主题2 第2章 第9节 函数模型及应用（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 聚焦函数模型实际应用，通过图像识别、运算转化、分段讨论构建“模型选择—建模求解—优化应用”的完整解题体系，强化数学建模与数据分析素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |模型识别|第1、9题|图像特征排除法|从散点图抽象函数类型，建立“形—数”对应关系| |指数对数应用|第2、3、4、7题|对数转化法|利用指对互化解决增长、衰减问题，强化运算推理| |分段函数与最优化|第5、8、11题|分段讨论法|结合实际情境构建分段函数，通过二次函数或不等式求最值| |综合应用|第16题|建模优化法|整合函数模型与实际问题，培养应用意识与决策能力|

课时冲关15　函数模型及应用 [基础训练组] 1．在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1,2，…，11)并由实验数据得到下面的散点图．由此散点图，在区间[－2,3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是(　　) A．y＝a＋bx　　　　　 B．y＝a＋bx C. y＝a＋logbx D．y＝a＋ 解析：B　[由题中散点图的定义域及函数增减性可排除C，D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型．] 2．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2023年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　) A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2026年 解析：D　[若2023年是第1年，则第n年全年投入的科研经费为1 300×1.12n万元，由1 300×1.12n>2 000，可得lg 1.3＋nlg 1.12>lg 2，所以n×0.05>0.19，得n>3.8，即n≥4，所以第4年，即2026年全年投入的科研经费开始超过2 000万元．] 3．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻．若2x＝，lg 2＝0.301 0，则x的值约为(　　) A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669 解析：A　[由2x＝，lg 2＝0.301 0，所以x＝log2＝＝＝＝≈1.322，即x的值约为1.322.] 4．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下(不含0.05)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　) A．11　　 B．22 C．227　　 D．481 解析：D　[由于L＝，所以L＝0.5×， 依题意0.45＝0.5×⇒D＝，则L＝0.5×，由L＝0.5× G·(lg 9－lg 10)＜－22，G·(lg 10－lg 9)＞22，G＞，G＞ ＝＝≈480.35，所以所需的训练迭代轮数至少为481轮．] 5．在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y(单位；人)与某产品销售单价x(单位：元)满足关系式：y＝－x＋40，其中20<x<100，m为常数，当该产品销售单价为25时，在线购买人数为2 025人；假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件；下列说法错误的是(　　) A．实数m的值为10 050 B．销售单价越低，直播在线购买人数越多 C．当x的值为30时利润最大 D．利润最大值为10 000 解析：D　[ 因为在线购买人数y(单位；人)与某产品销售单价x(单位：元)满足关系式：y＝－x＋40，单调递减，所以B正确； 将x＝25，y＝2 025代入y＝－x＋40， 可得2 025＝－25＋40，解得：m＝10 050，所以A正确； 由题意可得所得利润为： f(x)＝(x－20)＝－x2＋60x＋9 200＝－(x－30)2＋10 100， 所以当x＝30，最大利润为10 100元，C正确，D错误．] 6．已知某电子产品电池充满时的电量为3 000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过5%的电量，则x的取值范围是(　　) A．1＜x＜2 B．1＜x≤2 C．8＜x＜9 D．8≤x＜9 解析：C　[由题意得，x小时后的电量为(3 000－300x)毫安，此时转为B模式， 可得10小时后的电量为(3 000－300x)·，则由题意可得(3 000－300x)·＞3 000×0.05， 化简得(10－x)·＞0.5， 即10－x＞29－x， 令m＝10－x，则m＞2m－1， 由题意得0＜x＜10，则0＜m＜10， 令m分别为1,2时，这个不等式左右两边大小相等， 由函数y＝x和y＝2x－1的图象可知， 该不等式的解集为1＜m＜2， 所以1＜10－x＜2，得8＜x＜9.] 7．(多选)放射性物质在衰变中产生辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时间t的衰变公式，N0表示物质的初始数量，τ是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期T指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知ln 2＝0.7，下表给出了铀的三种同位素τ的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为T1，T2，T3，则(　　) 物质 τ的量纲单位 τ的值 铀234 万年 35.58 铀235 亿年 10.2 铀238 亿年 64.75 A.T＝τln 0.5 B．T与τ成正比例关系 C．T1＞T2 D．T3＞10 000T1 解析：BD　[A选项，由题意得N(t)＝，又因为N(t)＝，故，两边取对数得，ln 0.5＝－，T＝τln 2，A错误；B选项，由A可知，T与τ成正比例关系，B正确；C选项，由B可知，T与τ成正比例关系，由于铀234的τ值小于铀235的τ值，故T1＜T2，C错误；D选项，T3＝τln 2＝6.475×109ln 2，T1＝τln 2＝3.558×105ln 2， 故＝＞1，D正确．] 8．(多选)“双11”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给予优惠：(1)如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；(2)如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；(3)如果购物总额超过100元但不超过300元，则按标价给予9折优惠；(4)如果购物总额超过300元，其中300元内的按第(3)条给予优惠，超过300元的部分给予8折优惠．某人购买了部分商品，则下列说法正确的是(　　) A．如果购物总额为78元，则应付款为73元 B．如果购物总额为228元，则应付款为205.2元 C．如果购物总额为368元，则应付款为294.4元 D．如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元 解析：ABD　[购物总额为78元，则应付款为78－5＝73元，A正确；购物总额为228元，则应付款为228×0.9＝205.2元，B正确；购物总额为368元，则应付款为300×0.9＋68×0.8＝324.4元，C错误；购物时一次性全部付款442.8元，则包含购物总额300元应付的270元，还有172.8元对应购物额度为＝216，因此购物总额为300＋216＝516元，D正确．] 9．为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝t＋a；④y＝＋a中(其中a为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米． 解析：由题中散点图的走势，知模型①不合适． 曲线过点，则后三个模型的解析式分别为②y＝＋log2t；③y＝t＋；④y＝＋，当t＝1时，代入④中，得y＝，与图不符，易知拟合最好的是②. 将t＝8代入②式，得y＝＋log28＝(米)． 答案：②　 10．某种物质在时刻t (min)的浓度M (mg/L)与t的函数关系为M(t)＝art＋24(a，r为常数)．在t＝0 min和t＝1 min测得该物质的浓度分别为124 mg/L和64 mg/L，那么在t＝4 min时，该物质的浓度为________mg/L；若该物质的浓度小于24.001 mg/L，则最小的整数t的值为________(参考数据：lg 2≈0.301 0)． 解析：根据条件：ar0＋24＝124， ar＋24＝64， ∴a＝100，r＝. ∴M(t)＝100t＋24， ∴M(4)＝1004＋24＝26.56. 由100t＋24<24.001， 得t<(0.1)5， ∴lg t<lg(0.1)5， ∴tlg<－5， ∴t[lg 2－(1－lg 2)]＜－5. ∴t(2lg 2－1)＜－5，代入lg 2≈0.301，得－0.398t＜－5，解得t＞12.5. ∴最小的整数t的值是13. 答案：26.56　13 11．某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两 种优惠方案供选择： 方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折．不重复打折． 方案二：按原价计算，总金额每满5 000元减1 000元． 已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为 ______元． 解析：由方案一可知，满10人可打9折，则单人票价为270人， 由方案二可知，满5 000减1 000元，按原价计算≈16.7，则满5 000元至少凑齐17人， 17×300－ 1 000＝4 100，则单人票价为≈241， 满10 000元时，≈33.3，则需34人，单人票价为241人， 满15 000元时，＝50，人数不足， ∵241＜270，∴用方案二先购买34张票，剩余13人，不满足方案二，但满足方案一， ∴总费用为34×300－2 000＋13×300×0.9＝11 710(元)． 答案：11 710 12．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b(a>b)．在AB、AD、CD、CB上分别截取AE、AH、CG、CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？求出这个最大面积． 解：设四边形EFGH的面积为S， 由题意得S△AEH＝S△CFG＝x2， S△BEF＝S△DHG＝(a－x)·(b－x)． 由此得S＝ab－2 ＝－2x2＋(a＋b)x ＝－22＋. 函数的定义域为{x|0<x≤b}，因为a>b>0， 所以0<b<.若≤b，即a≤3b， x＝时面积S取得最大值； 若>b，即a>3b时，函数S＝－2·2＋在(0，b]上是增函数，因此，当x＝b时，面积S取得最大值ab－b2. 综上可知，若a≤3b，当x＝时，四边形EFGH的面积取得最大值；若a>3b，当x＝b时，四边形EFGH的面积取得最大值ab－b2. [能力提升组] 13．在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度v(x)与时间x的关系，若定义“速度差函数”u(x)为时间段[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图象是(　　) 解析：D　[由题意可得，当x∈[0,6]时，翼人做匀加速运动，v(x)＝80＋x，“速度差函数”u(x)＝x. 当x∈[6,10]时，翼人做匀减速运动，速度v(x)从160开始下降，一直降到80，u(x)＝160－80＝80. 当x∈[10,12]时，翼人做匀减速运动，v(x)从80开始下降，v(x)＝180－10x，u(x)＝160－(180－10x)＝10x－20. 当x∈[12,15]时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”u(x)＝160－60＝100，结合所给的图象，故D正确．] 14．(多选)市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放a(1≤a≤4，且a∈R)个单位的洗衣液在一定水量的洗衣机中，它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y＝a·m，其中当0≤x≤4时，m＝－1，当4＜x≤10时，m＝5－x.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效去污的作用．则下列结论正确的是(　　) A．一次投放4个单位的洗衣液，在2分钟时，洗衣液在水中释放的浓度为克/升 B．一次投放4个单位的洗衣液，有效去污时间可达8分钟 C．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，第8分钟洗衣液在水中释放的浓度为5克/升 D．若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，接下来的4分钟能够持续有效去污 解析：ABD　[对于A，由题意可得a＝4，当0≤x≤4时，y＝－4，当4＜x≤10时，y＝20－2x，当x＝2时，y＝－4＝，故A正确； 对于B，当0≤x≤4时，－4≥4，解得x≥0，故0≤x≤4， 当4＜x≤10时，20－2x≥4，解得x≤8， 故4＜x≤8，综上所述，0≤x≤8. 若一次投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8分钟，故B正确； 对于C，当6≤x≤10时， y＝2×＋2 ＝14－x＋－6， 当x＝8时，y＝6＋－6＝，故C错误； 对于D，∵4≤14－x≤8， ∴y＝14－x＋－6 ≥2－6＝8－6，当且仅当14－x＝，即x＝14－4时取等号， ∴y有最小值8－6≈5.3＞4，∴接下来的4分钟能够持续有效去污，故D正确．] 15．某人第一天8：00从A地开车出发，6小时后到达B地，第二天8：00从B地出发，沿原路6小时后返回A地．则在此过程中，以下说法中，正确说法的序号是________． ①一定存在某个位置E，两天经过此地的时刻相同； ②一定存在某个时刻，两天中在此刻的速度相同； ③一定存在某一段路程EF(不含A、B)，两天在此段内的平均速度相同． (以上速度不考虑方向) 解析：①设函数s(t)表示此人第一天距离A地的路程，则是一个不减的函数，设函数l(t)表示此人第二天距离A地的路程，则是一个不增的函数，其中t表示时间，s(t)、l(t)的定义域都是[0,6]，值域相同．同一坐标系画出s(t)、l(t)的图象，必有一个交点，即两天中都在此刻经过此点(如图1)，故①正确； ②画出两天的速度(自变量为时间t)函数图象并求与x轴围成的面积，就是路程，不可能一个总在另一个下方．在交点处时刻，他们的速度相等(如图2)，故②正确； ③在某个路程函数s(t)中，过s(t) 上一点作平行于t，s轴的矩形，如果四个顶点都在曲线上，则意味着速度的绝对值相等，(对角线就是割线，斜率就是平均速度)，但不是每种函数曲线都能成功，图3 显示可以，函数模型就是两个一次函数，图4显示不成功，可以构造函数模型为(这里假定时间t∈(0,6)，AB之间距离为4)， s(t)＝ l(t)＝在这个图象上经计算，找不到这样的矩形，故③错误． ∴正确的说法是①②. 答案：①② 16．土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高粱一起被称为全球五大农作物．云南人爱吃土豆，在云南土豆也称洋芋，昆明人常说“吃洋芋，长子弟”.2018年3月，在全国两会的代表通道里，云南农业大学名誉校长朱有勇院士，举着一个两公斤的土豆，向全国的媒体展示，为来自家乡的“山货”代言，他自豪地说：“北京人吃的醋溜土豆丝，5盘里有4盘是我们澜沧种的！” (1)在菜市上，听到小王叫卖：“洋芋便宜卖了，两元一斤，三元两斤，四元三斤，五元四斤，六元五斤，快来买啊！”结果一群人都在买六元五斤的．由此得到如下结论：一次购买的斤数越多，单价越低，请建立一个函数模型，来说明以上结论； (2)小王卖洋芋赚到了钱，想进行某个项目的投资，约定如下：①投资金额固定；②投资年数可自由选择，但最短3年，最长不超过10年；③投资年数x(x∈N＋)与总回报y的关系，可选择下述三种方案中的一种： 方案一：当x＝3时，y＝6，以后x每增加1时，y增加2； 方案二：y＝x2； 方案三：y＝()x. 请你根据以上材料，结合你的分析，为小王提供一个最佳投资方案． 解：(1)设顾客一次购买x斤土豆，每斤土豆的单价为f(x)元， 由题意知：f(x)＝(1≤x≤5，x∈N＋)， 因为f(x)＝＝1＋，所以y＝f(x)在[1,5]上为单调递减函数． 说明一次购买的斤数越多，单价越低． (2)根据题意，按照年数的不同取值范围，选出总回报最高的方案． 由题意可知方案一对应的解析式为y＝6＋ (x－3)×2＝2x. 列表得出三种方案所有年数的总回报，可以精确得出任意年数三种方案对应总回报的大小关系，进而可得出如下结论： 　　　投资 年数x　　 总回　　 报y　　 3 4 5 6 7 8 9 10 方案一 6 8 10 12 14 16 18 20 方案二 3 12 27 方案三 3 3 3 9 3 3 27 3 当投资年数为3～5年时，选择方案一最佳； 当投资年数为6年时，选择方案一或方案二最佳； 当投资年数为7年或8年时，选择方案二最佳； 当投资年数为9年时，选择方案二或方案三最佳； 当投资年数为10年时，选择方案三最佳． 学科网（北京）股份有限公司 $