第11讲 椭圆（6大知识点+10大题型）讲义-2026年新高二数学暑假衔接进阶讲义（人教A版）

第11讲 椭圆 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：椭圆的定义 3 知识点二：椭圆的标准方程 3 知识点三：求椭圆的标准方程 3 知识点四：椭圆的简单几何性质 4 知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 4 知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较 5 03 题型精讲举一反三 7 题型 1：椭圆定义辨析 7 题型 2：椭圆标准方程求解 8 题型 3：焦点三角形问题 11 题型 4：椭圆轨迹方程求解 14 题型 5：椭圆几何性质应用 17 题型 6：椭圆离心率计算 19 题型 7：离心率取值范围求解 22 题型 8：由离心率求参数范围 25 题型 9：椭圆范围与最值 28 题型 10：椭圆综合应用 31 04 过关测试 37 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 知识点诠释： 若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 知识点诠释： （1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （4） 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. 知识点三：求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：. （2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题. 知识点四：椭圆的简单几何性质 我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b. 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）。 ③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作. ②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。 知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系. 知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 知识点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同； 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 题型 1：椭圆定义辨析 例1．（2026·高二·河北·阶段检测）已知分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上一点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】显然，，由椭圆定义可得 故选：B 例2．（2026·高二·河南驻马店·阶段检测）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据椭圆的定义可知，， 又， 解得，． 故选：A． 例3．（2026·高二·四川南充·阶段检测）已知，分别是椭圆的上、下焦点，P是该椭圆上一点，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】由椭圆方程可知， 所以椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为. 故选：B. 变式1．（2026·高二·广东汕头·期中）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（    ） A．线段 B．射线 C．椭圆 D．双曲线 【答案】A 【解析】由点的运动轨迹方程为:， 表示点到点的距离之和为6，又， 所以的轨迹为线段， 故选：A. 变式2．（2026·高二·陕西渭南·期中）已知分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上的一点，则（  ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】由椭圆的定义可得． 故选：A． 题型 2：椭圆标准方程求解 例4．（2026·高二·江苏南通·阶段检测）求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点坐标分别为，且经过点的椭圆； (2)过三点、、的圆； (3)过两点、的椭圆． 【解析】（1）依题意，椭圆的焦点在轴上，且半焦距为， 设椭圆方程为， 由椭圆过点，则，又，建立解得， 故所求椭圆的标准方程为. （2）设所求圆的一般方程为， 将已知三点的坐标代入，即得方程组，解得， 故所求圆的方程为，即. （3）设所求椭圆的方程为， 将两点坐标代入，可得，解得， 故所求椭圆的标准方程为. 例5．（2026·高二·江西上饶·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的一个焦点为，且过点，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆经过，两点，求椭圆的标准方程. 【解析】（1）根据题意可知：椭圆的焦点在轴上，且，， 则，所以椭圆的标准方程为. （2）设椭圆方程为， 代入点，可得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 例6．（2026·高二·四川成都·阶段检测）求适合下列条件的椭圆的标准方程 : (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程 (2)长轴长是短轴长的3倍，且经过点； 【解析】（1）由题意设椭圆的标准方程为， 由解得：. 所以椭圆的标准方程为； （2）由题意：当椭圆的焦点位于x轴上时，设椭圆的标准方程为， 故，故，此时椭圆的标准方程为， 当椭圆的焦点位于轴上时，设椭圆的标准方程为， 故，故，此时椭圆的标准方程为. 综上所述：椭圆的标准方程为或. 变式3．（2026·高二·江苏淮安·阶段检测）分别根据下列条件求椭圆标准方程： (1)一个焦点为 (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 【解析】（1）由题知，，椭圆焦点在x轴上， 又，所以， 所以，椭圆方程为. （2）椭圆的焦点为， 设所求椭圆方程为， 则有，解得， 所以所求椭圆方程为. 变式4．（2026·高二·陕西渭南·阶段检测）求两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程. 【解析】由焦点坐标可知，为轴椭圆， 设所求椭圆的标准方程为 两焦点分别为，， 又椭圆过点，，又 ，， 所以椭圆的标准方程为. 题型 3：焦点三角形问题 例7．（2026·高二·宁夏银川·开学考试）已知为椭圆上任意一点，是它的两个焦点，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆方程为， 得，. 所以，故. 由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为， 即， 又因为两焦点间距离为， 因此，的周长为. 例8．（2026·高二·安徽合肥·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为椭圆，所以，，， 因为左、右焦点分别为，，所以利用椭圆的定义可知， ，， 的周长为， 故选：B． 例9．（2026·高二·贵州黔西南·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】D 【解析】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，的周长为，A正确； 对于B，点到直线距离的最大值为， 则面积的最大值为，B正确； 对于C，，解得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：D. 变式5．（2026·高二·河北石家庄·阶段检测）已知P是椭圆上的一点，以点P及焦点，为顶点的三角形的面积等于，则点P的横坐标的绝对值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】由题知，则，， 设，则，即， 因为，所以，即. 所以点P的横坐标的绝对值为 故选：B 变式6．（2026·高二·浙江杭州·期中）已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由题意知：， 再由余弦定理得： 代入得：， 解得：，则的面积是, 故选：D. 变式7．（2026·高二·重庆沙坪坝·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由椭圆，设上顶点为， 若存在一点使得，则， 可得，其中点为坐标原点， 所以，可得，所以. 故选：B. 题型 4：椭圆轨迹方程求解 例10．（2026·高二·全国·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为__________________ 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，所以两圆相内切于点， 设动圆的圆心为，半径为，则， ， 因此点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆（不含点）， 所以该动圆的圆心的轨迹方程为. 故答案为： 例11．（2026·高二·天津河西·期中）过圆上一动点作轴的垂线，垂足为，设，则点的轨迹方程为_____． 【答案】 【解析】设 ，，则 ， ，， ， 代入圆的方程可得： ， 故点轨迹方程为. 故答案为： 例12．已知椭圆的短轴的两个端点分别为为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是______． 【答案】 【解析】椭圆的焦点在轴上，则短轴在轴上，所以，． 设，，由为的重心，得则 又为椭圆上一动点，所以，即，所以． 当点在轴上时，不能构成三角形，所以，则， 即点的轨迹方程为． 故答案为：． 变式8．（2026·高二·河南信阳·期末）圆与的位置关系为______；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为______． 【答案】 内含 【解析】如图，依题意，圆心，半径，圆心，半径，所以，则两圆内含； 设动圆的圆心，半径为，则， 依椭圆的定义知，的轨迹为椭圆，其中， 又，所以的轨迹方程为． 故答案为：内含；． 变式9．（2026·高二·安徽·期中）已知定直线，点分别是上的动点，且，则的中点的轨迹方程为__________. 【答案】 【解析】由题：， 设，设线段中点， 则，即， 而 ， 所以，化简为. 故答案为： 变式10．（2026·高二·河北石家庄·期中）已知两点，，动点在轴上的射影为，，则动点的轨迹方程是______. 【答案】 【解析】因为，，设动点，所以在轴上的射影为， 所以， 所以， 所以， 化简为， 故答案为 变式11．（2026·高二·福建泉州·期末）已知P是圆上任一点，，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为___________. 【答案】 【解析】圆的圆心，半径，点Q在线段PA的中垂线l上，如图， 有，则， 因此点Q的轨迹是以A，C为焦点，长轴长的椭圆，则短半轴长， 所以点Q的轨迹方程为. 故答案为： 题型 5：椭圆几何性质应用 例13．（多选题）（2026·高二·湖南邵阳·阶段检测）关于椭圆，下列结论正确的是（     ） A．半长轴长为 B．半短轴长为 C．焦距为 D．离心率为 【答案】BCD 【解析】，，， ，半长轴长为，故A选项错误； 半短轴长为，故B选项正确； 焦距为，故C选项正确； 离心率为，故D选项正确. 故选：BCD. 例14．（多选题）（2026·广西柳州·一模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为6 B．的最小值为1 C．面积的最大值为 D．椭圆C的离心率为 【答案】ACD 【解析】如图： 依题意，， 所以的周长为，A选项正确； 若为椭圆上任意点，则，即， 当为椭圆长轴顶点时取等号，但P为椭圆C上异于长轴端点的动点，所以等号不成立，B选项错误； 当为椭圆短轴顶点时，的面积最大，为，C选项正确； 椭圆的离心率为，D选项正确. 故选：ACD 例15．（多选题）（2026·高二·湖南衡阳·期中）已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列说法正确的有（    ） A．实数的取值范围是 B．若椭圆的焦点在轴上，则 C．若，则周长为 D．若，则椭圆的离心率为 【答案】ABC 【解析】对于A：由题意可得且，故A正确； 对于B：若椭圆C的焦点在轴上，则，解得，所以，故B正确； 对于C：若，则，，解得，所以， 则周长为，故C正确； 对于D：若，则，椭圆C的离心率，故D错误. 变式12．（多选题）（2026·高二·浙江台州·期中）已知椭圆，则（    ） A．椭圆的长轴长为10 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为8 D．椭圆的离心率为 【答案】ACD 【解析】由题意可得， 对于A，椭圆的长轴长为10，故A正确； 对于B，椭圆的顶点为或，故B错误； 对于C，椭圆的焦距为8，故C正确； 对于D，椭圆的离心率为，故D正确. 故选：ACD. 变式13．（多选题）（2026·高二·湖南·阶段检测）已知椭圆的两个焦点为为上不与共线的点，则下列说法正确的有（   ） A．实数的取值范围是 B．若椭圆的焦点在轴上，则 C．若，则周长为 D．若，则椭圆的离心率为 【答案】BCD 【解析】对A：由题意可得且，故A错误； 对B：若椭圆的焦点在轴上，则，故B正确； 对C：若，则， 则周长为，故C正确； 对D：若，则椭圆的离心率，故D正确. 故选：BCD. 题型 6：椭圆离心率计算 例16．（2026·高三·海南·阶段检测）已知椭圆的右焦点为F，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为PF中点，若的周长为4，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由椭圆方程，可得，即长半轴, 如图所示，设椭圆左焦点为，原点是的中点，是的中点， 则是的中位线，得； 因为，椭圆半焦距. 所以的周长为：. 由，可得：， 代入，得，即，故椭圆离心率. 例17．（2026·高二·广东汕头·阶段检测）已知椭圆左､右焦点分别为为椭圆上一点，若的周长为48，且椭圆的短轴长为24，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令椭圆的半焦距为， 由的周长为48，得，即， 由椭圆的短轴长为24，得，则， 因此，解得，所以椭圆的离心率为. 例18．（2026·广东湛江·二模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 由椭圆定义得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以的离心率. 变式14．（2026·高二·山西晋城·期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由直线经过原点，且椭圆关于原点对称可知，四边形是平行四边形， 所以， 由椭圆定义得：，所以， 又因为，所以，所以， 所以椭圆的离心率. 故选：C. 变式15．（2026·高二·江西景德镇·期末）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以， 设焦距为，由可得， 由椭圆的定义可得，即，所以. 故选：B 变式16．（2026·高二·河北唐山·期末）椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意及椭圆的定义可知，即， 又，， 则离心率为. 故选：D. 题型 7：离心率取值范围求解 例19．（2026·高二·广东江门·阶段检测）已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为以为直径的圆与椭圆有四个交点，所以， 即，，，所以，即， 又因为，所以椭圆离心率的取值范围为． 故选：A． 例20．（2026·高二·四川内江·阶段检测）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题得：，所以 故选：A． 例21．（2026·高二·江苏盐城·阶段检测）已知椭圆上有一点P，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形点P有8个，则椭圆的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，当点落在上顶点时，恰好有6个直角三角形，此时，，当椭圆变扁时，椭圆越扁，离心率越大，，此时为直角三角形点P有8个， 故选：C 变式17．（2026·高二·贵州遵义·期末）椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，，则该椭圆的离心率e的范围是 A． B．   C．   D． 【答案】B 【解析】设，则．又由于，所以， 即可得． 所以点P在以OA为直径的圆上．且椭圆与该圆有公共点． 由，代入，得．由于过点A所以有一个根为，另一个根设为，则由韦达定理可得．又因为．所以解得，而， 故选：B． 变式18．（2026·高二·北京·期中）椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当点位于短轴的端点时，最大， 要使椭圆上存在一点P满足， 只要最大时大于等于即可， 即当点位于短轴的端点时，， 所以， 又椭圆的离心率， 所以椭圆的离心率的范围是. 故选：D. 变式19．已知直线，若椭圆上的点到直线的距离的最大值与最小值之和为，则椭圆的离心率范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】联立可得（1+a2）x2+4a2x+3a2=0， 因为直线l与椭圆C相离或相切，所以=16a4﹣12a2（1+a2）≤0， ∴1<a2≤3， 设椭圆上任意一点P（acosθ，sinθ），则点到直线l的距离 ，其中， d的最小值､最大值分别为：，， 满足最大值与最小值之和为， ∴1<a2≤3， . 故选：A. 题型 8：由离心率求参数范围 例22．（2026·高二·江苏宿迁·期中）椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆方程， 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得； 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 例23．（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）设是椭圆上不同于左顶点,右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆，可得， 设，由，可得， 因为椭圆的离心率为，可得，解得， 又因为，可得. 故选：C. 例24．已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为.若椭圆的离心率为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】设，不妨设点是椭圆长轴的左端点， 则.因为椭圆的离心率， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立，故A正确. 故选：A. 变式20．（2026·高二·重庆·期末）若椭圆C：的离心率为，左顶点为A，点P，Q为C上任意两点且关于y轴对称，则直线AP和直线AQ的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知椭圆C：的离心率为， 即， 设，则，又， 故， 又，故， 故选：C 变式21．（2026·高二·四川绵阳·期末）已知，分别为椭圆的两个焦点，椭圆C上的一点P满足，且，则a的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【解析】 由正弦定理得. 又，则， 又，得， 所以，，， 所以椭圆C的离心率. 又，所以. 故选：A. 题型 9：椭圆范围与最值 例25．（2026·高二·云南红河·期中）已知椭圆的上顶点为，点是椭圆上异于顶点的一点，过作轴的垂线交椭圆于另外一点，若直线，与轴分别交于，两点，为坐标原点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】易得，设，则，. 所以直线的方程为，令，得，即. 直线的方程为，令得，即. 所以， 所以，当且仅当， 即，时等号成立，所以的最小值为. 例26．（2026·高二·安徽·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若点在椭圆上运动，则的取值范围为____________． 【答案】 【解析】由题可知，，， 令，，则， 因为，所以，即， 所以，， 当或时，取到最小值为；当时，取到最大值为， 即的取值范围是. 故答案为： 例27．（2026·高二·陕西商洛·阶段检测）已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，为定点，则的最大值是___________． 【答案】 【解析】根据椭圆的定义：， 取得最大值时，即最大. 由题意知， 如图所示：， 当，，共线，即为的延长线与椭圆的交点时取等号，所以的最大值为﹒ 故答案为： 变式22．（2026·高二·重庆·期末）已知椭圆，且，，若点是上动点，则的最大值为______． 【答案】 【解析】如图，由可得其半焦距为，即点为椭圆的上焦点，取下焦点为， 因为，所以点在椭圆内， 连接，则，则， 由图知，当且仅当三点共线且点在之间时等号成立， 故， 即的最大值为. 故答案为：. 变式23．（2026·高三·福建厦门·阶段检测）点在椭圆上，的左焦点为，点在圆上，则的最小值为___________. 【答案】/ 【解析】椭圆左焦点，右焦点， 由圆，得，半径为，如图： 由椭圆的定义可得：，则， 则， 等号成立时三点共线， 又，等号成立时三点共线， 故当四点共线时，取得最小值， 最小值为. 答案为：. 题型 10：椭圆综合应用 例28．（2026·高二·上海·期末）已知椭圆：，为坐标原点． (1)求的离心率e； (2)设点，点在上，求的最大值和最小值； 【解析】（1）设的半长轴长为，半短轴长为，半焦距为， 则，，，所以的离心率． （2）依题意，设，则，， 因此， 则当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， 所以的最大值为，最小值为. 例29．（2026·高二·江苏盐城·期末）已知椭圆：（）经过，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为1的直线交椭圆于，两点． （i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）求的最小值． 【解析】（1）因为椭圆：（）经过，所以，因为椭圆离心率为， 所以，因为，所以解得，所以椭圆：. （2）（i）由题意可得，，因为直线的斜率为，所以直线：，所以联立， 可得，化简可得，解得或， 所以，，故点到直线的距离为， 所以. （ii）设直线：，设，， 所以联立，可得， 可得，由韦达定理可得， 则，， 所以， 因为，， 所以， 即， 所以， 当时，取得最小值，即此时. 例30．（2026·高二·四川泸州·期中）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，求面积的最大值． 【解析】（1）由椭圆的离心率，得：， 又因为，所以， 椭圆的方程可化为， 将点代入椭圆方程得：，解得，则； 因此椭圆C的标准方程为； （2）设； ①当直线l的斜率不存在时，设l：，代入椭圆方程得：， 则；由得： ，解得， 此时； ②当直线l的斜率存在时，设l：， 联立，消去y得：； ；解得：； 由韦达定理得：，； 由得：， 又因为， 代入得： 将韦达定理结果代入得：； 化简得：； 所以， 代入化简得，得： 原点O到直线l的距离， 因此：； 化简：； 由基本不等式可得：，当且仅当：时，“=”成立； 即，因此，当且仅当时取等号， 综上所述，，故面积的最大值为． 变式24．（2026·高二·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，在椭圆∶上． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线过点，且与椭圆交于，两点，若点使得恒成立，求的值． 【解析】（1）由题意有，解得， 故椭圆的标准方程为． （2）若直线斜率不为0，设直线的方程为， 将直线与椭圆方程联立， 得，显然， 设，，于是由韦达定理可得： ，（*）， 因为，即，则 ，， 将（*）代入，得 整理得． 由的任意性，可得， 若直线斜率为0，取，此时，也满足题意． 故所求． 变式25．（2026·高二·上海闵行·期末）已知椭圆 ： ，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点， ，若椭圆 上存在一点 ，满足，求 的值； (3)若直线 与 交于 、 两点，且 为直角，求证：直线 恒过定点． 【解析】（1）由已知 ，则 ，又，. 得 ， ， 故椭圆的离心率为； （2）由椭圆的标准方程为 ， 则，设，则，， 由，则，解得， 则有 ，解得 ，又 ，故； （3）设，， 当直线斜率不存在时，设直线方程为 ，则，， 由 为直角，可得 ， 也即 ，解得或 （舍去）． 当斜率存在时，设直线 方程为 ，联立， 整理得 ，可得 且 为直角，可得 ， 所以 ，即 ， 整理得 ， 将式代入上式得： ， 化简得 整理得 ，可得 或 ， 当 时，直线方程为，此时直线过定点，不符合题意，舍去， 当 时，直线方程为，此时直线过定点，符合题意． 综上，直线 恒过定点． 1．（2026·高二·云南文山·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且，的面积为，则椭圆的长轴长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由椭圆的定义可知，又，可得，. 已知椭圆的离心率为，故. 在中，由余弦定理可得， 因为，所以. 则， 于是，解得， 故椭圆的长轴长为12. 2．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）已知分别为椭圆的上顶点和右顶点，为的上焦点，若中，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设坐标原点为，半焦距为，由，可知， 易知，在中， 可得，即离心率为． 3．（2026·高二·贵州毕节·阶段检测）设，分别是椭圆的焦点，点P在椭圆C上，线段的中点在x轴上，若，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设线段的中点为， 由于是线段的中点，所以， 所以， 依题意可知，三角形是等腰直角三角形， 所以， 所以. 4．（2026·高二·四川南充·期中）已知椭圆的一个焦点为，经过点的直线与椭圆交于，两点．当直线的斜率为1时，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆焦点为，得，椭圆中，由，得， 因此，椭圆的方程为. 斜率为且过点的直线方程为. 联立方程， 整理得，， 设，，由韦达定理，得，. 由弦长公式， 代入参数计算：. 5．（2026·高二·贵州毕节·期中）焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（    ） A．长轴为4 B．短轴为2 C．焦距为 D．离心率 【答案】D 【解析】设椭圆的方程为， 因为椭圆过点，，代入得，解得，， 所以椭圆的长轴长为，椭圆的短轴长为，故A和B错误； 因为，所以，所以椭圆的焦距为，故C错误； 椭圆的离心率，故D正确. 6．（2026·湖南岳阳·三模）设是椭圆的两个焦点，点在上，命题，命题：为直角三角形，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由椭圆方程得，焦距， 设，则，若成立，即， 解得或，此时三边为， 满足，故为直角三角形，即； 若成立，即为直角三角形，若直角顶点为，则， 结合得，此时成立，若直角顶点为或，则或， 的横坐标为，代入椭圆方程得，此时为， ，此时不成立，因此成立时不一定成立，即是的充分不必要条件． 7．（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线交C于P，Q两点，若为等边三角形，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设等边的边长为，可得的周长为， 由椭圆的定义，可得，所以，解得， 则， 在中，由余弦定理得， 即，整理得，即， 所以椭圆的离心率为. 8．（2026·高二·四川泸州·期中）设椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【解析】由椭圆的定义可得， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为16. 9．（2026·高三·河南·阶段检测）记椭圆1的上顶点为，右焦点为，则以为圆心，为半径的圆与的交点个数为（    ）． A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由椭圆，可得， 则，且，可得， 所以圆的方程为， 联立方程组，整理得， 解得或， 因为，所以，结合对称性知，圆与椭圆有两个交点． 10．（多选题）（2026·高二·重庆·阶段检测）已知椭圆：，下列选项正确的是（   ） A．当时，的焦点在轴上 B．的长轴长为 C．的短轴长与长轴长的平方和为定值 D．当时，的焦点在轴上 【答案】AC 【解析】对于A，时，，的焦点在轴上，故A正确； 对于B，若，则椭圆焦点在轴上， ，长轴长为：，B错误； 对于C，因为，所以，C正确； 对于D，椭圆的焦点在轴上的充分必要条件是，解得， 所以当时得不出椭圆的焦点在轴上，故D错误； 故选：AC． 11．（多选题）（2026·高二·云南文山·阶段检测）加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形的四边均与椭圆：相切，则下列说法正确的是（     ）    A．椭圆的左焦点为 B．椭圆的蒙日圆方程为 C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为14 【答案】BD 【解析】A. ，椭圆焦点坐标 ，左焦点为 ，A 错误； B.由蒙日圆公式，蒙日圆方程 ，B 正确； C.正方形四个顶点在圆 上，圆半径 ，对角线长 ，设正方形边长为 ，对角线 ，，C 错误； D.设长方形相邻顶点坐标 ，对角线为圆直径，设长方形长、宽为 ，由圆内接矩形，由均值不等式，当且仅当 （正方形）取等，面积最大值 14，D 正确. 12．（多选题）（2026·高二·湖南长沙·期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，，是椭圆长轴端点，点P是椭圆上异于长轴端点的一点，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的离心率 B．的最大值为25 C．存在点P使 D．以为直径的圆与以为直径的圆内切 【答案】ABD 【解析】对于A，由，得，，则，椭圆的离心率，故A正确； 对于B，由，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，设，则，即； ，分别是椭圆的左、右焦点，，； ，. ；故C错误； 对于D，，是椭圆长轴端点，，则以为直径的圆的圆心为原点,半径为； 设以为直径的圆的圆心为，则其半径为. 是的中点，是的中点， . 是椭圆上的点，，分别是椭圆的左、右焦点，； ，即以为直径的圆与以为直径的圆内切，故D正确. 13．（多选题）（2026·高二·吉林长春·期中）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ） A． B．离心率 C．的面积为3 D．的周长为12 【答案】ABD 【解析】由，得，则， 因为是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，故A正确； 离心率为，故B正确； 因为，所以，所以为直角三角形，，所以，故C错误； 的周长为，故D正确. 14．（2026·高二·上海·期末）已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 【答案】/ 【解析】椭圆中，，，故，焦点，. 由椭圆的定义得，即， 因此. 在中，由三角不等式得， 当且仅当三点共线且位于之间时取等号. 计算得，故. 经检验，直线与椭圆存在满足取等条件的交点，等号可取. 15．（2026·高二·上海·阶段检测）过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为______． 【答案】 【解析】 已知椭圆方程，则，因此，解得， 因此右焦点坐标为，已知直线过右焦点且倾斜角为，故直线斜率， 因此直线方程为， 设直线与椭圆交于，联立， 将代入椭圆方程并化简得，由韦达定理得， 代入弦长公式， 得. 16．（2026·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，记的左、右焦点分别为，，上下顶点为，，且是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线斜率范围. 【解析】（1）由题意知，则；由，则， 故椭圆的标准方程为； （2） 由题意知，直线的斜率存在且不为0，设其方程为， 联立，得， 由，得， 设，，则，， 则， 因为，所以，即， ∴，则或， 综上，斜率范围为. 17．（2026·高二·四川遂宁·阶段检测）已知椭圆：和圆：，点是圆上的动点，过点作椭圆的切线，切点为A，B. (1)若点的坐标为，证明：直线； (2)求O到直线的距离的范围. 【解析】（1）依题意，切线的斜率存在，设切线方程为， 由消去得，则， 设的方程两根为，则，即直线的斜率有， 所以. （2）设椭圆上点，当椭圆在点处的切线斜率存在时，设其方程为， 由消去得， 则，化简得， 而，于是，即， 解得，直线的方程为，整理得， 当直线的斜率不存在时，点或，对应的切线方程分别为或，满足上式， 因此椭圆上任意点处的切线的方程为， 则椭圆上点处的切线的方程为， 设点，显然，由于直线，都过点，即， 显然点的坐标都满足方程，于是直线的方程为， 则原点O到直线的距离，而， 则当时，，当时，， 所以点O到直线的距离的取值范围是. 18．（2026·河北沧州·三模）已知椭圆的长轴长为，由的三个顶点构成的三角形的面积为    (1)求的方程 (2)记的右顶点和上顶点分别为，，点在线段上运动，垂直于轴的直线交于点点在第一象限，为线段的中点，设直线与的另一个交点为，证明：直线过定点． 【解析】（1）由题意可知， E的三个顶点构成的三角形要么是短轴的一个顶点和长轴的两个顶点构成的三角形，面积为； 要么是短轴的两个顶点和长轴的一个顶点构成的三角形，面积为， 所以， 故E的方程为. （2）由于轴，所以不可能垂直于轴，故直线的斜率存在，故设直线的方程为，, 联立， 则 ， 直线的方程为， 当时，，所以，是的中点，所以， ，即，所以， 则， 化简得 ， 代入，得， 故，所以或， 故直线的方程为或， 由于不与重合，所以直线不经过，故直线的方程为， 此时 ， 故，此时直线过定点. 19．（2026·高二·福建厦门·期中）已知椭圆的方程为，直线：. (1)写出椭圆的焦距和离心率； (2)当时，求椭圆被截得的弦长； (3)已知与椭圆交于两点，为坐标原点，当时，求的值. 【解析】（1）由，可得，， 所以，，， 所以椭圆的焦距为2，离心率为. （2）当时，直线：， 联立 ，整理得：，， 设直线与椭圆交点坐标为，， 所以，， 则， 即椭圆被截得的弦长为. （3）设，，则，， 联立方程：，整理可得：， 因为存在两个交点，故，解得， ，， 所以， 因为，所以，所以， 即，解得，均满足， 所以的值为. 20．（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，离心率. (1)求出椭圆的标准方程； (2)过椭圆的上焦点作直线与椭圆交于，两点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由，得， 由椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为， 可得，即， 再由，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知，设点，， 当直线的斜率不存在时，，此时交点为和, 不满足，舍去； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，消去得到， 其中，且； ，，即； 因此，解得； 解得，即， 直线的方程为. 21．（2026·高二·江西吉安·阶段检测）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求的方程； (2)已知分别为的左、右顶点，是上的一个动点，且在第一象限． ①证明：直线与直线的斜率的乘积为定值． ②为坐标原点，是的上顶点，求四边形面积的最大值． 【解析】（1）由离心率，得，则. 又点在椭圆上，代入得，即， 即，解得，，故椭圆的方程为. （2）①①证明：设，则． 因为，所以直线与直线的斜率分别为． ， 所以直线与直线的斜率的乘积为定值，且定值为． ②． ② 设，则，． 四边形的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形面积的最大值为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 椭圆 目录 01 思维导图与题型归纳 2 02 基础知识梳理 3 知识点一：椭圆的定义 3 知识点二：椭圆的标准方程 3 知识点三：求椭圆的标准方程 3 知识点四：椭圆的简单几何性质 4 知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 4 知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较 5 03 题型精讲举一反三 7 题型 1：椭圆定义辨析 7 题型 2：椭圆标准方程求解 7 题型 3：焦点三角形问题 9 题型 4：椭圆轨迹方程求解 10 题型 5：椭圆几何性质应用 10 题型 6：椭圆离心率计算 11 题型 7：离心率取值范围求解 12 题型 8：由离心率求参数范围 13 题型 9：椭圆范围与最值 14 题型 10：椭圆综合应用 15 04 过关测试 17 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 知识点诠释： 若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 知识点诠释： （1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （4） 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. 知识点三：求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：. （2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题. 知识点四：椭圆的简单几何性质 我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b. 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）。 ③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作. ②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。 知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系. 知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 知识点诠释：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同； 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 题型 1：椭圆定义辨析 例1．（2026·高二·河北·阶段检测）已知分别是椭圆的左、右焦点，是该椭圆上一点，则（   ） A． B． C．2 D．4 例2．（2026·高二·河南驻马店·阶段检测）设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·高二·四川南充·阶段检测）已知，分别是椭圆的上、下焦点，P是该椭圆上一点，则（    ） A． B． C．2 D．4 变式1．（2026·高二·广东汕头·期中）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹为（    ） A．线段 B．射线 C．椭圆 D．双曲线 变式2．（2026·高二·陕西渭南·期中）已知分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上的一点，则（  ） A．6 B．4 C．3 D．2 题型 2：椭圆标准方程求解 例4．（2026·高二·江苏南通·阶段检测）求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点坐标分别为，且经过点的椭圆； (2)过三点、、的圆； (3)过两点、的椭圆． 例5．（2026·高二·江西上饶·阶段检测）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的一个焦点为，且过点，求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆经过，两点，求椭圆的标准方程. 例6．（2026·高二·四川成都·阶段检测）求适合下列条件的椭圆的标准方程 : (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程 (2)长轴长是短轴长的3倍，且经过点； 变式3．（2026·高二·江苏淮安·阶段检测）分别根据下列条件求椭圆标准方程： (1)一个焦点为 (2)与椭圆有相同的焦点，且经过点 变式4．（2026·高二·陕西渭南·阶段检测）求两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程. 题型 3：焦点三角形问题 例7．（2026·高二·宁夏银川·开学考试）已知为椭圆上任意一点，是它的两个焦点，则的周长是（   ） A． B． C． D． 例8．（2026·高二·安徽合肥·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作直线交椭圆于，两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 例9．（2026·高二·贵州黔西南·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，则下列说法错误的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 变式5．（2026·高二·河北石家庄·阶段检测）已知P是椭圆上的一点，以点P及焦点，为顶点的三角形的面积等于，则点P的横坐标的绝对值为（    ） A． B．1 C． D．2 变式6．（2026·高二·浙江杭州·期中）已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 变式7．（2026·高二·重庆沙坪坝·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型 4：椭圆轨迹方程求解 例10．（2026·高二·全国·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为__________________ 例11．（2026·高二·天津河西·期中）过圆上一动点作轴的垂线，垂足为，设，则点的轨迹方程为_____． 例12．已知椭圆的短轴的两个端点分别为为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是______． 变式8．（2026·高二·河南信阳·期末）圆与的位置关系为______；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为______． 变式9．（2026·高二·安徽·期中）已知定直线，点分别是上的动点，且，则的中点的轨迹方程为__________. 变式10．（2026·高二·河北石家庄·期中）已知两点，，动点在轴上的射影为，，则动点的轨迹方程是______. 变式11．（2026·高二·福建泉州·期末）已知P是圆上任一点，，线段PA的垂直平分线l和半径CP交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为___________. 题型 5：椭圆几何性质应用 例13．（多选题）（2026·高二·湖南邵阳·阶段检测）关于椭圆，下列结论正确的是（     ） A．半长轴长为 B．半短轴长为 C．焦距为 D．离心率为 例14．（多选题）（2026·广西柳州·一模）已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（   ） A．的周长为6 B．的最小值为1 C．面积的最大值为 D．椭圆C的离心率为 例15．（多选题）（2026·高二·湖南衡阳·期中）已知椭圆的两个焦点为，，为上不与，共线的点，则下列说法正确的有（    ） A．实数的取值范围是 B．若椭圆的焦点在轴上，则 C．若，则周长为 D．若，则椭圆的离心率为 变式12．（多选题）（2026·高二·浙江台州·期中）已知椭圆，则（    ） A．椭圆的长轴长为10 B．椭圆的一个顶点为 C．椭圆的焦距为8 D．椭圆的离心率为 变式13．（多选题）（2026·高二·湖南·阶段检测）已知椭圆的两个焦点为为上不与共线的点，则下列说法正确的有（   ） A．实数的取值范围是 B．若椭圆的焦点在轴上，则 C．若，则周长为 D．若，则椭圆的离心率为 题型 6：椭圆离心率计算 例16．（2026·高三·海南·阶段检测）已知椭圆的右焦点为F，点O为坐标原点，点P为椭圆C上一点，点Q为PF中点，若的周长为4，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 例17．（2026·高二·广东汕头·阶段检测）已知椭圆左､右焦点分别为为椭圆上一点，若的周长为48，且椭圆的短轴长为24，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 例18．（2026·广东湛江·二模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式14．（2026·高二·山西晋城·期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 变式15．（2026·高二·江西景德镇·期末）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 变式16．（2026·高二·河北唐山·期末）椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 题型 7：离心率取值范围求解 例19．（2026·高二·广东江门·阶段检测）已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（    ）． A． B． C． D． 例20．（2026·高二·四川内江·阶段检测）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例21．（2026·高二·江苏盐城·阶段检测）已知椭圆上有一点P，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形点P有8个，则椭圆的离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 变式17．（2026·高二·贵州遵义·期末）椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，，则该椭圆的离心率e的范围是 A． B．   C．   D． 变式18．（2026·高二·北京·期中）椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（ ） A． B． C． D． 变式19．已知直线，若椭圆上的点到直线的距离的最大值与最小值之和为，则椭圆的离心率范围是（    ） A． B． C． D． 题型 8：由离心率求参数范围 例22．（2026·高二·江苏宿迁·期中）椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例23．（2026·高二·江苏连云港·阶段检测）设是椭圆上不同于左顶点,右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 例24．已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为.若椭圆的离心率为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 变式20．（2026·高二·重庆·期末）若椭圆C：的离心率为，左顶点为A，点P，Q为C上任意两点且关于y轴对称，则直线AP和直线AQ的斜率之积为（    ） A． B． C． D． 变式21．（2026·高二·四川绵阳·期末）已知，分别为椭圆的两个焦点，椭圆C上的一点P满足，且，则a的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 题型 9：椭圆范围与最值 例25．（2026·高二·云南红河·期中）已知椭圆的上顶点为，点是椭圆上异于顶点的一点，过作轴的垂线交椭圆于另外一点，若直线，与轴分别交于，两点，为坐标原点，则的最小值为______. 例26．