第14讲 圆的标准方程（思维导图+2知识点+5大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

第14讲 圆的标准方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 由标准方程确定圆心和半径 题型02 求圆的标准方程 题型03 点与圆的位置关系判断 题型04 点与圆的位置关系中的最值问题 题型05 圆的标准方程中对称条件的应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.圆的标准方程 2.点与圆的位置关系 1. 会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征,提升数学抽象的核心素养. 2. 能根据所给条件求圆的标准方程,强化数学运算的核心素养. 3. 掌握点与圆的位置关系,提升直观想象的核心素养. 学习重点：掌握圆的标准方程的特征 学习难点：掌握点与圆的位置关系与相应最值问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆的定义与标准方程 一、圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 二、圆的标准方程 1、圆的标准方程：我们把 称为圆心为，半径长为的圆的标准方程． 注：圆的标准方程的右端，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程． 2、圆的标准方程的推导过程 （1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为是定点，设，半径为，且设圆上任意一点的坐标为． （2）写点集：根据定义，圆就是集合． （3）列方程：由两点间的距离公式得． （4）化简方程：将上式两边平方得． 即时即练 1．圆的圆心为________，半径长为________. 2．（25-26高二上·新疆喀什·期中）写出下列圆的标准方程： (1)已知圆经过两点，圆心在轴上； (2)经过点，圆心为点． (3)经过三点的圆的方程． 【方法总结】 确定圆的标准方程有两种方法 (1)几何法:它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程. (2)待定系数法:由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数,从而确定圆的标准方程. 知识点02 点与圆的位置关系 一、点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: 1、几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 2、代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 二、圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; 1、若点在外，则; 2、若点在上，则; 3、若点在内，则; 即时即练 1．（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建南平·期中）已知点，圆，则圆上的点到的距离最大值为________. 【方法总结】 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 题型01 由标准方程确定圆心和半径 1．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二·全国·寒假作业）已知点和以C为圆心的圆，则（    ） A． B． C．5 D．3 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 4．已知直线经过点，且平分圆的面积，则的方程为____________． 【技巧归纳】 我们把 称为圆心为，半径长为的圆的标准方程 题型02 求圆的标准方程 1．（25-26高二下·上海·期中）以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 2．（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）已知点，则以线段为直径的圆的标准方程为__________. 3．（24-25高二上·天津河东·阶段检测）经过点的圆的标准方程为______. 4．（25-26高二上·上海·期中）已知圆的圆心在直线上，且点和均在圆上，则圆的标准方程为___________． 5．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是_________. 6．（25-26高二上·重庆·阶段检测）过四点中的三点的一个圆的方程为______.（写出一个你认为正确的既可） 【技巧归纳】 确定圆的标准方程有两种方法 (1)几何法:它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程. (2)待定系数法:由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数,从而确定圆的标准方程. 题型03 点与圆的位置关系判断 1．（24-25高二上·陕西铜川·期中）已知点，圆，则（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．点与圆的位置关系不确定 2．（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 3．已知两点，，以线段AB为直径的圆经过坐标原点，则a等于（    ） A． B．3 C．1 D． 4．（25-26高二上·山东济宁·期中）若点在圆O：的外部，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 5．“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 6．（24-25高二上·江苏苏州·期中）若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 题型04 点与圆的位置关系中的最值问题 1．（25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点到圆：的最短距离是（   ） A． B．4 C．8 D． 2．（25-26高二上·安徽·期中）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知点在圆上，点，则的值可能为（   ） A．1 B．7 C．13 D．15 4．若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 【技巧归纳】 与圆有关的最值问题的求解策略 (1)本题将最值转化为线段长度问题,从而使问题得以顺利解决,充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用. (2)涉及与圆有关的最值,可借助图形性质,利用数形结合求解. 题型05 圆的标准方程中对称条件的应用 1．若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程是_____. 5．若圆与圆关于直线对称，则直线的方程为________. 1．（25-26高二上·青海·阶段检测）圆的圆心和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高二上·甘肃白银·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（25-26高二上·湖南张家界·期末）已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河北邢台·期中）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·福建泉州·阶段检测）点与圆的位置关系是（    ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关 7．（24-25高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知条件：，条件：点在圆: 外，则的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）记点，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·重庆·阶段检测）如果实数满足，那么的最小值是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·江西·阶段检测）过，，三点的圆的标准方程为_______. 12．若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是___________ 13．（25-26高二上·江西赣州·期末）经过，两点，且圆心在直线上，则圆的方程为______． 14．（24-25高二下·四川德阳·期末）已知圆：关于直线对称，则圆上任意一点到原点的距离的最小值为__________．（请用数字作答） 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 圆的标准方程 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 由标准方程确定圆心和半径 题型02 求圆的标准方程 题型03 点与圆的位置关系判断 题型04 点与圆的位置关系中的最值问题 题型05 圆的标准方程中对称条件的应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.圆的标准方程 2.点与圆的位置关系 1. 会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征,提升数学抽象的核心素养. 2. 能根据所给条件求圆的标准方程,强化数学运算的核心素养. 3. 掌握点与圆的位置关系,提升直观想象的核心素养. 学习重点：掌握圆的标准方程的特征 学习难点：掌握点与圆的位置关系与相应最值问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 圆的定义与标准方程 一、圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 二、圆的标准方程 1、圆的标准方程：我们把 称为圆心为，半径长为的圆的标准方程． 注：圆的标准方程的右端，当方程右端小于或等于0时，对应方程不是圆的标准方程． 2、圆的标准方程的推导过程 （1）建系设点：建立坐标系时，原点在圆心是特殊情况，就一般情况来说，因为是定点，设，半径为，且设圆上任意一点的坐标为． （2）写点集：根据定义，圆就是集合． （3）列方程：由两点间的距离公式得． （4）化简方程：将上式两边平方得． 即时即练 1．圆的圆心为________，半径长为________. 【答案】 【分析】由圆的标准方程即可得解. 【详解】由圆的标准方程知，圆心为，半径． 故答案为：. 2．（25-26高二上·新疆喀什·期中）写出下列圆的标准方程： (1)已知圆经过两点，圆心在轴上； (2)经过点，圆心为点． (3)经过三点的圆的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由斜率关系和中点坐标求出弦的垂直平分线方程，再解出圆心坐标，然后得到圆的标准方程； （2）由两点间距离得到半径，再写出圆的标准方程即可； （3）由圆的一般方程利用待定系数法求解可得. 【详解】（1）由题，所以其垂线斜率，且AB中点为，即， 所以AB的垂直平分线方程为，即， 由圆的垂径定理可知，与轴的交点即为圆心的坐标， 所以圆的半径为 ， 所以圆的标准方程为 （2）圆心为，且经过点， 故圆的半径为， 故圆的标准方程为． （3）设圆的方程为， 则由题意， ∴圆的方程为：，标准方程为. 【方法总结】 确定圆的标准方程有两种方法 (1)几何法:它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程. (2)待定系数法:由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数,从而确定圆的标准方程. 知识点02 点与圆的位置关系 一、点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: 1、几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 2、代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 二、圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; 1、若点在外，则; 2、若点在上，则; 3、若点在内，则; 即时即练 1．（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接将点的坐标代入结合点与圆的位置关系求解即可. 【详解】因为点在圆内部， 所以，解得. 故选：C. 2．（24-25高二上·福建南平·期中）已知点，圆，则圆上的点到的距离最大值为________. 【答案】 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，由圆的几何性质可知最大值为. 【详解】由圆方程知：圆心，半径， 圆上的点到的距离最大值为. 故答案为：. 【方法总结】 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 题型01 由标准方程确定圆心和半径 1．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程求得圆心和半径. 【详解】圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为. 故选：B 2．（25-26高二·全国·寒假作业）已知点和以C为圆心的圆，则（    ） A． B． C．5 D．3 【答案】C 【分析】由圆的方程确定圆心坐标，再由两点距离公式即可求解. 【详解】由，得， 所以， 故选：C 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由题意，圆心在已知直线上，代入坐标求参数值. 【详解】由题设，圆心在直线上，则. 故选：A 4．已知直线经过点，且平分圆的面积，则的方程为____________． 【答案】 【分析】由直线平分圆的面积，所以直线经过，先求出直线的斜率，然后由点斜式求出方程即可. 【详解】因为直线平分圆的面积， 所以直线经过圆心，又经过点， 所以，所以直线的方程为：. 故答案为：. 【技巧归纳】 我们把 称为圆心为，半径长为的圆的标准方程 题型02 求圆的标准方程 1．（25-26高二下·上海·期中）以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 【答案】 【分析】先计算圆心到点的距离得到圆的半径，再代入圆的标准公式即可求解. 【详解】根据两点间距离公式： ， 所以所求圆的标准方程为. 2．（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）已知点，则以线段为直径的圆的标准方程为__________. 【答案】 【分析】根据题意求出圆心坐标，圆的半径，再根据圆的标准方程即可求出. 【详解】因为为直径，则的中点为，所以圆心为，半径， 所以圆的方程为. 故答案为：. 3．（24-25高二上·天津河东·阶段检测）经过点的圆的标准方程为______. 【答案】 【分析】圆的标准方程为，其中为圆心坐标，为半径.要求圆的标准方程，需要先求出圆心坐标和半径.我们可以利用圆的性质，圆心到圆上任意一点的距离都等于半径，通过已知的三个点列出方程组来求解圆心坐标和半径. 【详解】设圆的标准方程为. 因为圆经过点，将其代入方程可得，即 ①. 因为圆经过点，将其代入方程可得，即 ②. 因为圆经过点，将其代入方程可得 ③. 用② - ①可得： 即则. 将代入①和③组成新的方程组： 将展开得，即. 用减去可得： 即解得. 将，代入，可得，即，. 所以圆的标准方程为. 故答案为:. 4．（25-26高二上·上海·期中）已知圆的圆心在直线上，且点和均在圆上，则圆的标准方程为___________． 【答案】 【分析】由待定系数法即可求解方程组得解. 【详解】设圆的标准方程为，， 由题意可得，解得， 故圆的标准方程为， 故答案为： 5．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是_________. 【答案】 【分析】利用代入法，通过解方程组进行求解即可. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，，且圆心在直线上， 所以有， 因此圆的标准方程为， 故答案为： 6．（25-26高二上·重庆·阶段检测）过四点中的三点的一个圆的方程为______.（写出一个你认为正确的既可） 【答案】（填或或中的一个也正确）. 【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法求出圆的方程即可. 【详解】设圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为. 故答案为:（填或或中的一个也正确）. 【技巧归纳】 确定圆的标准方程有两种方法 (1)几何法:它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程. (2)待定系数法:由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数,从而确定圆的标准方程. 题型03 点与圆的位置关系判断 1．（24-25高二上·陕西铜川·期中）已知点，圆，则（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．点与圆的位置关系不确定 【答案】C 【分析】利用点与圆的位置关系进行判断即可. 【详解】因为，所以点在圆外. 故选：C. 2．（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：C. 3．已知两点，，以线段AB为直径的圆经过坐标原点，则a等于（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】计算圆心为，根据题意得到，代入计算得到答案. 【详解】的中点坐标为，根据题意得到， 即，解得. 故选：C 4．（25-26高二上·山东济宁·期中）若点在圆O：的外部，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】利用点在圆的外部满足不等式求解即可. 【详解】由点在圆O：的外部， 则， 解得：或, 所以实数a的取值范围是或, 故选：C. 5．“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】先求出“点在圆内”的充要条件，对比即可得解. 【详解】点在圆内， 所以“”是“点在圆内”的充分不必要条件. 故选：A. 6．（24-25高二上·江苏苏州·期中）若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心和半径，表达出圆心与的距离为，数形结合得到，从而得到不等式，求出答案. 【详解】的圆心为，半径为1， 与的距离为， 要想圆上总存在两个点到点的距离为2， 则，即，解得. 故选：B 【技巧归纳】 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 题型04 点与圆的位置关系中的最值问题 1．（25-26高二上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，点到圆：的最短距离是（   ） A． B．4 C．8 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出点到圆心的距离，再利用圆的性质求解. 【详解】圆：的圆心，半径， 所求的最短距离为. 故选：A 2．（25-26高二上·安徽·期中）已知点，点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求点到圆心的距离，再结合几何关系，可得，即可得其最大值. 【详解】因为圆，得圆心，半径， 又点，则， 又点在圆上，所以， 所以的最大值为． 故选：C 3．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知点在圆上，点，则的值可能为（   ） A．1 B．7 C．13 D．15 【答案】B 【分析】先确定在圆内，再求出到圆心的距离，然后得到的取值范围即可. 【详解】因为，所以点在圆内， 又圆心，半径为7，点到圆心的距离为， 所以，即的取值范围为， 所以的值可能为7. 故选：B. 4．若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由两点间距离公式，结合圆的方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为表示圆心为，半径为的圆， 则表示圆上的点到点的距离的平方， 所以的最大值为. 故选：D 5．（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用目标函数的几何意义，结合圆上的点与定点距离的最大值求解即可. 【详解】圆的圆心，半径， 目标函数表示圆上的点与定点距离的平方， 而， 所以的最大值为36. 故选：D 【技巧归纳】 与圆有关的最值问题的求解策略 (1)本题将最值转化为线段长度问题,从而使问题得以顺利解决,充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用. (2)涉及与圆有关的最值,可借助图形性质,利用数形结合求解. 题型05 圆的标准方程中对称条件的应用 1．若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据圆上的任意两点关于直径对称即可求解. 【详解】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称， 则圆心在直线上，故代入解得， 故选：D． 2．（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称的性质，得到直线过的中点且与垂直，结合垂直的斜率结论可解. 【详解】圆的圆心为， 圆的圆心为，所以线段的中点坐标为， 又，则， 所以直线的方程为，即. 故选：D. 3．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称后圆心关于直线对称，半径不变可求出圆的方程。 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆关于直线对称， 所以圆半径为，设圆圆心为， 则两圆圆心连线的中点在直线上 ，且两圆心所在直线与直线垂直， 故，解得 ，所以圆圆心为， 所以圆的方程为. 故选：B 4．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程是_____. 【答案】 【分析】利用对称性求出圆的圆心坐标即可. 【详解】圆的圆心，半径， 由圆与圆关于直线对称，得圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程是. 故答案为： 5．若圆与圆关于直线对称，则直线的方程为________. 【答案】 【分析】由题意，得出直线是两圆圆心的对称轴，依次求得的中点坐标和斜率,即可由点斜式方程写出直线的方程. 【详解】依题意，直线是两圆圆心的对称轴. 由可得，由可得， 则的中点为，因，故直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故答案为：. 1．（25-26高二上·青海·阶段检测）圆的圆心和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程的性质得出圆心和半径． 【详解】圆的标准方程为， 圆心为，半径的平方，故半径，故C正确． 故选：C． 2．（25-26高二上·甘肃白银·期中）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据圆心在直线上建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】由题意，圆心为，因为直线是圆的对称轴， 所以圆心在直线上，即，解得. 故选：C. 3．（25-26高二上·湖南张家界·期末）已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用点到圆心的距离与半径的大小关系判断即可。 【详解】因为圆的标准方程是，所以圆心在原点，半径， 选项A， ，所以点在圆外； 选项B， ,所以点在圆上； 选项C， ,所以点在圆内； 选项D， ,所以点在圆上； 故选：C 4．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 5．（25-26高二上·河北邢台·期中）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与圆的位置关系，代入求解，即可得答案. 【详解】由在圆内，得，解得． 故选：A 6．（24-25高二上·福建泉州·阶段检测）点与圆的位置关系是（    ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关 【答案】A 【分析】根据圆心与点的距离与半径的关系判断即可. 【详解】由圆心， 可得， 所以在外. 故选：A 7．（24-25高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知条件：，条件：点在圆: 外，则的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】等价转化，结合充分条件和必要条件的定义判断结论. 【详解】点在圆: 外或， 故条件：或，又条件：， 所以的充分不必要条件. 故选：A. 8．（25-26高二上·重庆黔江·期中）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知圆与圆的半径相等，求得点关于直线的对称点，即可得圆的方程. 【详解】圆的圆心为半径. 由题意知，关于直线对称，设点的坐标为 则，解得， 所以圆的圆心坐标为 所以圆的方程为. 故选：B. 9．（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）记点，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过计算圆心到原点的距离，结合圆的半径，求出圆上点到原点距离的取值范围. 【详解】圆的圆心为，半径. 原点到圆心的距离：. 因为点在圆上，所以的最小值为，最大值为. 故的取值范围是. 故选：A.    10．（24-25高二上·重庆·阶段检测）如果实数满足，那么的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析方程得出圆心和半径，代数式表示圆上的点到原点的距离，通过数形结合得到最小值点，从而求得最小值. 【详解】是以为圆心，半径的圆， 所求代数式可以理解为求圆上的点到原点的距离， 如图： 显然最远距离和最小距离分别为圆与轴的交点和， ∴的最小值为. 故选：C. 11．（25-26高二上·江西·阶段检测）过，，三点的圆的标准方程为_______. 【答案】. 【分析】设圆的标准方程为，代入，，得到的方程组求解即可. 【详解】不妨设圆的标准方程为，由， 可解得于是圆的标准方程为. 故答案为：. 12．若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是___________ 【答案】 【分析】由题意，先求得线段的中点坐标，再求得直线的斜率为即可. 【详解】解：圆的圆心为，圆的圆心为， 则线段的中点为， 因为圆和圆关于直线对称， 所以， 所以直线的方程是，即， 故答案为： 13．（25-26高二上·江西赣州·期末）经过，两点，且圆心在直线上，则圆的方程为______． 【答案】 【分析】先确定圆心的位置，求出圆心坐标，再求出半径，进而得到圆的方程. 【详解】因为圆经过，两点，所以圆心在线段的垂直平分线上， 又线段的中点坐标为，即 所以线段的垂直平分线为直线， 联立，解得， 所以， 又半径为， 所以圆的方程为， 故答案为： 14．（24-25高二下·四川德阳·期末）已知圆：关于直线对称，则圆上任意一点到原点的距离的最小值为__________．（请用数字作答） 【答案】 【详解】由题意得，点在直线上， 因为原点到直线的距离为， 则圆心到原点的距离的最小值为， 则圆上任意一点到原点的距离的最小值为 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $