主题2 第2章 热点强化课1 函数性质的综合应用（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 聚焦函数奇偶性、周期性、对称性的综合应用，通过基础与提升分层训练，构建性质转化与数形结合的解题逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础训练组|10题|奇偶性周期性综合求值、函数图象解不等式、抽象函数性质判断|以奇偶性为基础，推导周期性、对称性，形成“性质转化→区间求值→图象应用”的推理链条| |能力提升组|4题|分段函数零点问题、函数性质与方程综合、多性质交汇判断|深化性质间关联，通过数形结合解决复杂交点与最值问题，培养抽象能力与推理意识|

课时冲关9　函数性质的综合应用 [基础训练组] 1．定义在R上的奇函数f(x)满足f(2＋x)＝f(－x)，若当0＜x≤1时，f(x)＝x2－2x＋9，则f＝(　　) A．－　　 B. C．－8　　 D．8 解析：A　[由f(2＋x)＝f(－x)，令x＝，有f＝f＝f，又由f(x)为R上的奇函数，则f＝－f，再由f(2＋x)＝f(－x)，令x＝－，有f ＝f＝f.所以f＝f ＝－f－f＝－f ＝－.] 2．若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1] C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3] 解析：D　[根据题意，画出函数示意图： 当x<0，且－2≤x－1≤0，即－1≤x<0时，xf(x－1)≥0成立；当x>0，且0≤x－1≤2，即1≤x≤3时，xf(x－1)≥0成立；当x＝0时，显然成立，综上，x∈[－1,0]∪[1,3]．] 3．已知f(x)是定义在R上的函数，且f(2x－1)为偶函数，f(x－2)是奇函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则f(7)＝(　　) A．－1　　 B．－ C.　　 D．1 解析：A　[因为f(2x－1)为偶函数， 所以f(－2x－1)＝f(2x－1)， 即f(x－1)＝f(－x－1)，所以f(x)＝f(－x－2)， 又因为f(x－2)是奇函数， 所以f(－x－2)＝－f(x－2)， 即f(x)＝－f(x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x)， 则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数， 又当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1， 所以f(1)＝21－1＝1， 则f(－1)＝－f(1)＝－1， 所以f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.] 4．已知函数f(x)＝＋1，且f(a)＝5，则f(－a)＝(　　) A．2 B．3 C．－2 D．－3 解析：D　[设g(x)＝，因为g(－x)＝＝－＝－g(x)， 所以g(x)为奇函数，因为g(a)＝f(a)－1＝4，所以g(－a)＝f(－a)－1＝－4， 则f(－a)＝－3.] 5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，若f为偶函数且f(1)＝2，则f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝(　　) A．－2 B．0 C．－4 D．6 解析：B　[因为f(x)是定义在R上的奇函数， 又f为偶函数， 所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0， 且f＝f， 则f＝f， 即－f(x)＝f(x＋3)， 所以f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－f(x＋3)＝f(x)，即f(x)是以6为周期的周期函数， 由f(1)＝f(2)＝2，f(3)＝f(0)，f(4)＝－f(1)＝－2， 所以f(2 024)＝f(6×337＋2)＝f(2)＝f(1)＝2， f(2 025)＝f(6×337＋3)＝f(3)＝f(0)＝0， f(2 026)＝f(6×337＋4)＝f(4)＝－f(1)＝－2， 所以f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝0.] 6．(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1,1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　) A．－1 B. C．1 D．2 解析：D　[f(x)＝g(x)⇒a＝，注意右边是偶函数，所以若只有一个交点就只能是在x＝0处相切，于是直接代x＝0得a＝2.] 7．(多选)关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题，其中为真命题的是(　　) A．f(x)的图象关于y轴对称 B．f(x)的图象关于原点对称 C．f(x)的图象关于直线x＝对称 D．f(x)的最小值为2 解析：BC　[∵f(x)＝sin x＋的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，f(－x)＝sin (－x)＋＝－sin x－＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数，关于原点对称，故A错误，B正确； ∵f＝cos x＋， f＝cos x＋， ∴f＝f，∴f(x)的图象关于直线x＝对称，故C正确； 当x∈时，f(x)<0，故D错误．] 8．(多选)已知奇函数f(x)是定义在R上的减函数，且f(2)＝－1，若g(x)＝f(x－1)，则下列结论一定成立的是(　　) A．g(1)＝0 B．g(2)＝－ C．g(－x)＋g(x)＞0 D．g(－x＋1)＋g(x＋1)＜0 解析：AC　[因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，因为g(x)＝f(x－1)， 所以g(1)＝f(0)＝0，故A正确； 因为f(x)为定义在R上的减函数，且f(2)＝－1，f(2)＜f(1)＜f(0)， 即－1＜f(1)＜0. 所以－1＜g(2)＜0，故B不一定成立； 因为g(x)＝f(x－1)，所以g(－x)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)， 所以g(－x)＋g(x)＝－f(x＋1)＋f(x＋1)，因为f(x)是定义在R上的减函数， 所以f(x－1)＞f(x＋1)，所以f(x－1)－ f(x＋1)＞0，即g(－x)＋g(x)＞0，故C正确； 因为g(x)＝f(x－1)，所以g(－x＋1) ＝f(－x)＝－f(x)，g(x＋1)＝f(x)， 所以g(－x＋1)＋g(x＋1)＝－f(x)＋f(x)＝0，选项D错误．] 9．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，当－1≤x≤0时，f(x)＝，则方程f(x)－＝0在(0,6)内的所有根之和为________． 解析：因为奇函数y＝f(x)在－1≤x＜0时有－x∈(0,1]，即f(－x)＝＝－f(x)⇒f(x)＝， 又图象关于直线x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，即f(x)＝－f(2＋x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)是以4位周期的周期函数，作出图象如下， 显然f(x)－＝0在(0,6)内共有4个根， 且x1＋x2＋x3＋x4＝2＋10＝12. 答案：12 10．已知函数f(x)＝＋cos x·ln(x＋)在区间[－5,5]的最大值是M，最小值是m，则f(M＋m)的值为________． 解析：令g(x)＝cos x·ln(x＋)， 则f(x)＝＋g(x)， ∴f(x)和g(x)在[－5,5]上单调性相同， ∴设g(x)在[－5,5]上有最大值g(x)max，有最小值g(x)min. ∵g(－x)＝cos x·ln(－x＋)， ∴g(x)＋g(－x) ＝cos x·ln[(＋x)(－x)]＝0， ∴g(x)在[－5,5]上为奇函数， ∴g(x)max＋g(x)min＝0， ∴M＝g(x)max＋，m＝g(x)min＋， ∴M＋m＝，f(M＋m)＝f＝. 答案： [能力提升组] 11．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－x－2m＋1在区间[－2,4]内有3个零点，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：D　[当x∈[－2，－1)时，f(x)＝x＋2；当x∈[－1,0]时，f(x)＝－x；又因为x＞0时，f(x)＝2f(x－2)，所以可作出函数f(x)在[－2,4]上的图象如下： 又因为函数g(x)＝f(x)－x－2m＋1在区间[－2,4]内有3个零点，所以函数y＝f(x)与y＝x＋2m－1在区间[－2,4]内有3个不同交点，由图象可得1－2m＝－1或0＜1－2m＜2，即m＝1或－＜m＜.] 12．(多选)设函数f(x)的定义域为R，f(x－1)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，当x∈(－1,1]时，f(x)＝－x2＋1，则下列结论正确的是(　　) A．f＝－ B．f(x)在(6,8)上为减函数 C．点(3,0)是函数f(x)的一个对称中心 D．方程f(x)＋lg x＝0仅有6个实数解 解析：CD　[∵f(x－1)为奇函数，∴f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x－2)， ∴f(x)关于点(－1,0)对称； ∵f(x＋1)为偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，即f(－x)＝f(x＋2)， ∴f(x)关于x＝1对称； 由f(－x)＝－f(x－2)，f(－x)＝f(x＋2)， 得f(x＋2)＝－f(x－2)， ∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期为8的周期函数． 对于A，f＝f＝f＝－2＋1＝，A错误； 对于C，∵f(x＋6)＝－f(x＋2)＝－f(－x)，即f(x＋6)＋f(－x)＝0， ∴f(x)关于点(3,0)成中心对称，C正确； 对于BD，由周期性和对称性可得f(x)图象如图所示， 由图象可知：f(x)在(6,8)上单调递增，B错误； 方程f(x)＋lg x＝0的解的个数，等价于f(x)与y＝－lg x的交点个数， ∵f(12)＝f(4)＝－f(0)＝－1，－lg 12＜－lg 10＝－1， ∴结合图象可知：f(x)与y＝－lg x共有6个交点，即f(x)＋lg x＝0有6个实数解，D正确．] 13．已知函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，也关于点(0，－1)中心对称，则f(1)，f(2)，f(3)，…，f(2 026)的中位数为__________． 解析：由f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，也关于点(0，－1)中心对称，得f(x)＋f(2－x)＝0，f(x)＋f(－x)＝－2，两式相减得f(2－x)－f(－x)＝2，所以f(x＋2)－f(x)＝2， 由x＝1时，由f(x)＋f(2－x)＝0，得f(1)＝0； 由x＝0时，由f(x)＋f(－x)＝－2，得f(0)＝－1； 又由f(x＋2)－f(x)＝2，结合f(0)＝－1， f(1)＝0，所以f(1)，f(2)，f(3)，…，f(2 026)为首项为0，公差为1的等差数列，所以f(2 026)＝2 025，且此等差数列为递增数列，所以f(1)，f(2)，f(3)，…，f(2 026)的中位数为：＝＝. 答案： 14．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有 ①2是函数f(x)的周期； ②函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增； ③函数f(x)的最大值是1，最小值是0； ④f(x)的图象关于x＝1对称． 其中所有正确命题的序号是________． 解析：在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)， 因此2是函数f(x)的周期，故①正确； 当x∈[0,1]时，f(x)＝2x单调递增， 根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1,0]上单调递减，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增，故②正确； 由②知，f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1且f(x)是周期为2的周期函数， ∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误； f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，又T＝2， ∴f(x)＝f(x＋2)，∴f(－x)＝f(x＋2)， 故f(x)的图象关于x＝1对称，故④正确． 答案：①②④ 学科网（北京）股份有限公司 $