两边同乘 得： ， 整理得 ， ∴， ∵x为正整数，a为正整数， ∴是2的正约数，且 ， 可得 ，解得 ， 此时 ，符合分式方程要求， 故a的值为1． 8. 如图，点分别在的边上，，过点作，垂足为，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可证得与，得到，，再计算出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了约分．先把要求的式子进行因式分解，再把分子与分母约去相同的部分，即可得出答案． 【详解】解：； 故答案为：． 10. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件______，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解． 【详解】解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一） 11. 某多边形内角和与外角和共，则这个多边形的边数是______________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．多边形的内角和，多边形的外角和等于．根据多边形的外角和是，即可求得多边形的内角和的度数，依据多边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：多边形的内角和是：， 设多边形的边数是， 则， 解得：． 故答案为： 12. 如图，点在的边上，连接，过点作，垂足为是的中点，连接，若，则的长为___________． 【答案】10 【解析】 【详解】解：∵，， ∴，即点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． 13. 已知关于的不等式组的解集是，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得． ∵该不等式组的解集为， ， 解得， ∴． 14. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转60°得到，连接，交于点，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由旋转可得为等边三角形，垂直平分，根据勾股定理可得，即可得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵绕点逆时针旋转得到， ， ∴为等边三角形，点在线段的垂直平分线上， ， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ， ， ． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 分解因式：． 【答案】 【解析】 【分析】先提取原式的公因式，再利用完全平方公式进行二次分解即可； 【详解】解：原式． 16. 解不等式，并将解集表示在数轴上． 【答案】；将其表示在数轴上如图所示： 【解析】 【分析】依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解，最后把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 图略． 17. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：去分母得， 去括号得， 解得． 经检验，是原分式方程的根． 18. 如图，在中，请用尺规作图法，在上求作一点，连接，使得最小．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图即为所求 【解析】 【分析】作与交于点，根据垂线段最短可得最小； 【详解】略 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 20. 如图，在中，点分别在的延长线上，且．连接，分别交于点．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中： ， ∴． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，，根据，得出，根据平行线的性质得出，即可证明． 【详解】略 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出先向右平移5格，再向下平移1格后的； （2）画出绕点逆时针旋转后的，并写出点的坐标； （3）若与关于原点对称，则点的坐标为___________． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求， （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移变化的性质作出对应的点，再顺次连接即可得出； （2）根据旋转变化的性质作出对应的点，再顺次连接即可得出，由图即可得出点的坐标； （3）根据中心对称的性质即可解答； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴． 22. 小辰对多项式进行因式分解，采用的方法如下：．根据以上方法，解答下列问题： （1）分解因式：___________； （2）已知是的三边长，且满足，试说明是等腰三角形． 【答案】（1） （2）∵， ∴， ∴， ∵是的三边长， ∴，即， ∴，即， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）利用分组分解法求解即可； （2）利用分组分解法得到，根据三角形关系得到，求得，据此即可得到是等腰三角形． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：略 23. 如图，将绕点顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在上，连接．已知，，． （1）求的长； （2）求的度数． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质得，，即可求解； （2）根据旋转的性质得，，根据等边对等角，三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 解：由旋转的性质得：，， ∴． 【小问2详解】 解：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴． 24. “6.18”购物节某超市做促销活动，现给出以下两种优惠方式，且同一用户每日限使用一种优惠方式． 方式一：满200元减30元； 方式二：九折（单笔消费满220元才可使用） 设李阿姨在活动期间到该超市购物金额为元，结合以上条件，李阿姨选择哪种优惠方式付款更省钱？ 【答案】 当时，选择方式一更省钱；当时，两种优惠方式花费相同；当时，选择方式二更省钱 【解析】 【分析】先分别用含的代数式表示出两种优惠方式的付款金额，再通过列方程和不等式比较两种方案的花费，分情况得到不同场景下更省钱的选择． 【详解】解：由题意得， 因为，所以方式一可享受满减，付款金额为元； 因为满足使用条件，所以方式二可享受九折优惠，付款金额为元； 当方式一比方式二省钱时，可得不等式，解得， 结合，得，此时选择方式一更省钱； 当两种优惠花费相等时，可得方程，解得，此时两种优惠方式花费相同； 当方式二比方式一省钱时，可得不等式，解得，此时选择方式二更省钱． 25. 古建筑模型制作技艺，俗称“扎小样”，是一种传统的手工技艺，它以木材为原料，采用榫卯结构搭建．某网店销售古建筑模型积木，已知滕王阁模型单价是黄鹤楼模型单价的，用240元购买黄鹤楼模型的数量比滕王阁模型少1个． （1）分别求出滕王阁模型与黄鹤楼模型的单价； （2）若学校社团决定用不超过2708元购买这两种模型共40个，则黄鹤楼模型最多购买多少个？ 【答案】（1）滕王阁模型单价为60元，黄鹤楼模型单价为80元； （2）黄鹤楼模型最多购买15个． 【解析】 【分析】（1）设黄鹤楼模型单价为元，滕王阁模型单价为元，根据题意列分式方程，据此求解即可； （2）设购进黄鹤楼模型个，则购进滕王阁模型个，根据题意列不等式，据此求解即可． 【小问1详解】 解：设黄鹤楼模型单价为元，滕王阁模型单价为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意． ∴． 答：滕王阁模型单价为60元，黄鹤楼模型单价为80元； 【小问2详解】 解：设购进黄鹤楼模型个，则购进滕王阁模型个， 根据题意，得， 解得． 又为正整数， 则最大值为15， 答：黄鹤楼模型最多购买15个． 26. 如图，在中，，，分别以，为边向左右两侧作等边三角形，等边三角形．过点作，垂足为，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1）解：∵是等边三角形，， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在和中： ​， ∴， ∴， 又∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据是等边三角形，，得出，，，在中，求出，则，证明，得出，根据是等边三角形，得出，，则，，证明，即可证明四边形是平行四边形． （2）在中，求出，，即可得出， ，再根据平行四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，，， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴周长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末学业水平测试 八年级数学试题（卷）（北师大版） 老师真诚地提醒你： 1．本试卷共6页，满分120分； 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，由左向右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，过点作于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将沿水平向右平移到的位置，若，则点之间的距离为（ ） A. 3 B. 5 C. 4 D. 6 6. 一副三角板按如图所示位置放置，已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的分式方程有正整数解，且为正整数，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，点分别在的边上，，过点作，垂足为，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 化简：______． 10. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，请补充一个条件______，使四边形是平行四边形． 11. 某多边形内角和与外角和共，则这个多边形的边数是______________． 12. 如图，点在的边上，连接，过点作，垂足为是的中点，连接，若，则的长为___________． 13. 已知关于的不等式组的解集是，则的值为___________． 14. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转60°得到，连接，交于点，则的长为___________． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 分解因式：． 16. 解不等式，并将解集表示在数轴上． 17. 解分式方程：． 18. 如图，在中，请用尺规作图法，在上求作一点，连接，使得最小．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 化简：． 20. 如图，在中，点分别在的延长线上，且．连接，分别交于点．求证：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出先向右平移5格，再向下平移1格后的； （2）画出绕点逆时针旋转后的，并写出点的坐标； （3）若与关于原点对称，则点的坐标为___________． 22. 小辰对多项式进行因式分解，采用的方法如下：．根据以上方法，解答下列问题： （1）分解因式：___________； （2）已知是的三边长，且满足，试说明是等腰三角形． 23. 如图，将绕点顺时针方向旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在上，连接．已知，，． （1）求的长； （2）求的度数． 24. “6.18”购物节某超市做促销活动，现给出以下两种优惠方式，且同一用户每日限使用一种优惠方式． 方式一：满200元减30元； 方式二：九折（单笔消费满220元才可使用） 设李阿姨在活动期间到该超市购物金额为元，结合以上条件，李阿姨选择哪种优惠方式付款更省钱？ 25. 古建筑模型制作技艺，俗称“扎小样”，是一种传统的手工技艺，它以木材为原料，采用榫卯结构搭建．某网店销售古建筑模型积木，已知滕王阁模型单价是黄鹤楼模型单价的，用240元购买黄鹤楼模型的数量比滕王阁模型少1个． （1）分别求出滕王阁模型与黄鹤楼模型的单价； （2）若学校社团决定用不超过2708元购买这两种模型共40个，则黄鹤楼模型最多购买多少个？ 26. 如图，在中，，，分别以，为边向左右两侧作等边三角形，等边三角形．过点作，垂足为，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求四边形的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $