2.2 锐角的正切 课件 2026-2027学年湘教版 数学九年级上册

该初中数学课件聚焦锐角正切的定义及应用，从已学的正弦、余弦概念出发，通过提问“直角三角形中锐角对边与邻边的比值是否为常数”，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生自然过渡到正切概念的探究。 其亮点在于以探究为核心，通过相似直角三角形推理得出正切定义，培养推理意识，用表格系统归纳30°、45°、60°角的三角函数值，发展抽象能力，结合例题与计算器操作强化运算能力。学生能构建完整知识体系，教师可依托清晰流程高效教学。

湘教·九年级上册 2.2 锐角的正切 新课导入 如图：在Rt△ABC中， ∠C＝90°，sin A=_______； cos A=_______. 邻边b A B C 斜边c 对边a ∠A的对边与邻边的比值是否也是一个常数呢？ 探 究 探究新知 如图2.2-1，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中 ∠A=∠D=α，∠C =∠F =90°， 则 成立吗？为什么？ A B C α E F D α 图2.2-1 因为∠A=∠D =α，∠C=∠F= 90°， 所以 △ABC∽△DEF. A B C α E F D α 图2.2-1 在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 总结 如图2.2-2，在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作 tan A，即 A B C 斜边b 对边a 图2.2-2 随堂诊断 1.求出下列直角三角形中两个锐角的正切值. 解：图①，在Rt△ABC中， 随堂诊断 1.求出下列直角三角形中两个锐角的正切值. 图②，在Rt△DEF中，由勾股定理得 如何求tan 30°，tan60°的值呢？ 如图2.2-3，画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°. AC2 = AB2－BC2 = (2BC)2－BC2 = 3BC2. 由此得出AC= BC． 于是 BC= AB， ∠B=60°． 思考： A B C 30° 图2.2-3 根据勾股定理，得 如何求tan 30°，tan60°的值呢？ 思考： A B C 30° 图2.2-3 因此 试一试 求tan 45°值. A B C 45° 如图，画一个Rt△ABC，使∠C = 90°，∠A=45°. 于是 AC = BC，∠B = 45°， 因此 . 现在我们把30°，45°，60°的正弦值、余弦值、正切值列表归纳如下： α 30° 45° 60° sinα cosα tanα 记忆方法 如图，由锐角三角函数的定义可得30°、45°、60°角的三角函数值. 观 察： 观察表格中的数据，说说你有什么发现？ 例：计算：tan45°+ tan230°tan260°. 解：tan45°+ tan230°tan260° 随堂诊断 2. 计算 除30°，45°，60°外，对于一般锐角α的正切值，也可用计算器来求. 求 25°角的正切值(精确到0.000 1). 可以在计算器上依次按键 tan 2 5 显示结果 为 0.466 307 658， 因此 tan 25°≈ 0.466 3. 如果已知正切值，也可以利用计算器求出它的对应锐角. 已知 tan α =0.839 1，要求对应锐角α (精确到1°). tan 0 . 8 3 9 1 显示结果为 40.000 012 4，可得 α ≈ 40°. 依次按键 SHIFT 利用计算器计算： (1) tan21°15′≈ ___________ (精确到0.000 1) ； (2) tan89°27′≈ ___________ (精确到0.000 1)； (3) 若tan α=1.286 8，则锐角α ≈ _______(精确到0.1°) ； (4) 若tan α=108.572 9，则锐角α ≈ _____(精确到0.1°). 0.3889 104.1709 52.1° 89.5° 做一做 从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角 α ，它的正弦sin α(或余弦cos α，或正切tanα)都有唯一确定的值与它对应，并且当锐角 α 变化时，相应的sinα(cosα，tanα)的值也随之变化，习惯上把锐角的正弦、余弦和正切统称为锐角三角函数. 练习 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7， BC=5，求 tan A，tan B 的值． 解：根据题意作出Rt△ABC. A B C 4.计算： （1）1+ tan260°； （2） tan30°cos30°. 解：1+ tan260° 解：tan30°cos30° 3. 用计算器求下列锐角的正切值(精确到0.0001): （1） 9°42′； （2） 68°12′45″. 解：（1）tan9°42′ ≈ 0.170 9； （2）tan68°12′45″ ≈ 2.5108； 4. 已知下列正切值，用计算器求对应的锐 角 (精确到0.1°). （1）tan α=0.108 7； （2）tan α=89.708 1. 解：（1）α ≈ 6.2°； （2）α ≈ 89.4°. 课堂小结 在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作 tan A，即 A B C 斜边b 对边a 图2.2-2 $