精品解析：山东省菏泽市曹县2025-2026学年下学期素质教育质量检测 八年级数学

2026年7月素质教育质量检测 八年级数学 （试卷满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. （ ） A. 14 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：B 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰梯形 C. 平行四边形 D. 菱形 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意． 3. 如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（ ） A. 越来越慢 B. 越来越快 C. 保持不变 D. 快慢交替变化 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查变量的变化情况，根据容器的形状为上窄下宽，即可得出结果． 【详解】解：∵单位时间内注水量保持不变，容器的形状为上窄下宽， ∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快； 故选B． 4. 为全面落实新时代中小学科学教育工作要求，激发青少年科学探究热情，提升实验操作与创新思维能力，近日，某县举行了青少年科学实验能力大赛．某学校的7名同学在本次大赛中的成绩分别为（单位：分）95，88，94，95，96，92，95．则这组数据的第三四分位数、众数分别为（ ） A. 95，95 B. 92，95 C. 94，95 D. 95，92 【答案】A 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据规则计算第三四分位数，最后找出出现次数最多的数得到众数． 【详解】解：首先将原数据从小到大排序，得：， 方法一：数据个数，第三四分位数为分位数，计算位置：， ∵不是整数， ∴向上取整，第三四分位数为排序后的第个数据，即， 众数是数据中出现次数最多的数，这组数据中出现次，次数最多，因此众数为， ∴这组数据的第三四分位数、众数分别为． 方法二：整体数据的中位数为95， ∵上半组数据按照从小到大的排序为：95，95，96， ∴上半组数据的中位数为95，即这组数据的第三四分位数为95， 众数是数据中出现次数最多的数，这组数据中出现次，次数最多，因此众数为， ∴这组数据的第三四分位数、众数分别为． 5. 某书店在“六一”这一天举行购书优惠活动，所购图书的标价总额不超过60元的按原价计费，超过60元的部分打6折．则一次购书应支付金额（单位：元）关于标价总额（单位：元）（）的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据优惠规则分段计算应支付金额，不超过60元部分按原价收费，超过部分打6折，整理后得到函数表达式，对应选项即可． 【详解】解：由题意得，． 6. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简二次根式得到的最简形式，再用“夹逼法”估算无理数的大小，即可确定的范围． 【详解】解：， 且，即， ． 7. 如图，在矩形中，将线段绕点旋转，使点落在边上的点处，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质得，，，由旋转的性质得，再利用勾股定理分别求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将线段绕点旋转，使点落在边上的点处， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 甲同学根据公式计算出了下列结论，乙同学说有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A. B. C. 众数为3 D. 中位数为3 【答案】A 【解析】 【分析】由方差公式可知这组数据的平均数为3，先根据平均数求出的值，再依次验证众数，中位数，方差，得出错误结论． 【详解】解：由给出的方差公式可知，这组数据的平均数为，数据总个数， ∵ 平均数满足， ∴ ，故B结论正确； 将数据从小到大排序为， ∵ 出现次数最多， ∴ 众数为，故C结论正确； ∵ 个数据的中位数是排序后的第个数， ∴ 中位数为，故D结论正确； 计算方差得：，故A结论错误． 综上，故选A． 9. 如图，正方形的对角线、相交于点，是直角三角形，，，分别交，于点，．若四边形的面积是，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方形的性质和是直角三角形，可证得，将四边形的面积转化为的面积，得到的长，从而计算出对角线的长． 【详解】解：∵正方形的对角线、相交于点， ∴，，， ∵是直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴． 10. 如图，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，则下列结论中：①；②方程的解为；③点的坐标为；④当时，．正确的是（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①④ D. ①② 【答案】C 【解析】 【分析】由一次函数和正比例函数的图象经过的象限判断出的符号，即可判断①；由两函数图象的交点坐标可判断②和④；利用待定系数法求出一次函数的解析式，进而求出点坐标，即可判断③，综上即可求解． 【详解】解：①由一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴， ∵正比例函数的图象经过一、三象限， ∴， ∴，故①正确； ②∵一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴方程的解为，故②错误； ③把和代入， 得， 解得， ∴一次函数， 令，则， 解得， ∴点的坐标为，故③错误； ④由函数图象可知，当时，正比例函数的图象位于一次函数的图象上方， ∴当时，，故④正确； 综上，正确的结论是①④． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ，解得，即的取值范围是． 12. 5月的某一天，四个城市的最高气温按从低到高的顺序排列为：长春、哈尔滨、北京、西安，在将城市分为两组时，计算出了如下三种分组的组内离差平方和如下表所示，则按照最高气温分组时，组内离差平方和最小的分法为_________________________（填城市具体分组）． 分组 组内离差平方和 第一组：长春；第二组：哈尔滨、北京、西安 158 第一组：长春、哈尔滨；第二组：北京、西安 第一组：长春、哈尔滨、北京；第二组：西安 122 【答案】第一组：长春、哈尔滨；第二组：北京、西安 【解析】 【分析】只需比较表格中给出的三种分组的组内离差平方和的大小，选取最小值对应的分组即可． 【详解】解：∵， ∴组内离差平方和最小的分法为第一组：长春、哈尔滨；第二组：北京、西安． 13. 已知关于的一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的定义和一次函数图象与系数的关系，列出关于的不等式组，求解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：是关于的一次函数， ，即， 一次函数图象不经过第二象限， ， 解不等式，得 ， 解不等式，得， 不等式组的解集为， 即的取值范围是． 14. 如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，中位线定理，勾股定理，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用． 先利用中位线定理求出菱形的边的长，再利用菱形的性质求得，从而可得，再利用勾股定理求得的长． 【详解】解：∵O为的中点，M为的中点， ∴是的中位线，， ， 四边形是菱形， ， ， ∵， ∴， 由勾股定理可得， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，是原点，点在轴正半轴上，是等腰三角形，，点到轴的距离为4．将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，…如此循环下去，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可知与重合，与重合，过点作轴，根据勾股定理求得三角形的直角边，确定点的坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，……如此循环下去，在第一象限，在第二象限，在第三象限，在第四象限，依此类推， ∵，与第2次旋转得到的相同， ∴与重合，与重合， 如图所示， 过点作轴， 由旋转的性质可知，，， 在中，， ∴， ∴的坐标为， ∴的坐标为． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先进行乘法运算，再利用二次根式的性质化简后进行加法运算即可； 利用完全平方公式和平方差公式先展开，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 17. 在如图所示的平面直角坐标系中，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，的顶点都在格点上．将向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到，关于原点成中心对称的图形是． （1）请画出； （2）请画出． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据平移的性质画出图形即可； 根据中心对称图形的性质画出图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知：，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】由已知可得，，再利用平方差公式计算即可； 由已知可得，，再利用完全平方公式将原式变形为，进而代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴原式 ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴原式 ． 19. 如图，的对角线，相交于点，、均在上，且，．探究四边形的形状并证明． 【答案】四边形是矩形，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，，即得，进而得到四边形是平行四边形，再根据对角线相等即可求证． 【详解】略 20. 下面是八（1）班某小组10名同学“一分钟跳绳”的成绩（单位：分） 8，9，6，10，7，8，10，5，9，8． （1）求出这组数据的方差； （2）若将成绩分为两组（包含临界值）：低分组（5分-8分）和高分组（9分-10分），计算上述分组情况下的组内离差平方和． 【答案】（1）2.4 （2）9 【解析】 【分析】（1）首先计算该组数据的平均数，然后根据方差的定义求解即可； （2）首先根据题意将成绩分成两组，并分别计算平均数，然后结合题意求解即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 根据题意，成绩分为两组（包含临界值）：低分组（5分-8分）和高分组（9分-10分）， 则低分组为：8，6，7，8，5，8， 高分组为：9，10，10，9， ∴低分组的平均数为， 高分组的平均数为， ∴分组情况下的组内离差平方和为． 21. 为响应环保号召，增强学生环保意识，某学校对七、八年级学生进行了垃圾分类知识测评，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分． 【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩进行整理和分析（成绩得分都是整数）． 【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用表示成绩，分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． ①八年级学生成绩在D组的具体数据：91，92，93，94，94，94，94； ②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图如图； 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 七年级 八年级 平均数 92 92.6 中位数 92 众数 100 100 方差 57.4 49.2 根据以上信息，解答下列问题： （1）在频数分布直方图中，C组的频数是___________，补全频数分布直方图； （2）本次抽取八年级学生成绩的中位数___________； （3）若八年级有600名学生参加了此次测试，估计八年级参加测评的学生中，成绩不低于90分的有多少人？ （4）请根据以上分析对两个年级的测评成绩进行评价． 【答案】（1）13 ，补全的频数分布直方图，如图所示， （2）92.5 （3）324人 （4）从平均数、中位数来看，八年级学生的测试成绩的平均数、中位数均比七年级学生的测试成绩的平均数、中位数高，且八年级学生成绩的方差小于七年级学生测试成绩的方差，成绩较稳定，故八年级学生的测试成绩较好．(答案不唯一，合理即可) 【解析】 【分析】掌握中位数的计算方法，理解方差的意义以及样本估计总体的方法是解题的前提． （1）根据各组频数之和等于样本容量进行计算出结果并画图即可； （2）根据中位数的定义和计算方法进行计算即可； （3）求出样本中，八年级学生成绩不低于90分的学生所占的百分比来估计总体中所占的百分比，然后用600乘以所占百分比即可； （4）比较七、八年级学生成绩的平均数、中位数、方差的大小即可得出结论(答案不唯一)． 【小问1详解】 解：∵随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩进行整理和分析（成绩得分都是整数）， ∴本次抽取八年级学生的样本容量是50， ∴频数分布直方图中，C组的频数是：(人)，补全频数分布直方图见答案； 【小问2详解】 解：将抽取的50名八年级学生的测试成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数的平均数为(分)， ∴本次抽取八年级学生成绩的中位数是92.5分，即； 【小问3详解】 解：(人)， 答：估计八年级参加测评的学生中，成绩不低于90分的有324人； 【小问4详解】 略 22. 年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和广阔未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传递了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少万元，花费万元购进甲种机器人的数量是花费万元购进乙种机器人数量的倍． （1）甲种机器人和乙种机器人的单价分别是___________万元、___________万元； （2）该公司计划购进甲，乙两种机器人共台，若设甲种机器人的购买数量为台，购买两种机器人的总花费为万元，求关于的函数表达式； （3）在的条件下，若甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的倍，该公司购进甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 【答案】（1）， （2） （3）购进甲种机器人台时花费最少，最少费用为万元 【解析】 【分析】设购买一台乙种机器人需万元，则购买一台甲种机器人需万元，根据题意列出方程解答即可； 设甲种机器人的购买数量为台，则乙种机器人的购买数量为台，根据题意列出函数表达式即可； 根据题意列不等式求出的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设购买一台乙种机器人需万元，则购买一台甲种机器人需万元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， ∴甲种机器人和乙种机器人的单价分别是万元、万元； 【小问2详解】 解：设甲种机器人的购买数量为台，则乙种机器人的购买数量为台， 由题意得，， ∴关于的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由题意得，， 解得， ∵ ， 随的增大而减小 ∴当取最大值时，取最小值， 为正整数， ∴当时， ， 答：购进甲种机器人台时花费最少，最少费用为万元． 23. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】 （1）如图1，当为等边三角形时，小颖发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】 （2）小颖尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由；； 【拓展延伸】 （3）李老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2） 解：四边形为平行四边形，理由如下， ∵，， ∴， ∵绕点M逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角的性质可得，再由旋转的性质可得，从而可得，证明，即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，从而可得，由平行线的判定可得，证明，可得，利用等量代换可得，再由平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可得证； （3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，可得四边形是平行四边形，可证，得到，则，当点三点共线时，，此时的值最小，根据题意可得，由勾股定理可得，则，在中，由勾股定理可得，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴，， 如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，， ， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 当点三点共线时，，此时的值最小， 如图所示，过点作延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年7月素质教育质量检测 八年级数学 （试卷满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. （ ） A. 14 B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰梯形 C. 平行四边形 D. 菱形 3. 如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（ ） A. 越来越慢 B. 越来越快 C. 保持不变 D. 快慢交替变化 4. 为全面落实新时代中小学科学教育工作要求，激发青少年科学探究热情，提升实验操作与创新思维能力，近日，某县举行了青少年科学实验能力大赛．某学校的7名同学在本次大赛中的成绩分别为（单位：分）95，88，94，95，96，92，95．则这组数据的第三四分位数、众数分别为（ ） A. 95，95 B. 92，95 C. 94，95 D. 95，92 5. 某书店在“六一”这一天举行购书优惠活动，所购图书的标价总额不超过60元的按原价计费，超过60元的部分打6折．则一次购书应支付金额（单位：元）关于标价总额（单位：元）（）的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，将线段绕点旋转，使点落在边上的点处，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 甲同学根据公式计算出了下列结论，乙同学说有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A. B. C. 众数为3 D. 中位数为3 9. 如图，正方形的对角线、相交于点，是直角三角形，，，分别交，于点，．若四边形的面积是，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，则下列结论中：①；②方程的解为；③点的坐标为；④当时，．正确的是（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①④ D. ①② 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 12. 5月的某一天，四个城市的最高气温按从低到高的顺序排列为：长春、哈尔滨、北京、西安，在将城市分为两组时，计算出了如下三种分组的组内离差平方和如下表所示，则按照最高气温分组时，组内离差平方和最小的分法为_________________________（填城市具体分组）． 分组 组内离差平方和 第一组：长春；第二组：哈尔滨、北京、西安 158 第一组：长春、哈尔滨；第二组：北京、西安 第一组：长春、哈尔滨、北京；第二组：西安 122 13. 已知关于的一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是_________． 14. 如图，菱形中，O为的中点，M为的中点，，，则的长为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，是原点，点在轴正半轴上，是等腰三角形，，点到轴的距离为4．将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，…如此循环下去，则点的坐标为_________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2） 17. 在如图所示的平面直角坐标系中，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，的顶点都在格点上．将向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到，关于原点成中心对称的图形是． （1）请画出； （2）请画出． 18. 已知：，． （1）求的值； （2）求的值． 19. 如图，的对角线，相交于点，、均在上，且，．探究四边形的形状并证明． 20. 下面是八（1）班某小组10名同学“一分钟跳绳”的成绩（单位：分） 8，9，6，10，7，8，10，5，9，8． （1）求出这组数据的方差； （2）若将成绩分为两组（包含临界值）：低分组（5分-8分）和高分组（9分-10分），计算上述分组情况下的组内离差平方和． 21. 为响应环保号召，增强学生环保意识，某学校对七、八年级学生进行了垃圾分类知识测评，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分． 【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩进行整理和分析（成绩得分都是整数）． 【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用表示成绩，分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． ①八年级学生成绩在D组的具体数据：91，92，93，94，94，94，94； ②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图如图； 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 七年级 八年级 平均数 92 92.6 中位数 92 众数 100 100 方差 57.4 49.2 根据以上信息，解答下列问题： （1）在频数分布直方图中，C组的频数是___________，补全频数分布直方图； （2）本次抽取八年级学生成绩的中位数___________； （3）若八年级有600名学生参加了此次测试，估计八年级参加测评的学生中，成绩不低于90分的有多少人？ （4）请根据以上分析对两个年级的测评成绩进行评价． 22. 年春晚舞台上，人形机器人表演再次惊艳全球，展现了“中国智造”的无限活力和广阔未来，点燃了全世界对人形机器人赛道的憧憬，向全世界传递了中国科技自立自强的最强声音．某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知甲种机器人的单价比乙种机器人的单价少万元，花费万元购进甲种机器人的数量是花费万元购进乙种机器人数量的倍． （1）甲种机器人和乙种机器人的单价分别是___________万元、___________万元； （2）该公司计划购进甲，乙两种机器人共台，若设甲种机器人的购买数量为台，购买两种机器人的总花费为万元，求关于的函数表达式； （3）在的条件下，若甲种机器人的购买数量不超过乙种机器人购买数量的倍，该公司购进甲种机器人多少台时花费最少？最少费用是多少万元？ 23. 综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】 （1）如图1，当为等边三角形时，小颖发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明； 【类比探究】 （2）小颖尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由；； 【拓展延伸】 （3）李老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $