主题2 第3章 热点强化课2 函数中的构造问题（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 聚焦函数构造问题，以导数性质为核心，系统构建辅助函数（差/积/商函数等）解决不等式、比较大小等问题，体现数学思维的逻辑性与创新性。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础训练组|10题|构造辅助函数（如g(x)=f(x)-2x³-2x），利用导数判断单调性、奇偶性|导数性质→函数构造→单调性/奇偶性应用→解决不等式/比较大小| |能力提升组|4题|复杂变形构造（如e²λx→xlnx·e^lnx），结合函数周期性、对称性|高阶构造技巧→多性质综合应用→解决恒成立/参数范围问题|

享学科网书城园 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时冲关19函数中的构造问题 [基础训练组] 1.己知定义在R上的函数x)满足2)=20，且x)的导函数f(x)满足f(w)>6x2十 2,则不等式w)>2x3+2x的解集为() A.{xx>-2} B.{xx>2)} C.{xx<2} D.{xx<-2或x>2} 解析：B[令函数g(x)=x)-2x3-2x,则g'(x)=(x)-6x2-2>0,所以gx)在R 上单调递增。 因为g(2)=2)-2×23-2×2=0,所昕以原不等式等价于g(w)>0=g(2), 所以所求不等式的解集为{xx>2}.] 2.已知a,b,c∈，且=-5na,=-3nb,=-2lnc,则() A.b<c<a B.c<b<a C.a<c<b D.a<b<c 解析：A[设函数x)=xnx,f()=1+lnx,当x∈，(x)>0,此时x)单调递增 当x∈，f(w)<0,此时fx)单调递减，由题=-5lna,=-3lnb,=-2nc,得ana= ln,bnb=ln,cnc=ln=ln,因为<<<，所以h>n>ln,则adna>cnc>blnb,且 a,b,c∈，所以a>c>b.] 3.己知x)是定义在R上的奇函数，-1)=0，当x<0时，f(x)十x)<0,则使得 x)>0成立的x的取值范围是() A.(-∞，-1)U(0,1) B.(-1,0)U(1,+∞) C.(-∞，-1)U(-1,0) D.(0,1)U(1,+∞) 解析：B[构造函数Fx)=xx), 因为x)为奇函数，所以(-x)=-x-x)=x)=Fw),所以F(x)为偶函数， 因为当x<0时，xf)+x)<0,即F'()<0, ·独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以x<0时，函数x)单调递减，x>0时，函数x)单调递增， 因为尤-1)=0，所以F(-1)=(-1-1)=0.F(1)=0.因为x)>0,所以>0， 所以或所以x>1或-1<x<0.] 4.x)在(0，+∞)上的导函数为f(),f()>2fx),则下列不等式成立的是() A.20242025)>20252f2024) B.2024f2025)<202522024) C.2024f2025)>20252024) D.20242025)<2025f2024) 解析：A[令g(x)=(x>0),则g'(c)==, xf()>2x),g')>0, ∴g(x)在(0，+o∞)上单调递增， .∴g(2024)<g(2025),即<， ∴.20242025)>20252024.] 5.设a=ln3,b=ln2,c=ln3,则a、b、c的大小关系是() A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 解析：D[构造函数x)=,其中x>0,则f(x)=, 当0<x<e时，f(x)>0,所以函数fx)在(0，e)上单调递增， 因为0<<<e,则0<f0, 即<，即n2<ln3, 所以b<c, 因为3=243<256=2，故5ln3<8n2,即ln3<ln2<n2,即a<b, 因此，c>b>a.] 6.己知a=e3,b=ln(er-2e),c=π-2，则() A.b<c<a B.b<a<c 独家授权侵权必究 学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.c<a<b D.c<b<a 解析：A[由a=e3,b=ln(er-2e), 即a=ec-2)1,b=ln(e元-2e)=ln(m-2)+1, 令fx)=e1-x(x>1),则f(x)=e1-1>0在(1，+oo)上恒成立， 故x)在(1，+∞)上单调递增， 则有fπ-2)=ec-2)-1-(-2)>1)=0,即a>c,令gx)=lnx-x+1(x>1), 则g'(x)=-1=<0在(1，+∞)上恒成立，故g(x)在(1，+o)上单调递减， 则有g(m-2)=ln(π-2)+1-（π-2）<g(1)=0,即b<c,故b<c<a] 7.设a=2ln1.01,b=-1,c=,则() A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.c<b<a 解析：D[令x)=lnx,gx)=-1, h(x)=f(x)-g(x)=In x-+1, h'(x)=-=,可以判断hx)在[0,4]上单调递增 a-b=2n1.01-+1=n1.012-+1=n1.0201-+1>ln1.02-+1=h(1.02)>h1)= 0, 所以a>b,(b+1)2-(c+1)2=1.02-2 =->0, 所以(b+1)2>(c+1)2, 又因为b=-1>0,c=>0, 所以b+1>c+1,即b>c,所以c<b<a] 8.设函数x)的定义域为(O,十∞)，f(x)是函数fx)的导函数，x)+(xln x)f(x)> 0,则下列不等关系正确的是() A.3)1og23>2) B.An<0 独家授权侵权必究· 学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 o.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.3)>29) D.K<0 解析：A[函数fx)的定义域为(O,+o),则fx)+cnxf)>0片x)+f(x)nx> 0,令gx)=x)nx,x>0,则g(x)=fx)+f(x)lnx>0,即gx)在0，+o∞)上单调递增， 对于A,g(3)>g(2),即3)h血3>2)n2÷3)1og23>2),A正确；对于B,8>g1), 即3)n>1)n1=0,B不正确；对于C,g3)<g(9),即3)ln3<9)ln9=29)ln3÷3) <2f9),C不正确；对于D,g<g1),即n<1)n1=0,有-2f<0片f>0,D不正确.] 9.已知不等式x+lnx+≥xm对x∈(1，十∞)上恒成立，则实数m的最小值为 解析：x+mnx+≥xm可变为x+≥xm-mnx→x+e≥x”-lnx", 再变形可得，ex-lne≥xm-lnx", 设fx)=x-hx(x>0),原不等式等价于 e)≥"，因为f(x)=1-=,所以函数fc)在(0,1)上单调递减，在(1，+o)上单 调递增，而x>1,ex=∈(0,1)， 当m<0时，0<xm<1,所以由e)≥x),可得e≤xm, 因为x>1,所以lnex≤nxm→≥-. 设0(w)=-(x>1),p(x)=-=,所以函数w)在(1，e)上单调递增，在(e,+∞)上单 调递减，所以o(x)ax=o(e)=-e,即-e≤l<0. 当m=0时，不等式x+≥1在x∈(1，+o)上恒成立； 当m>0时，xm>1,无论是否存在m∈(0，+o),使得e)≥x"∞在x∈(1，+oo)上 恒成立，都可判断实数m的最小值为-e. 答案：一e 10.己知定义在R上的奇函数x)满足2+x)=一)，且当x∈[0,1]时f(x)>兀，则 不等式fw)≤sinπx在[一3,3]上的解集为 解析：因为x)为定义在R上的奇函数， 则-x)=-w),且0)=0， ·独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以f2+x)=-x)=-x), 则f4+)=-x+2)=x), 所以函数x)为周期为4的函数，且图象关于x=1对称. 令g(x)=fx)-πr,x∈[0,1]， 则g'(x)=f(x)-π>0， 所以函数g(x)在[0,1]上单调递增 所以当x∈[0,1]时，gx)≥g(0)=0, 即fx)≥πx, 设hx)=sin-,x∈[0,1]， 则h'(x)=πcos-兀=π(cosx-1)≤0， 所以函数(x)在[0,1]上单调递减， 则当x∈[0,1]时，h(x)≤h(0)=0, 即sinx≤πx, 所以fx)≥sinx在[0,1]上恒成立， 结合对称性可画出函数x)和y=sin兀r在 [-3,3]上的简图，如图所示： v=f(x) 由图象可知，不等式fx)≤sinx在[-3,3]上的解集为[-2,0]U[2,3]. 答案：[-2,0]U[2,3] [能力提升组] 11.已知函数x)是定义在R上的偶函数，其导函数为fx),且当x<0时，2xw)十 xf(x)<0,则不等式(x-2024)x-2024)一-1)0的解集为() 独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.(-∞，2025) B.(2023,2025) C.(-∞，2025)U(2023,+∞) D.(-∞，2023)U(2025,+∞) 解析：D[令Fx)=xx), 则F'(x)=2xfx)+xf(w)=x[2X)+Xfx)],当x<0时，2)+xf(x)<0, 所以当x<0时，F'()=x[2x)+x(X]>0,即Fx)在(-∞，0)上是增函数， 由题意x)是定义在R上的偶函数，所以-x)=x),所以F(-x)=(-x)-x)=xx) =Fx),所以Fx)是偶函数，在(0，+∞)递减，所以Fx-2024)=(K-2024)fx-2024), F(-1)=(-1)(-1)=-1),即不等式等价为 Fx-2024)F(-1),所以x-2024>1, 所以x<2023或x>2025.] 12.已知可导函数fx)是定义在上的奇函数.当x∈时，x)十fx)anx>0,则不等 式cosx:f什sinx-x)>0的解集为() A. B. c D 解析：D[当x∈时，fx)+f(c)tanx>0,则cosx)+f(x)sinx>0, 则函数sxx)在上单调递增，又可导函数x)是定义在上的奇函数 则sixx)是上的偶函数，且在上单调递减， 由可得x∈， 则x+∈，-x∈， 则x∈时，不等式cos x:f+sinx(-x)>0, 可化为sinf>sin(-x)-x), 又由函数smfx)在上单调递增，且-x∈，x+∈， 则有>x+>-x>0, 独家授权侵权必究· 学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解之得-<x<0.] 13.已知1>0，对任意的x∈(0，+∞)，不等式e2-≥0恒成立，则1的最小值为 解析：.对于任意x∈(0，+∞)，1>0，不等式e2w-≥0恒成立， .对于任意x∈(0，+o),21e2≥lnx台2xe2≥xnx=In xel x,即2lxe2≥nxex 恒成立， 当0<x≤1时，2xe2>0≥In x.ex; 当x>1,nx>0, 设fx)=xe,则f(x)=e(1+x)>0,所以fx)=xe在x∈(0，+oo)上单调递增， 由2x)≥nx),知2x≥nx,即1≥，即1≥max, 设g(x)=,x∈(0，+∞)，求导g'()=,令g'(x)=0,得x=e, 当x>e时，g'(w)<0,g(x)单调递减；当0<x<e时，g'(w)>0,g(x)单调递增； ∴g(x)在x=e处取得极大值，且为最大值，gx)max=g(e)==. 所以1≥时，不等式e2-≥0恒成立. 答案： 14.若关于x的不等式anx+l≤x(e一)(a∈R)恒成立，则a的取值范围是 解析：anx+l≤x(e-,整理为xe--adnx-1≥0，其中xe=ex.e=ex+mx, 故e+m-ax+h)-1≥0，令x+lnx=t∈R,则e-t-1≥0，f)=e-at-l,注意到 0)=0,其中f(0=e-a,当a=1时，令f)>0,解得t>0,令f(⑥<0，解得t< 0,则)≥0)=0，满足题意； 当a>1时，令f()>0,得t>lna,令f()<0,得t<na,则)=e-at-1在n a,+∞)上单调递增，在(-∞，nad上单调递减，且lna>0,0)=0,所以当t∈(0，n 时， )<0)=0,不合题意，舍去； 故不满足题意，舍去； 独家授权侵权必究 学科网书城圆 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当0<a<1时，令f④>0，得t>na,令f)<0,得t<lna,所以f)在(-∞， lna)上单调递减，在(na,+∞)上单调递增，且ha<0,0)=0,所以当t∈(na0)时， f0<0)=0,不合题意，舍去；当a≤0时，-1)=e1+a-1<0,故不合题意，舍去. 综上，a的取值范围是1}. 答案：{1 ·独家授权侵权必究