26.3二次函数与一元二次方程（第1课时 二次函数与一元二次方程的关系）（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，核心内容包括抛物线与x轴交点横坐标和方程根的对应关系，以及用判别式判断交点与根的个数。课堂导入通过一次函数与一元一次方程关系类比，结合根的判别式、二次函数图象等知识回顾，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于采用“观察函数图象-分析交点坐标-对应方程根-归纳规律”的探究过程，融入小球飞行高度、投篮轨迹等实例，渗透数形结合与转化思想，培养学生几何直观和推理意识。资料含知识点归纳视频，小结明确三者对应关系及易错点，助力学生提升代数几何转化能力，教师可通过分层练习和真题感知优化教学效率。

26.3二次函数与一元二次方程 第一课时 二次函数与一元二次方程的关系 第二十六章 二次函数 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解二次函数图象与x轴交点的横坐标与对应一元二次方程根的关系；能利用根的判别式判断抛物线与x轴的交点个数，能根据抛物线与x轴交点情况判断一元二次方程根的个数. 经历“观察函数图象—分析交点坐标—对应方程根—归纳规律”的探究过程，掌握数形结合、转化的数学思想，提升观察分析、归纳总结和代数几何转化的能力. 感受数学知识的关联性与统一性，体会数形结合思想的简洁性与实用性，激发数学探究兴趣，培养严谨的数学思维习惯. 知识回顾 （1）还记得一元二次方程 +bx+c=0(a≠0) 的根的判别式是什么吗？ Δ= b2 – 4ac （2）对一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，判别式的取值对应方程根有几种情况？ 当b2– 4ac>0时 方程有两个不等的实数根 当b2– 4ac=0时 方程有两个相等的实数根 当b2– 4ac＜0时 方程无实数根 y O x （a>0） y O x （a<0） （3）二次函数y=+bx+c(a≠0)的图象是什么形状？图象上点的横、纵坐标分别代表什么意义？ 知识回顾 01 图象的形状：一条抛物线 二次函数 y=+bx+c(a≠0) 的图象是一条抛物线。它是轴对称图形，开口方向由系数 a 的正负决定 02 坐标的几何意义 横坐标 (x)：代表函数自变量x的具体取值 纵坐标 (y)：代表当 x 取该值时对应的函数值， （4）已知二次函数 y=-2x-3，当 y = 0 时，的值是多少？这个x值和函数图象有什么关系？ 当 y = 0 时，由题意可得： -2x-3=0 解方程得：=3，= -1 ∴对二次函数 y=-2x-3来说： 当=3时， y=0 当=-1时， y=0 所以抛物线y=-2x-3经过： 点（3，0） ，点（-1，0） -4 2 4 y O -2 2 x 4 -4 y=-2x-3 知识回顾 抛物线与x轴交点坐标的特征是什么？ 思考 纵坐标等于0 （3，0） （-1，0） 你如何看待等式2x-1=0? 你能从函数的角度求出x的值吗? 方程角度 一元一次方程2x-1=0的解 函数观点 一次函数y=2x-1，当y=0时对应的自变量x的值 数 2x-1=0的解是直线y=2x-1与x轴交点的横坐标： x = 形 导入新课 （，0） 导入新课 方程角度 一元一次方程ax+b=0(a≠0)的解 直线y=ax+b (a≠0)与x轴交点的横坐标 形 函数观点 一次函数y=ax+b (a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值 数 那么，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）和二次函数y＝ax2 ＋bx＋c（a≠0） ，它们之间是否也存在也有类似的关系呢？ 一次函数y=ax+b与一元一次方程有什么关系？ 新知探究 探究点1 探究二次函数图象与x轴的公共点 议一议 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？ （1）y=x2+x-2；（2）y=x2-8x+16；（3）y=x2-x+1. y=+x-2 6 -4 2 4 y O -2 2 x -2 6 4 y=x2-8x+16 y=x2-x+1. 新知探究 探究点1 探究二次函数图象与x轴的公共点 活 动 1 （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-8x+16； （3）y=x2-x+1. 画出二次函数的图象，观察图象与x轴有几个交点.如果有，公共点的横坐标是多少? （1）y=x2+x-2 =- 抛物线开口向上， 对称轴：直线x= 顶点坐标（） y=+x-2 观察图象，抛物线与x轴有两个交点 -4 2 4 y O -2 2 x -2 6 6 4 公共点的横坐标是 -2，1 （1，0） （-2，0） 新知探究 探究点1 探究二次函数图象与x轴的公共点 活 动 1 （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-8x+16； （3）y=x2-x+1. 画出二次函数的图象，观察图象与x轴有几个交点.如果有，公共点的横坐标是多少? （2） y=x2-8x+16； = 抛物线开口向上， 对称轴：直线x= 顶点坐标（） y=-8x+16 观察图象，抛物线与x轴只有1个交点 -4 2 4 y O -2 2 x -2 6 6 4 公共点的横坐标是 4 （4，0） 新知探究 探究点1 探究二次函数图象与x轴的公共点 活 动 1 （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-8x+16； （3）y=x2-x+1. 画出二次函数的图象，观察图象与x轴有几个交点.如果有，公共点的横坐标是多少? （3）y=x2－x+1 = 抛物线开口向上， 对称轴：直线x= 顶点坐标（） y=－x+1 观察图象，抛物线与x轴没有交点 -4 2 4 y O -2 2 x -2 6 6 4 议一议 （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-8x+16； （3）y=x2-x+1. 新知探究 探究点1 探究二次函数图象与x轴的公共点 y=+x-2 6 -4 2 4 y O -2 2 x -2 6 4 y=x2-8x+16 y=x2-x+1. （1）二次函数当x取与x轴公共点的横坐标时，函数值是多少? 当x取与x轴公共点的横坐标时，对应函数值为 . 0 议一议 新知探究 探究点1 探究二次函数图象与x轴的公共点 y=+x-2 6 -4 2 4 y O -2 2 x -2 6 4 y=x2-8x+16 y=x2-x+1. （2）你能根据函数图象，说说下列方程根的情况吗？ ① x²+x-2=0 ② x²-8x+16=0 ③ x²-x+1=0 ① x2+x-2=0 x1=-2，x2=1. 有两个不等的实根 ② x²-8x+16=0 x1=x2=4. 有两个相等的实根 ③ x²-x+1=0 方程无实数根 新知探究 探究点1 探究二次函数图象与x轴的公共点 议一议 反之由一元二次方程的根的情况，你能确定相应二次函数的图象与x轴的公共点的情况吗？ ①当一元二次方程有两个不相等的根时， 对应的二次函数与x轴有两个不同公共点； ②一元二次方程有两个相等的根时， 对应的二次函数与x轴有一个公共点； ③一元二次方程没有实数根时， 对应的二次函数与x轴有两个不同公共点. y=+x-2 6 -4 2 4 y O -2 2 x -2 6 4 y=x2-8x+16 y=x2-x+1. 由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与x轴的公共点的情况；即 新知探究 议一议 探究点2 探究二次函数y=ax²+bx+c图象与x轴交点和 对应的一元二次方程ax²+bx+c=0根的关系 填写下表，二次函数y=ax²+bx+c图象和对应的一元二次方程ax²+bx+c=0有什么关系？ 函数解析式 交点个数 交点坐标 对应方程(y=0) 方程的根 y = x² + x - 2 2 个 (-2, 0)， (1, 0) x² + x - 2 = 0 两个不相等实根： =-2, =1 y = x² - 8x + 16 1 个 (4, 0) x² - 8x + 16 = 0 两个相等实根： ==4 (相等根) y = x² - x + 1 0 个 无交点 x² - x + 1 = 0 没有实数根 💡 结论：二次函数图象与x轴的交点个数，和对应一元二次方程的根的个数存在直接的对应关系：交点个数决定了根的个数，根的情况也反映了图象与x轴的相交情况。 新知探究 探究点2 探究二次函数y=ax²+bx+c图象与x轴交点和 对应的一元二次方程ax²+bx+c=0根的关系 活动2 归纳：二次函数y=ax²+bx+c图象与x轴交点和对应的一元二次方程ax²+bx+c=0根的关系 (2)二次函数у=ax²+bx+c的图象与x轴的公共点的情况有三种： 没有公共点，有一个公共点，有两个公共点. 它们分别对应着一元二次方程ax²+bx+c=0的根的三种情况： 没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. (1)如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0， 则 ：当x=x0时，函数值是0， ∴ x=x0是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根. 新知探究 探究点2 探究二次函数y=ax²+bx+c图象与x轴交点和 对应的一元二次方程ax²+bx+c=0根的关系 议一议 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点与判别式的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0 Δ = b2 - 4ac 二次函数 y = ax2 + bx + c图象 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 x1，x2 x2 x1 x y O x1= x2 x y O x y O 没有实数根 x2 x1 x y O O x1= x2 x y O y x a＜0 a＞0 新知探究 探究点2 探究二次函数y=ax²+bx+c图象与x轴交点和 对应的一元二次方程ax²+bx+c=0根的关系 新知探究 探究点2 探究二次函数y=ax²+bx+c图象与x轴交点和 对应的一元二次方程ax²+bx+c=0根的关系 一起来看知识点归纳视频吧 新知探究 议一议 二次函数y=ax²+bx+c图象与x轴交点和对应的一元二次方程ax²+bx+c=0根的关系 二次函数与一元二次方程的关系 y=ax2+bx+c 一元二次方程 y取定值 且a≠0 已知二次函数中因变量的值，求自变量的值 求相应的一元二次方程的根 探究点3 将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题 新知探究 活动3 h O x 建立如图坐标系 求小球的飞行高度达到20m需要多长时间 20 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间 t (单位：s)的关系近似为 h=20t-5t2 .小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？ 相当于解方程： 20＝20t－5t2 看作函数值h=20对应自变量的值， 探究点3 将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题 21 新知探究 新知探究 活动3 如图22.2-1，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间r(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2.小球的飞行高度能否达到20 m?如果能，需要多少飞行时间? h O x 2 20 当h＝20时， 20t－5t2=20 t2－4t＋4＝0， t1＝t2＝2 ∵h=20t－5t2 =-5（t-2）2+20 ∴函数h＝20t－5t2 的顶点坐标（2,20） 看图像 看函数值 方程20t－5t2=20得解就是对应点的横坐标 ∴当t=2s时，小球的飞行高度达到20 m 探究点3 将二次函数问题转化为相应的一元二次方程问题 典例分析 例1.已知二次函数 y=2x²-4x-6，完成下列问题： （1）判断该抛物线与x轴的交点个数； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标； （3）直接写出一元二次方程 2x²-4x-6=0 的根。 解：（1）由题意得：a=2，b=-4，c=-6 根的判别式：△=b²-4ac=(-4)²-4×2×(-6)=64>0 抛物线 y=2x²-4x-6 与x轴有2个不同交点. （2）求抛物线与x轴交点坐标，令 y=0，即：2x²-4x-6=0 方程两边同时除以2，化简得：x²-2x-3=0 因式分解：(x-3)(x+1)=0 解得： ∴抛物线与x轴的交点坐标为 (3,0)、(-1,0). （3）根据二次函数图象与x轴交点横坐标即为对应方程的根，可得： 方程 2x²-4x-6=0 的根为. 典例分析 例2．小明跳起投篮，已知球在处出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为米，当球出手后在处达到最大高度米，此时球运动的水平距离为米，设篮球运行的轨迹为如图所示的抛物线． (1)求抛物线的解析式； (2)篮圈中心距离地面米，问此球能否投中？请通过计算说明理由． （1）解：根据题意， 点的坐标为，点坐标为， 设此抛物线对应的解析式为： ，， 抛物线经过， ， ， 抛物线的解析式为： ． 典例分析 例2．小明跳起投篮，已知球在处出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为米，当球出手后在处达到最大高度米，此时球运动的水平距离为米，设篮球运行的轨迹为如图所示的抛物线． (1)求抛物线的解析式； (2)篮圈中心距离地面米，问此球能否投中？请通过计算说明理由． （2）由(1)得：抛物线的解析式为： ． 篮圈中心的坐标为，把代入解析式中，得， 当时，， ∴此球能投中． 如图22.2-1，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间r(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2. （1）小球的飞行高度能否达到15 m?如果能，需要多少飞行时间? h O x 将h=15代入解析式可得： 15＝20t－5t2， t2－4t＋3＝0， 建立如图坐标系 方程的解可以看作常函数h=15与二次函数h＝20t－5t2图像求交点的问题 1 3 15 解方程得：t1＝1，t2＝3．  当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m． 新知巩固 【教材P48 页】 26 新知巩固 如图22.2-1，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间r(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2. （2）小球的飞行高度能否达到20.5 m?为什么? h O x 2 20 函数h＝20t－5t2 的顶点坐标（2,20），开口向下 20.5 看图像 ∴小球不能达到20.5m的高度 当h＝20.5时， 20t－5t2=20.5 看函数值 即t2-4t+4.1=0. ∵Δ=(-4)2-4×4<0， ∴次方程无实数根. 即小球的飞行高度不能达到20.5m. 结论相同 【教材P48 页】 新知巩固 如图22.2-1，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间r(单位：s)之间具有函数关系h＝20t－5t2. （3）小球从飞出到落地要用多少时间? h O x 2 20 代入解析式可得： 0＝20t－5t2， t2－4t＝0， t1＝0，t2＝4． 当小球飞行0 s和4s时， 它的高度为0 m ∴小球从飞行到落地要用4s． 函数h＝20t－5t2 的顶点坐标（2,20）， 对称轴为x=2，开口向下 由图像得抛物线与x轴一个交点为（0,0）， ∴另一个交点为（4,0） ∴小球从飞出到落地要用4s 此时h=0， 结论相同 4 【教材P48 页】 拓展提升 1．如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交于M，交x轴于N，恰有线段，求此时点P的坐标． （1）解：把点和代入， ， 解得， ； 拓展提升 1．如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交于M，交x轴于N，恰有线段，求此时点P的坐标． （2）解：令，则，， 设的解析式为， ，解得， ， 设， 则，， ， ， ， ， 解得或， 是线段下方抛物线上， ， ， 真题感知 1.（2025•白云区校级三模）如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），下列结论：①abc＜0；②4a+b＝0；③b²﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0．正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴， ∴a＞0，c＞0， ∵抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0）， 当x＝﹣1时y＞0， ∴抛物线的对称轴是直线x＝2， b²﹣4ac＞0，a﹣b+c＞0，故结论③④正确； ∴，即b＝﹣4a＜0，b+4a＝0，故结论②正确； ∴abc＜0，故结论①正确， 综上，说法正确的有4个， D 真题感知 2．（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）²+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 m． 解：由题意，OA＝1.6m， 得A（0，1.6）， 将A（0，1.6）代入y＝a（x﹣3）2+2.5， 得：1.6＝a（0﹣3）²+2.5， 解得：， ∴， 令y＝0，得， 解得：，， ∴OB为8m， 8 真题感知 3（2025•连云港）已知二次函数y＝x²+2（a+1）x+3 a² ﹣2a+3，a为常数． （1）若该二次函数的图象与直线y＝2a²有两个交点，求a的取值范围； （2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值； （3）求证：该二次函数的图象不经过原点． （1）解：∵二次函数y＝x²+2(a+1)x+3a²﹣2a+3中，1＞0， ∴二次函数的图象开口向上， ∵二次函数的图象与直线y＝2a²有两个交点， ∴函数的最小值小于2a²， 则 ， 即 2a²﹣4a+2＜2a²， 解得 ； 真题感知 3（2025•连云港）已知二次函数y＝x²+2（a+1）x+3 a² ﹣2a+3，a为常数． （1）若该二次函数的图象与直线y＝2a²有两个交点，求a的取值范围； （2）若该二次函数的图象与x轴有交点，求a的值； （3）求证：该二次函数的图象不经过原点． （2）解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴Δ＝4(a+1)²﹣4×1×(3a²﹣2a+3) ＝﹣8a²+16a﹣8＝﹣8(a﹣1)²≥0， ∴8(a﹣1)²≤0， 又∵8(a﹣1)² ≥0， ∴8(a﹣1)²＝0， 解得a＝1； （3）证明：∵当x＝0时， ， ∴二次函数的图象不经过原点． 课堂小结 （1）核心对应关系： 抛物线与x轴交点个数、判别式取值、一元二次方程根的个数三者一一对应； （2）核心结论： 抛物线与x轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的实数根； （3）基础技能： 会用判别式判断交点与根的情况，会通过解方程求抛物线与x轴交点坐标. 知识与技能 课堂小结 （1）数形结合思想： 将代数方程问题与几何函数图象相互转化，以形助数、以数释形； （2）转化思想： 把求函数图象交点问题转化为解方程问题，简化几何求解难度； （3）归纳推理思想： 通过特殊案例探究，归纳出通用数学规律. 思想与方法 课堂小结 （1）忽略二次函数前提： 研究交点与方程根的关系时，必须保证 a≠0，否则不是二次函数与一元二次方程； （2）概念混淆： 抛物线与x轴的交点坐标是有序实数对，对应的方程根是横坐标数值，二者形式不同，不可混淆； （3）判别式计算失误： 代入a、b、c数值时，注意符号问题，避免正负号计算错误； (4）表述错误： 方程有两个相等实数根，不可表述为“方程只有一个根”. 易错点提醒 课后练习 1.已知函数 y = x2 － x － 2. 画出这个函数的图象; 观察图象,当x取哪些值时,函数值为0？ 解：（1）如图. （2）该图象与x轴的公共点的横坐标为2，-1， 所以当 x=2 或 x= -1时，函数值为0. 习题 26.3 课本p49页 课后练习 3.下列函数的图象与x轴是否有公共点？如果有公共点，写出公共点的坐标. (1) y=3x²－6x+9; (2) y=2x² － 4x － 6. 解：令y=0，得3x2-6x+9=0， 即 x2-2x+3=0. Δ=(-2)2-4×1×3= -8<0， 所以方程3x2-6x+9=0没有实数根. 所以函数图象与x轴没有公共点. 解：令y=0，得2x2-4x-6=0， 即 x2-2x-3=0， Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16， 解得x1=3，x2= -1. 所以函数图象与x轴有公共点，公共点的坐标为（3，0），（-1，0）. 习题 26.3 课本p49页 课后练习 4.一辆汽车在一段时间内加速行驶，测得行驶路程 l（单位：m）关于行驶时间 t（单位：s）的函数解析式是l =9t +t²·经过10s汽车行驶了多远？行驶180 m需要多长时间？ 解：t=10时，l=9×10+ ×102=140(m). l=180时，180=9t +t²， 解方程，得t1=12, t2=－30(舍去). 答：经过10s汽车行驶了140m，行驶180m需要12s. 习题 26.3 课本p49页 谢谢聆听 谢谢聆听 Lavf59.6.100 Bilibili VXCode Swarm Transcoder v0.2.30(gap_fixed:False) $