第二十章二次根式单元测试卷 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次根式单元核心知识，通过基础辨析、情境应用与数学文化融合，实现概念理解与能力提升，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次根式定义、有意义条件、最简根式|结合数轴化简（题5），考查几何直观| |填空题|6/18|代数式求值、化简计算、三角形面积|阴影面积计算（题15），体现空间观念| |解答题|8/72|混合运算、化简求值、实际应用|应急梯滑动（题23）结合勾股定理，秦九韶公式推导（题24）培养推理能力，凸显应用意识与创新意识|

第二十章二次根式单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案． 【详解】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件，二次根式的被开方数必须为非负数，据此列一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义 ， ∴被开方数需满足非负可得 ． 移项解得． 3．使代数式有意义的的取值范围是（     ）． A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式被开方数为非负数和分式分母不为，即可求解的取值范围． 【详解】∵代数式有意义， ∴，解得：且 ∴的取值范围是且． 4．下列根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式的两个判定条件为：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，满足两个条件即为最简二次根式． 【详解】解：A、的被开方数含分母，不满足条件，∴A不是最简二次根式； B、，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，∴B不是最简二次根式； C、的被开方数含分母，同时含能开得尽方的因式和，不满足条件，∴C不是最简二次根式； D、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，∴D是最简二次根式． 5．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知：，则有， ∴． 6．若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义． 两个二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，因此被开方数相同．先将化为最简形式，从而确定被开方数为2，即，求解后代入计算即可． 【详解】解：∵，且最简二次根式与可以合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7．如图，在的两边上分别截取，，使，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，，与相交于点．若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图过程可知，可得四边形是菱形，则，由勾股定理求得，再求得两条对角线的长，利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图过程可知， 四边形是菱形， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 8．如图正方体的棱长为，则在正方体表面上一只蜗牛从点爬到点的最短路程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将正方体右面向前面展开，再由两点之间线段最短，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：将正方体右面向前面展开，如图所示： 正方体的棱长为， ， ． 9．按一定规律排列的单项式：，，，，，……；第n个单项式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别找出单项式的系数和次数的变化规律，即可推出第n个单项式的表达式． 【详解】解：将已知单项式按序号整理可得： 第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， 第5个：， ... 根据规律可得，第个单项式的系数为，的次数为， ∴第个单项式为． 10．已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对所求分式通分变形，再计算与的值，代入化简后的式子即可求值，利用平方差公式简化计算过程. 【详解】解：先对通分变形，得： ， ， ， 将代入， 得： 二、填空题（每题3分，共18分） 11．代数式的值为0时，的值为____________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的值为零的条件，掌握二次根式的值为0的条件为被开方数为0成为解题的关键． 根据二次根式的值为0的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵代数式的值为0， ∴，解得：． ∴的值为3． 故答案为：3． 12．若，，用含的式子表示_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题关键．根据二次根式的除法法则可得，由此即可得． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 13．计算：___________（其中）． 【答案】 【分析】本题可根据二次根式的乘除运算法则，先将系数部分和根式部分分别进行运算，再结合幂的运算化简结果． 【详解】解：按照二次根式乘除法则，先处理系数部分，再处理根式部分： 系数部分运算：； 根式部分运算：； 化简被开方数：； 因此根式部分结果为：； 将系数与根式部分结合：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练运用二次根式乘除法则，并结合幂的运算化简被开方数． 14．若一个三角形的三边长分别为，，，则此三角形的面积为______________． 【答案】 【分析】先确定三角形的最大边，根据勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，再利用直角三角形的面积公式计算即可. 【详解】解：，， ， 该三角形是直角三角形，两条直角边为和， 此三角形的面积为. 15．如图，大正方形内两个正方形的面积分别为、．图中两块阴影部分的面积和为__________，周长和为__________．    【答案】 【分析】先根据图形以及算术平方根得到两块阴影部分的长为、宽为1，再求面积和周长即可． 【详解】解：由题意可得：两块阴影部分的长为，宽为1， 所以两块阴影部分的面积和为；周长为． 16．已知，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式与平方的非负性，推导得到的取值范围，即可求出的最大值． 【详解】解：对任意实数，，由平方的非负性可得， 展开得， 整理得， ∵， ∴， 由完全平方公式可得， 将代入得， 因此， 故的最大值为． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．已知，求的平方根． 【答案】 【详解】解：由题意，得， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是． 18．计算：． 【答案】 【详解】解：． 19．已知，求的值．小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：_______________； (2)比较大小：_______________（填“”，“”或“”） (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过分母有理化直接化简； （2）先将两个二次根式的差变形为同分子的分数，通过比较分母的大小判断原式大小； （3）先对分母有理化，再直接代入计算． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵ ∴ ∴ （3）解： ∴ ∴ ． 20．已知，． (1)求的值； (2)若的整数部分是，的小数部分是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入字母的值进行计算即可； （2）估算得到，，求出，，即可求出的值． 【详解】（1）解：原式＝ = ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 21．按要求解答下列各题： (1)已知x，y为实数，且，求的值． (2)设一个三角形的三边长为1，k，4，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而可得的值，再代入计算即可； （2）根据三角形的三边关系定理可得，据此化简绝对值和二次根式，再计算整式的加减即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵一个三角形的三边长为， ∴，即， ∴，， ∴ ． 22．先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果：，值： 【分析】先对括号内的分式通分计算，再将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分得到最简结果，最后代入的值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 23．综合与实践 为落实校园安全与应急救援科普，某校八年级开展实践活动，分两个场景进行探究与应用： 场景一：应急梯滑动探究 如图1，一架总长的应急梯子，斜靠在教学楼竖直墙面，梯子顶端距离地面垂直高度为． (1)梯子底端到墙角的水平距离=____________； (2)当梯子顶端沿墙面向下滑动到达点时，梯子底端向外滑动到点，求的长； 场景二：模拟消防云梯救援应用 如图2，消防车高为，搭载一架长的云梯，云梯顶端接触楼房墙面处距离地面的高度为，被困人员在点正上方的处，云梯长度保持不变，将云梯顶端上移至被困人员位置，消防车同步向楼房靠近．（点，，，，均在同一平面内） (3)求消防车向楼房移动的距离的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对运用勾股定理求解； （2）对运用勾股定理求解； （3）对运用勾股定理求解，对运用勾股定理求解，再由． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵ ∴ （2）解：由题意得，， ∴在中， ∴； （3）解：延长交于点， 由题意得，，，，， ∴， ∴在中，， 在中， ∴ 答：消防车向楼房移动的距离的长为． 24．【阅读材料】 阅读材料：三角形的面积计算公式 名称 公式 说明 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”． ．① a，b，c为三角形的三边长；，S为面积； 公式②中的． 古希腊“海伦公式”． ．② 【问题解决】 (1)若的三边长为5，7，8，分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积； (2)由公式①推导出公式②． 【答案】(1)该三角形的面积为 (2) ． 【分析】（1）根据可得，，，代入即可求解； （2）利用平方差公式和完全平方公式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， 由题意得，， ∴． （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十章二次根式单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分) 1.下列各式是二次根式的有() )2,(2)9,(3)V+1,(49,5)-2x-2 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.要使二次根式Vx-3 实数范围内有意义，则的取值范围是() A.x≥3 B.x>3 C.x≤3 D.x<3 1+x 3.使代数式x-1有意义的x的取值范围是(). A.x≥-1且x≠1B.x≥-1 C.x>-1且x≠1D.-1≤x<1 4.下列根式中，是最简二次根式的是() 2 b2c B.V63 C.Va2 D.3 5.实数“，b在数轴上的位置如图所示，则化简a++b-少-√-a 的结果是 () 9 b -1 0 A.2a B.-2b C.-2 D.0 6.若简二次根式m可与5可以合并，则2m-司 的值是() Av② B.5 c v5 D.i7 7.如图，在∠MBN的两边上分别截取BA,BC,使BA=BC,分别以点A,C为圆心， AB长为半径画弧，两弧交于点D,连接AD,CD,AC,BD,AC与BD相交于点O. 若AB=4cm,OA=2cm,则四边形ABCD的面积为() 试卷第1页，共3页 M D 0 C N A.8cm2 B.83cm2 C.43cm2 D 4cm2 C 8.如图正方体的棱长为2，则在正方体表面上一只蜗牛从点爬到点的最短路程是 () D C B D A.25 B.25 C.2 9.按一定规律排列的单项式：。，V2a,V5d2a5a ,…；第n个单项式为 () A.Vna B.Vn+la2n C.nan 11 10.已知m=5+2,n=5-2,则m+n的值为() 5 A.5 B.25 C.2 D.-V5 二、填空题（每题3分，共18分） 3-x 11.代数式3-的值为0时，x的值为 12.若5=a,5=b,用含a,b的武子表示06- 试卷第2页，共3页 (其中a>0,b>0). 14,若一个三角形的三边长分别为5，万.25 ,则此三角形的面积为 15.如图，大正方形内两个正方形的面积分别为3cm2、1cm2.图中两块阴影部分的面积和 为 cm2, 周长和为 cm 3 16.己知m2+n2=9,则m+n的最大值为 三、解答题（每题9分，共72分） Ve2-4+V4-x2+1 = 17.已知 x-2 ,求-3x+4y的平方根. -22x5÷2 18.计算： 4 1 19.己知a2+√5，求2a-8a+1的值.小明是这样解答的： 2-√3 解：因为a2+5(2+5)2- =2-V3 ,所以a-2=-5 所以a-2=3,即心2-4a+4=3,所以c-4a=-1 a2-8a+1=2(a2-4a+1=2×(-1)+1=-1 所以 请根据小明的解答过程，解决下列问题： 1 1)化简：2+1 V100-√99 √99-√98 (2)比较大小： (填，“≤”或“”) 试卷第3页，共3页 1 3)若3+2V5,求3a2-18a+1的值. 20.已知m=5+v7,n=5-V万 (1)求m-mn+n2的值； (2)若m的整数部分是a,n的小数部分是b,求a+b的值. 21.按要求解答下列各题： (1)尼知x,y为实数，且)=-3+3-x-2 求的值 (2)设-个三角形的三边长为1，k,4,化简：12k-5到-V2-12k+36 1).a2-1 22.先化简，再求值： a+22a+4,其中a=√2+1. 23.综合与实践 为落实校园安全与应急救援科普，某校八年级开展实践活动，分两个场景进行探究与应用： 场景一：应急梯滑动探究 如图1，一架总长l0m的应急梯子AB,斜靠在教学楼竖直墙面，梯子顶端距离地面垂直高 度AM为8m. M B D 图1 (I)梯子底端到墙角的水平距离BM= m: (2)当梯子项端沿墙面向下滑动3m到达C点时，梯子底端向外滑动到点D,求BD的长： 场景二：模拟消防云梯救援应用 如图2，消防车高为2m,搭载一架25m长的云梯EF,云梯顶端接触楼房墙面处距离地面 的高度EK为17m,被困人员在点E正上方5m的G处，云梯长度保持不变，将云梯顶端上 移至被困人员位置，消防车同步向楼房靠近.（点E,F,G,H,K均在同一平面内） 试卷第4页，共3页 G H 图2 (3)求消防车向楼房移动的距离FH的长. 24.【阅读材料】 阅读材料：三角形的面积计算公式 名称 公式 说明 我国古代数学家秦九韶在 c2+a2-b2 S= 、2 《数书九章》中记述了 a,b,c为三角形的三边 “三斜求积术”， ① 长：a>b>c,S为面积： a+b+c S=Jp(p-a)(p-b)(p-c) 公式②中的P= 2· 古希腊“海伦公式”. ② 【问题解决】 (1)若△ABC的三边长为5,7,8，分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积； (2)由公式①推导出公式②， 试卷第5页，共3页