（2026·高二·安徽·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若点在椭圆上运动，则的取值范围为____________． 例27．（2026·高二·陕西商洛·阶段检测）已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，为定点，则的最大值是___________． 变式22．（2026·高二·重庆·期末）已知椭圆，且，，若点是上动点，则的最大值为______． 变式23．（2026·高三·福建厦门·阶段检测）点在椭圆上，的左焦点为，点在圆上，则的最小值为___________. 题型 10：椭圆综合应用 例28．（2026·高二·上海·期末）已知椭圆：，为坐标原点． (1)求的离心率e； (2)设点，点在上，求的最大值和最小值； 例29．（2026·高二·江苏盐城·期末）已知椭圆：（）经过，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为1的直线交椭圆于，两点． （i）若直线经过椭圆的右焦点，求的面积； （ii）求的最小值． 例30．（2026·高二·四川泸州·期中）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，求面积的最大值． 变式24．（2026·高二·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，在椭圆∶上． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线过点，且与椭圆交于，两点，若点使得恒成立，求的值． 变式25．（2026·高二·上海闵行·期末）已知椭圆 ： ，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点， ，若椭圆 上存在一点 ，满足，求 的值； (3)若直线 与 交于 、 两点，且 为直角，求证：直线 恒过定点． 1．（2026·高二·云南文山·阶段检测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，且，的面积为，则椭圆的长轴长为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·高二·安徽蚌埠·阶段检测）已知分别为椭圆的上顶点和右顶点，为的上焦点，若中，，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·高二·贵州毕节·阶段检测）设，分别是椭圆的焦点，点P在椭圆C上，线段的中点在x轴上，若，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·高二·四川南充·期中）已知椭圆的一个焦点为，经过点的直线与椭圆交于，两点．当直线的斜率为1时，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高二·贵州毕节·期中）焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（    ） A．长轴为4 B．短轴为2 C．焦距为 D．离心率 6．（2026·湖南岳阳·三模）设是椭圆的两个焦点，点在上，命题，命题：为直角三角形，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线交C于P，Q两点，若为等边三角形，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·高二·四川泸州·期中）设椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上，则的最大值为（    ） A．4 B．9 C．16 D．25 9．（2026·高三·河南·阶段检测）记椭圆1的上顶点为，右焦点为，则以为圆心，为半径的圆与的交点个数为（    ）． A．0 B．2 C．3 D．4 10．（多选题）（2026·高二·重庆·阶段检测）已知椭圆：，下列选项正确的是（   ） A．当时，的焦点在轴上 B．的长轴长为 C．的短轴长与长轴长的平方和为定值 D．当时，的焦点在轴上 11．（多选题）（2026·高二·云南文山·阶段检测）加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为时，蒙日圆方程为．已知长方形的四边均与椭圆：相切，则下列说法正确的是（     ）    A．椭圆的左焦点为 B．椭圆的蒙日圆方程为 C．若为正方形，则的边长为 D．长方形的面积的最大值为14 12．（多选题）（2026·高二·湖南长沙·期末）已知，分别是椭圆的左、右焦点，，是椭圆长轴端点，点P是椭圆上异于长轴端点的一点，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆C的离心率 B．的最大值为25 C．存在点P使 D．以为直径的圆与以为直径的圆内切 13．（多选题）（2026·高二·吉林长春·期中）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ） A． B．离心率 C．的面积为3 D．的周长为12 14．（2026·高二·上海·期末）已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________． 15．（2026·高二·上海·阶段检测）过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为______． 16．（2026·高二·辽宁葫芦岛·期末）已知椭圆的中心为坐标原点，记的左、右焦点分别为，，上下顶点为，，且是边长为2的等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点的直线与椭圆交于，两点，且，求直线斜率范围. 17．（2026·高二·四川遂宁·阶段检测）已知椭圆：和圆：，点是圆上的动点，过点作椭圆的切线，切点为A，B. (1)若点的坐标为，证明：直线； (2)求O到直线的距离的范围. 18．（2026·河北沧州·三模）已知椭圆的长轴长为，由的三个顶点构成的三角形的面积为    (1)求的方程 (2)记的右顶点和上顶点分别为，，点在线段上运动，垂直于轴的直线交于点点在第一象限，为线段的中点，设直线与的另一个交点为，证明：直线过定点． 19．（2026·高二·福建厦门·期中）已知椭圆的方程为，直线：. (1)写出椭圆的焦距和离心率； (2)当时，求椭圆被截得的弦长； (3)已知与椭圆交于两点，为坐标原点，当时，求的值. 20．（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，离心率. (1)求出椭圆的标准方程； (2)过椭圆的上焦点作直线与椭圆交于，两点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 21．（2026·高二·江西吉安·阶段检测）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求的方程； (2)已知分别为的左、右顶点，是上的一个动点，且在第一象限． ①证明：直线与直线的斜率的乘积为定值． ②为坐标原点，是的上顶点，求四边形面积的最大值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $