精品解析：山东省烟台栖霞市（五四制）2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

栖霞市2025-2026学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷共8页，共三道大题，24道小题．本试卷满分120分；考试时间为120分钟． 2．学生在答卷过程中不允许使用计算器． 3．使用答题卡时请注意： ①答题前，务必认真核对条形码上的姓名、准考证号和座号，将学校、姓名、考号、座号完整的填写在相应位置； ②答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净； ③答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，要求字体工整、笔迹清晰，务必在题号所指示的答题区域内作答； ④保证答题卡清洁、完整，严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带； ⑤若未按上述要求填写、答题，影响评分质量，后果自负． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，满分30分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，等宽的丝带重叠部分一定是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 以上都有可能 3. 等腰三角形一边长为4，另一边是方程的根，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. 6或10 B. 8 C. 10 D. 8或10 4. 如图是小孔成像图，根据图中所示的尺寸，像的长是物长的（　　） A. B. 3倍 C. D. 2倍 5. 为了迎接中考、互相激励，小亮同学和他的小组成员约定：月考后每个人都要向组内其他成员赠送一份小礼物，若他们一共赠送了份礼物，设小亮及小组一共有人，则下面方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即若一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知的三边长依次分别为2，2，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43名学生恰好都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为尺，下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（　　） ① ；② ； ③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6个小题，满分18分，只要求填写最后结果．） 11. 如图，将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点、、、是各正方形的对角线交点，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_______． 12. 若，则_______． 13. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 14. 《疯狂动物城2》上映后票房持续增长，据统计连云港市首日票房约为100万元，第三天票房约为350万元，设票房收入平均每天增长率为，则可列方程为_____． 15. 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是______． 16. 如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是_______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 先化简，再求值． ，其中，． 18. 新学期伊始，小明在宣纸上写了一幅书法作品——厚德载物，作品宽，高，写好后进行了装裱，装裱时左右边衬宽度相等，上下边衬宽度相等，左右边衬与上下边衬宽度之比为，若装裱后作品的面积是原宣纸作品面积的2倍，应如何设计四周边衬的宽度？ 19. 在远古传说时代，我国已有了原始的测高工具，因它便于制作，森林伐木工叫它为森林测高仪．它是由一块边长为20cm的正方形木板做成，其中正方形木板每一边都分成了十等分．如图所示，聪明的小明制作了一个正方形森林测高仪，用它来测量树EF的高度，平行于地面，树梢点在测高仪的延长线上，已知米，米，测高仪的重垂线与交于点，点是线段的十等分点，，求树高的长度？ 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围． （2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 21. 如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． （1）试说明； （2）若，求证：． 22. 国庆假期佛山市某景区吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天景区的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）据悉，景区附近商店推出了旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低10元，平均每天可多售出2000个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？ 23. 探究不同情境，回答下面问题： （1）【观察与猜想】如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接与交于点，若，则和的数量关系是 ； （2）【观察与猜想】如图，在矩形中，，点、分别在边、上，连接与交于点，若，请猜想和的数量关系并进行证明； （3）【类比探究】如图，在平行四边形中，点、分别在边、上，连接与交于点，当时，求证：． 小颖同学通过对比图，发现图中和并不相似，经过思考，提出了如下问题：能否构造以和为对应边的相似三角形来转化呢？请你根据小颖的思考完成证明，也可以用其他思路完成证明． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与相交于点E，线段、的长是一元二次方程的两根（），，． （1）求点A、C的坐标； （2）求直线的解析式； （3）在x轴上是否存在点P，使以点C、E、P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 栖霞市2025-2026学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷共8页，共三道大题，24道小题．本试卷满分120分；考试时间为120分钟． 2．学生在答卷过程中不允许使用计算器． 3．使用答题卡时请注意： ①答题前，务必认真核对条形码上的姓名、准考证号和座号，将学校、姓名、考号、座号完整的填写在相应位置； ②答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净； ③答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，要求字体工整、笔迹清晰，务必在题号所指示的答题区域内作答； ④保证答题卡清洁、完整，严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带； ⑤若未按上述要求填写、答题，影响评分质量，后果自负． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，满分30分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了比例线段．根据比例线段的概念及比例的基本性质：内项之积等于外项之积，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：选项A：排序为， ∵，，， ∴不成比例； 选项B：排序为， ∵，，， ∴成比例； 选项C：排序为， ∵，，， ∴不成比例； 选项D：排序为， ∵，，， ∴不成比例； 故选：B． 2. 如图，等宽的丝带重叠部分一定是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和菱形的判定，正确掌握平行四边形的判定和菱形的判定是解题的关键． 过点A作于点E，于点F，先证明四边形是平行四边形，再证明，然后根据菱形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E，于点F， 两条丝带宽度相同， ， 根据题意得：，， 四边形是平行四边形， 又， ， 是菱形， 即等宽的丝带重叠部分一定是菱形． 故选：C． 3. 等腰三角形一边长为4，另一边是方程的根，则这个等腰三角形的周长是（ ） A. 6或10 B. 8 C. 10 D. 8或10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，先解方程得到根，排除负根，得到正根为2，等腰三角形一边为4，另一边为2，分情况讨论哪两边相等，并验证是否符合三角形三边关系，只有腰为4、底为2的情况成立，计算周长即可． 【详解】解：由方程得：或， ∵三角形边长必须为正， ∴取，即另一边长为2， ∴等腰三角形一边为4，另一边为2， 若腰为4，底为2，则三边为4、4、2， ∵，满足三角形三边关系， ∴此时三角形的周长为：， 若腰为2，底为4，则三边为2、2、4， ∵，不满足三角形三边关系， ∴2、2、4三边不能构成三角形； 综上，这个等腰三角形的周长为10． 故选：C． 4. 如图是小孔成像图，根据图中所示的尺寸，像的长是物长的（　　） A. B. 3倍 C. D. 2倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 如图：先证明，再利用相似三角形的对应边成比例即可解答． 【详解】解：如图：过O作，， ∵， ∴，， ∴，即． ∴像的长是物的长的． 故选A． 5. 为了迎接中考、互相激励，小亮同学和他的小组成员约定：月考后每个人都要向组内其他成员赠送一份小礼物，若他们一共赠送了份礼物，设小亮及小组一共有人，则下面方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程，小组共有人，每人要送出件礼物，据此列出方程即可． 【详解】解：设小亮及小组一共有人，根据题意得． 6. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即若一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知的三边长依次分别为2，2，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】的三边长分别为2，2，，将其代入题目中的面积公式求解即可． 【详解】解：∵，且的三边长分别为2，2， ∴的面积， 7. 化学是一门以实验为基础的学科．小星在化学老师的帮助下，学会了用高锰酸钾制取氧气的实验，回到班上后，小星教会了x名学习小组长，每名学习小组长又教会了x名组员，这样全班43名学生恰好都学会了这个实验．则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意，总学会人数包括小星本人、x名小组长和名组员，总和为43，由此列出方程． 【详解】解：根据题意可知做实验的学生人数为名， 而全班有43名学生，则， 故选：B． 8. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为尺，下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得：门高尺、宽尺，门对角线的长为尺，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：门对角线的长为尺， 门高尺、宽尺， 根据勾股定理可得：． 10. 如图，在中，是的平分线，与交于点M，，下列结论中正确的个数是（　　） ① ；② ； ③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟练的结合角平分线的含义，利用两角分别相等的两个三角形相似逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，故②符合题意； ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴，；故①④符合题意； 与只有一组角相等，无法证明相似， ∴故③不符合题意； 故选C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6个小题，满分18分，只要求填写最后结果．） 11. 如图，将个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点、、、是各正方形的对角线交点，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，每一个阴影部分的面积等于正方形的，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图连接正方形对角线， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵正方形边长， ∴正方形面积， ∴， 同理可知：四块阴影的面积都是， ∴所有正方形重叠的部分（阴影部分）面积和． 12. 若，则_______． 【答案】1013 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数非负求出x的值，进而求出y的值，最后代入求值即可． 【详解】解：∵式子要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴． 13. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解得到，根据根与系数的关系得到，将所求代数式变形后整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， ∴． 14. 《疯狂动物城2》上映后票房持续增长，据统计连云港市首日票房约为100万元，第三天票房约为350万元，设票房收入平均每天增长率为，则可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的实际应用，解题的核心是掌握增长率的计算公式：若初始量为，平均增长率为，经过次增长后的量为，则公式为． 根据票房每日增长率，由第三天的票房量列方程即可． 【详解】解：设平均每天增长率为，则第二天票房为万元， 第三天票房为万元．给定第三天票房为350万元， 故得方程． 故答案为：． 15. 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心即可． 【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为， ． 16. 如图1，木质镂空花格常见于江南园林的门窗与屏风．图2是其示意图，正八边形的内部包含4个全等的正方形和1个正八边形（阴影部分），则正八边形与阴影部分的面积比是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知是等腰直角三角形，设，可得，，由相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可得出结论． 【详解】解：如图2： 正八边形， ，，， 四边形是矩形， ， 内部阴影是正八边形， ， 由4个全等的正方形可知：是等腰直角三角形，， 设，则， ， 阴影部分为正八边形，正八边形都相似， ∴正八边形与阴影部分的面积比为． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 先化简，再求值． ，其中，． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， ， 当，时， 原式． 18. 新学期伊始，小明在宣纸上写了一幅书法作品——厚德载物，作品宽，高，写好后进行了装裱，装裱时左右边衬宽度相等，上下边衬宽度相等，左右边衬与上下边衬宽度之比为，若装裱后作品的面积是原宣纸作品面积的2倍，应如何设计四周边衬的宽度？ 【答案】左右边衬各为，上下边衬各为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设左右边衬各为，上下边衬各为，由题意可知，因此可设，．根据题意列出一元二次方程，解方程，进而求得四周边衬的宽度． 【详解】解：设左右边衬各为，上下边衬各为，由题意可知，可设，， 装裱后成品的总宽为， 总高为， 原作品面积为，装裱后面积应是它的2倍，即， 因此有， 化简得， 解得(或，舍负取正)， ∴，， 答：左右边衬各为，上下边衬各为． 19. 在远古传说时代，我国已有了原始的测高工具，因它便于制作，森林伐木工叫它为森林测高仪．它是由一块边长为20cm的正方形木板做成，其中正方形木板每一边都分成了十等分．如图所示，聪明的小明制作了一个正方形森林测高仪，用它来测量树EF的高度，平行于地面，树梢点在测高仪的延长线上，已知米，米，测高仪的重垂线与交于点，点是线段的十等分点，，求树高的长度？ 【答案】米 【解析】 【分析】根据题意可证，结合三角形相似的性质计算长度即可． 【详解】解：∵点 是线段的十等分点，且， ∴ （米）， ，， ， ， ， ， ， 解得， （米）． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围． （2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个实数根，得，解得，即可作答． （2）理解题意，得出符合条件的最大整数，得，运用公式法进行求解，即可作答． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 即， 解得， ∴m的取值范围是． 【小问2详解】 解：由（1）知，m的取值范围是． ∴符合条件的最大整数， ∴一元二次方程化为， 此时， ∴， ∴或， ∴当m为符合条件的最大整数时，方程的根为或． 21. 如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． （1）试说明； （2）若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理、相似三角形的判定等知识点，弄清楚线段间的关系是解题的关键。 （1）由平行线等分线段定理可得，再结合即可证明结论； （2）由可得，即，进而得到；从而得到，再结合即可证明结论。 【小问1详解】 解：∵， ， ， 。 【小问2详解】 证明：， ， ， ． ， ． 又， ． 22. 国庆假期佛山市某景区吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天景区的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； （2）据悉，景区附近商店推出了旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低10元，平均每天可多售出2000个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意得关于x的一元二次方程，解方程，然后根据问题的实际意义作出取舍即可； （2）设售价应降低m元，根据每个的利润乘以销售量，等于2800，列方程并求解，再结合问题的实际意义作出取舍即可 【小问1详解】 解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低m元，则每天的销量为个，根据题意得： ， 解得：， ∵为了让游客尽可能得到优惠， ∴， 即售价应降低元． 23. 探究不同情境，回答下面问题： （1）【观察与猜想】如图，在正方形中，点、分别在边、上，连接与交于点，若，则和的数量关系是 ； （2）【观察与猜想】如图，在矩形中，，点、分别在边、上，连接与交于点，若，请猜想和的数量关系并进行证明； （3）【类比探究】如图，在平行四边形中，点、分别在边、上，连接与交于点，当时，求证：． 小颖同学通过对比图，发现图中和并不相似，经过思考，提出了如下问题：能否构造以和为对应边的相似三角形来转化呢？请你根据小颖的思考完成证明，也可以用其他思路完成证明． 【答案】（1） （2），证明如下：如图， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）证明方法不唯一，例如： 方法1：以点为圆心，为半径画弧交于点， 则， ∴， 由平行四边形得， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 方法2：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据三角形全等对应边相等即可． （2）根据三角形相似对应边成比例求解即可． （3）根据三角形相似对应边成比例求解即可． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线与x轴、y轴分别交于点C、点D，与相交于点E，线段、的长是一元二次方程的两根（），，． （1）求点A、C的坐标； （2）求直线的解析式； （3）在x轴上是否存在点P，使以点C、E、P为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】（1）A的坐标是，C的坐标是； （2）； （3）存在，P的坐标是和. 【解析】 【分析】（1）首先解方程求得方程的根，则A和C的坐标即可求得； （2）根据三角函数求得B的坐标，作轴于点F，根据，利用相似三角形的性质求得和的长，即可求得E的坐标，利用待定系数法确定函数关系式； （3）根据题意可判断点P在x轴正半轴，设P的坐标是，则．分成和两种情况进行讨论即可求解． 【小问1详解】 解：（1）解方程，即， 即或， 解得：， 又， ，， 的坐标是，的坐标是． 【小问2详解】 解：， ，则B的坐标是． . ， . 过点作轴于点F． 则， . ， ，. 则，则点E的坐标是 . 设直线的解析式是， ， 解得： . 则直线的解析式是. 【小问3详解】 解：当时，， 即， . ， . ， . 根据题意可知点P在x轴正半轴，设P的坐标是，则． ①当时，， 即， 解得：， 则点P的坐标是； ②当时，， 则， 解得：， 则点P的坐标是． 综上可知，点P的坐标是和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $