综合检测卷01 集合、常用逻辑用语、不等式、函数-2027届高考数学一轮复习单元集训专题

**基本信息** 以集合、常用逻辑用语、不等式、函数为核心的一轮复习综合检测，通过基础概念辨析与跨模块综合应用，构建“概念-工具-应用”逻辑链，培养抽象能力、推理意识及模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与常用逻辑用语|3题（选择1,6/解答15）|集合运算、充要条件判断、充分条件应用|以集合为基础，逻辑用语为工具，建立概念间关联| |不等式|5题（选择2,3/填空12/解答16）|比较大小、最值求解、实际应用|结合函数单调性与基本不等式，体现工具性价值| |函数|13题（选择4-5,7-11/填空13-14/解答17-19）|图像识别、奇偶性、零点、恒成立问题|覆盖性质、图像、应用，与不等式、逻辑用语综合，形成知识网络|

综合检测卷01　集合、常用逻辑用语、不等式、函数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设，，，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 3．已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 6．“”是“函数值域为”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．某疾控中心采用荧光定量PCR法检测病毒核酸，在PCR扩增的指数时期，靶标DNA数量与扩增次数满足：，其中为DNA初始数量，为扩增效率.已知某标本扩增12次后，DNA数量变为原来的200倍；若要使DNA数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（    ）（参考数据：） A．20次 B．25次 C．26次 D．27次 8．设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 10．已知函数的定义域为，为偶函数，，则有（    ） A． B．为奇函数 C． D． 11．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．有3个实数根 C．若有8个实数根，则 D．若有4个实数根，从小到大分别为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，且，则的最小值为_____________． 13．已知函数，若函数的最大值为1，则________. 14．已知函数．若关于的方程有两个不同的实数解，则满足条件的一个的值是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．集合，若命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 16．年中购物节，某快递公司将一批冷鲜产品用冷藏汽车从甲地运往相距公里处的乙地，司机工资为每小时元，装卸费为元，假设车辆运输过程中燃油消耗取决于速度：当速度为公里/小时（注公里/小时）时，单位距离的燃油消耗为升/公里，燃油价格为每升元．假设汽车匀速行驶，且不计其他成本．运输的总费用＝司机工资+装卸费+燃油成本． (1)当运输的总费用不超过元时，求汽车行驶速度的范围； (2)若要使运输的总费用最小，则汽车应以多少公里/小时的速度行驶？ 17．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若在上有且仅有4个不同的零点，求实数的取值范围． 18．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在区间上单调，求实数的取值范围. (3)求不等式的解集； 19．已知函数， (1)当时，求在上的值域； (2)若对于定义域内的任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间内单调递减，求实数的取值范围. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合检测卷01　集合、常用逻辑用语、不等式、函数 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以． 2．设，，，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，利用指数函数的单调性比较a，b，再与“1”比较即可. 【详解】，． 因为指数函数单调递增，且， 所以． 又，． 所以． 故选：B. 3．已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 4．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数奇偶性的定义与判断方法，求得为奇函数，再结合，即可得到答案. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且满足， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除B、D选项； 又由，可排除C选项，所以选项A符合题意. 5．已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，有，即，解得； 当时，有，即，解得. 综上，不等式的解集为. 6．“”是“函数值域为”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若函数的值域为，则函数与轴有交点，列出不等式求解出的范围，结合充分条件与必要条件的性质即可得解． 【详解】若函数的值域为，则函数的图象与轴有交点， 所以，则或， “”是“或”的充分不必要条件. 7．某疾控中心采用荧光定量PCR法检测病毒核酸，在PCR扩增的指数时期，靶标DNA数量与扩增次数满足：，其中为DNA初始数量，为扩增效率.已知某标本扩增12次后，DNA数量变为原来的200倍；若要使DNA数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（    ）（参考数据：） A．20次 B．25次 C．26次 D．27次 【答案】D 【分析】由条件列方程求，由题意，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得． 【详解】由题意知，当时，，代入， 得， 整理得：，也就有， 将代入， 得， 整理得：， 故，但由于扩增次数必须为整数， 故至少需要27次扩增，即. 8．设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】探讨函数的奇偶性和单调性，再借助性质求解不等式即可. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以是偶函数， 因为函数，在上单调递增， 因此函数在上单调递增， 若，则，得，解得或， 所以的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】选项B通过举出反例来说明其错误，选项A、C、D利用不等式的性质来说明其正确． 【详解】选项A：，所以，所以，故，故A正确； 选项B：当时，，故B错误； 对于C：因为，所以同号，故时，，故C正确； 对于D：由糖水不等式，所以，故D正确． 10．已知函数的定义域为，为偶函数，，则有（    ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意得到函数图象关于直线对称，关于中心对称，可判断B；得到周期为，可判断C；根据周期性和对称性可判断A；求出，结合周期性可判断D. 【详解】因为为偶函数，则，即， 所以函数图象关于直线对称， 又因为，由可化为， 所以函数图象关于中心对称，故B错误； 易知，又，所以， 故函数的周期为，故，故C正确； 又，故A正确； 易知，，故， ，故D正确. 故选：ACD. 11．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A． B．有3个实数根 C．若有8个实数根，则 D．若有4个实数根，从小到大分别为，则 【答案】ACD 【分析】直接计算，根据自变量范围进行取舍即得判断AB；设，结合图象，将问题转化为方程在上有两个相异实根的问题，利用一元二次方程的根的分布列出不等式组计算即得参数范围判断C；则需要作出函数的图象，利用函数与方程的关系，结合函数的对称性和图象变换，由双勾函数的单调性即可判断D. 【详解】对于A，由题意，，故A正确； 对于B，当时，由，可得， 解得，因，故得； 当时，由可得，或， 解得或，故有x＝－2±，共四个实数根，故B错误； 对于C，设，则方程，即， 由图知，要使原方程有8个实数根，需使有两个相异实根， 且，，设， 依题意，需使， 解得，故C正确； 对于D，作出函数的图象，由时，≤5， 且，可知当时，直线与函数有两个交点； 又由时，， 当时，直线与函数均有两个交点，故由有4个实数根可得，， 由图知，， 则，解得＝4，又由解得， 由解得x＝1，则有，于是， 因函数在单调递减，故， 则，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，且，则的最小值为_____________． 【答案】/ 【详解】因为， 即①， 当且仅当，即时取等号，结合解得，， 又，等量替换不等式①中的，得， 解不等式得，或， 已知，，则， 故的最小值为． 13．已知函数，若函数的最大值为1，则________. 【答案】 【分析】根据分段函数单调性求出函数在不同区间内的范围，然后结合函数单调性和存在最大值求解. 【详解】由在上是增函数，可得在上的最大值为. 由在上是减函数，可得在上. ①若，即，此时，但该值无法取到，故函数无最大值，与题设矛盾； ②若，即，此时在上的最大值大于，不符合要求； ③若，即，此时在上的最大值为1，在上满足， 符合题意，故. 14．已知函数．若关于的方程有两个不同的实数解，则满足条件的一个的值是_____． 【答案】（满足即可） 【分析】通过分类讨论去掉绝对值，将方程转化为二次方程，分析不同区间内根的个数，结合恒为解，得到的取值范围，然后任选一个值即可. 【详解】函数定义域为， 对于方程，当时恒成立，因此是一个解. 再考虑的情况， 当时，方程化为，即， 对于方程， 当，方程无解； 当，，，即方程在仅有一解； 当时，，方程无解； 当时，即，此时，， 即方程有两个负根（时，两负根相等），此时方程在无解． 当且时，方程化为，即． 对于方程， 当，方程无解； 当，，，即方程在仅有一解； 当时，，方程无解； 当时，，此时，方程有两个负根（时，两负根相等）； 综上所述，当，方程在无解，在仅有一解，由于是一个解，符合题意； 当方程在仅有一解，在无解，由于是一个解，符合题意，所以，所以满足条件的可以是． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．集合，若命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据是的充分条件，得到，然后分情况讨论确定实数的取值范围. 【详解】由题意，. 是的充分条件，. ①当时，此时，解得，符合题意. ②当时： 若为单元素集，则，解得，此时，符合题意. 若为双元素集，则, 则有，此时无解. 综上，实数的取值范围为． 16．年中购物节，某快递公司将一批冷鲜产品用冷藏汽车从甲地运往相距公里处的乙地，司机工资为每小时元，装卸费为元，假设车辆运输过程中燃油消耗取决于速度：当速度为公里/小时（注公里/小时）时，单位距离的燃油消耗为升/公里，燃油价格为每升元．假设汽车匀速行驶，且不计其他成本．运输的总费用＝司机工资+装卸费+燃油成本． (1)当运输的总费用不超过元时，求汽车行驶速度的范围； (2)若要使运输的总费用最小，则汽车应以多少公里/小时的速度行驶？ 【答案】(1)； (2)公里/小时. 【分析】（1）通过建立总费用函数并求解不等式即可； （2）利用基本不等式计算即可得出． 【详解】（1）已知司机工资为每小时元，行驶时间为小时，所以司机工资为元， 装卸费为元， 燃油成本为单位距离燃油消耗×距离×燃油价格，即元， 则运输总费用， 化简可得，（）， 由，可得， 移项得到，即， 两边同时乘以得到， 移项化为标准二次函数形式， 两边同时除以得， 因式分解得，则有或， 第一种情况，即，无解， 第二种情况，即，结合，可得； （2）由（1）得，汽车运输的总费用与汽车行驶速度的关系为（）， 则根据基本不等式，可得， 则， 当且仅当时，等号成立， 解方程，，解得（公里/小时）， 因为，符合条件． 所以要使运输的总费用最小，则汽车应以公里/小时的速度行驶. 17．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，若在上有且仅有4个不同的零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，则，根据函数为偶函数求出上的函数解析式即可； （2）令，则只需要即可，易得为偶函数，则只需求出函数在上的最大值即可； （3）易得为偶函数，则函数在上有且仅有2个不同的零点，分离参数可得，构造函数，利用双勾函数的性质作出函数的图象即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，所以， 令，则，则， 所以； （2）对任意，不等式恒成立， 等价于对任意，不等式恒成立， 令，则只需要即可， 因为， 所以函数为偶函数， 则要求函数在上的最大值，只需求出函数在上的最大值即可， 当时，， 则， 所以； （3）因为， 所以函数为偶函数， 又，在上有且仅有4个不同的零点， 所以函数在上有且仅有2个不同的零点， 当时，， 令，分离参数可得， 令， 则函数与有两个不同的交点， 由双勾函数的性质可得，函数在上递减，在上递增， 所以， 又当时，，， 如图，做出函数的大致图象， 由图可知，，解得， 所以. 18．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在区间上单调，求实数的取值范围. (3)求不等式的解集； 【答案】(1) (2)或 (3)答案见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义以及偶函数性质分析求解即可； （2）分析可知在上单调，结合二次函数性质分析求解； （3）整理可得，分类讨论，结合一元二次不等式运算求解. 【详解】（1）由为幂函数，得，解得或， 时，为奇函数，舍去； 时，为偶函数，符合题意， 所以. （2）函数在上单调， 则有或，解得或， 所以实数的取值范围是或. （3）原不等式，即， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19．已知函数， (1)当时，求在上的值域； (2)若对于定义域内的任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间内单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先化简，利用对勾函数的性质求其值域. （2）将化为分段函数后分类讨论，分别分离参数求解. （3）先根据函数的性质缩小的取值范围，然后根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】（1）当时，. 当时，， 则，当，即时等号成立， 即在上的值域为． （2）. 当时，由，得， 因为，所以，所以，所以． 当时，由， 法一：当时，由， 得， 令，， 则， 由对勾函数的性质，可知， ，即． 综上所述，实数的取值范围． 法二：令，，则不等式化为， 由上述分析可知，只需考虑时的情况： 当时，有在上恒成立； 当时，则，故在时恒成立． 综上所述，实数的取值范围． （3）当时，，因为当时，， 所以在区间内必须恒大于等于0，且单调递减， 所以，解得． 当时，． 令，，则， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 故只需，即. 故实数的取值范围为． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $