2026年第67届国际数学奥林匹克第一天试题

2026年第67届国际数学奥林匹克

第一天

第1题．黑板上写有2026个大于1的整数，允许有相同的数。在一次操作中，孔夫子选取黑板上两个不同位置的整数和，并将这两个整数替换成

和．

只要能够进行这样的操作他便继续操作。

(1) 证明：不论孔夫子如何选择，在有限次操作后，黑板上恰有一个大于1的整数，记此数为。

(2) 证明：整数的值不依赖于孔夫子的选择。

(注：表示正整数和的最大公约数，表示和的最小公倍数。)

 

第2题．在三角形中，点和分别是边和的中点。在三角形和三角形的内部分别选取点和，使得点在三角形的内部，点在三角形的内部。已知

，，且．

设是三角形的外心。证明：。

 

第3题．设是正整数。刘邦和项羽有一根长度为1的细棍，他们按下述方式进行分配。刘邦先在细棍上标记不超过个点，接着项羽再标记不超过个点。标记的点是互不相同的。随后在所有标记点处将细棍切开，这样细棍被分成了若干个小段。在此之后，他们轮流选取一个未被选取的小段，由刘邦先选，直至全部选完。每个人的目标均是使得自己选取的小段的总长度尽可能大。

对每个，求最大的，使得无论项羽如何操作，刘邦总能确保自己选取的小段的总长度不小于。