主题2 第2章 第8节 方程解的存在性及方程的近似解（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 聚焦方程解的存在性与近似解，以二分法、函数性质为核心，通过分类讨论、数形结合构建系统性解题方法，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-4题|二分法区间判断、分段函数零点分类讨论|从函数零点概念到方程解存在性判定，形成"概念-方法-应用"链条| |综合应用|5-8题|参数问题数形结合、函数性质（奇偶性/周期性）应用|结合函数性质拓展零点个数判断，建立"性质-图象-交点"逻辑| |拓展提升|9-16题|方程转化、周期函数零点综合分析|深化参数范围与多零点问题，体现"转化-推理-验证"解题路径|

课时冲关14　方程解的存在性及方程的近似解 [基础训练组] 1．在用二分法求方程3x＋2x－10＝0在(1,2)上的近似解时，构造函数f(x)＝3x＋2x－10，依次计算得f(1)＝－5＜0，f(2)＝3＞0，f(1.5)＜0，f(1.75)＞0，f(1.625)＜0，则该近似解所在的区间是(　　) A．(1,1.5)　　　　　 B．(1.5,1.625) C．(1.625,1.75) D．(1.75,2) 解析：C　[根据已知f(1)＝－5＜0，f(1.5)＜0，f(1.625)＜0，f(1.75)＞0，f(2)＝3＞0， 根据二分法可知该近似解所在的区间是(1.625，1.75)．] 2．函数f(x)＝的零点个数为(　　) A．3　　　 B．2 C．1　　 D．0 解析：B　[当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；当x>0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2.] 3．已知函数f(x)＝则y＝f(x)－的所有零点之和为(　　) A. B. C．2 D．0 解析：D　[x≥0时，由(x－1)2－＝0，得x＝1±，x＜0时，由|x＋1|－＝0，得x＝－或x＝－，所以四个零点和为1＋＋1－－－＝0.] 4．若函数f(x)＝恰有2个零点，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，0)∪(1，＋∞)　　　 B．(0,1) C．(－∞，1) D．(0，＋∞) 解析：A　[①当a＝0时，f(x)＝则f(x)只有一个零点0，不符合题意； ②当a＜0时，作出函数f(x)的大致图象，如图1，f(x)在(－∞，0)和[0，＋∞)上各有一个零点，符合题意； ③当a＞0时，作出函数f(x)的大致图象，如图2， f(x)在[0，＋∞)上没有零点． 则f(x)在(－∞，0)上有两个零点，此时必须满足f(－1)＝1－a＜0，解得a＞1. 综上，得a＜0或a＞1. ] 5．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－kx－1有m个零点，函数y＝f(x)－x－1有n个零点，且m＋n＝7，则非零实数k的取值范围是(　　) A.　　　　　　 B．[3，＋∞) C.∪[3，＋∞) D.∪(1,3] 解析：C　[f(x)与y＝kx＋1与y＝x＋1共有7个交点，f(x)图象如图所示： 所以① 解得0＜k≤. ②解得k≥3，综上，k∈∪[3，＋∞)．] 6．函数f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x－1)为偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝，若g(x)＝f(x)－x－b有三个零点，则实数b的取值集合是(　　) A．(2k－＋1,2k＋－1)，k∈Z B.，k∈Z C．(4k－＋1,4k＋－1)，k∈Z D.，k∈Z 解析：C　[由已知得，f(－x)＝－f(x)，f(x－1)＝f(－x－1)， 则f(x＋1)＝－f(－x－1)＝－f(x－1)＝f(1－x)， 所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，关于原点对称，又f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)， 进而有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以得函数f(x)是以4为周期的周期函数． 由g(x)＝f(x)－x－b有三个零点可知，函数f(x)与函数y＝x＋b得图象有三个交点， 当直线y＝x＋b与函数f(x)图象在[0,1]上相切时，由x＋b＝，即2x2＋(2b－2)x＋b2＝0，故方程2x2＋(2b－2)x＋b2＝0有两个相等得实根． 由Δ＝0⇒(2b－2)2－4·2·b2＝0，解得b＝－1±， 当x∈[0,1]时，f(x)＝，作出函数f(x)与函数y＝x＋b的图象如图： 由图知当直线y＝x＋b与函数f(x)图象在[0,1]上相切时，b＝－1＋， 数形结合可得g(x)在[－2,2]上有三个零点时，实数b满足1－＜b＜－1＋， 再根据函数f(x)的周期为4，可得所求的实数b的范围为(4k－＋1,4k＋－1)，k∈Z.] 7．(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是(　　) A．ln x＝1－x B．ex＝ C．2－x2＝lg |x| D．cos x＝|x|＋1 解析：ABD　[对于A，设f(x)＝ln x＋x－1，易知y＝f(x)为增函数，又f(1)＝0，故ln x＝1－x有唯一解，符合；对于B，设g(x)＝ex－，易知y＝g(x)为增函数，又g＝－2＜0，g(1)＝e－1＞0，由函数零点存在定理可得ex＝有唯一解，符合；对于C，设h(x)＝x2＋lg x－2，易知y＝h(x)为增函数，由h(1)＝1－2＜0，h(2)＝2＋lg 2＞0，由函数零点存在定理可得h(x)＝x2＋lg x－2有唯一零点，又H(x)＝2－x2－lg |x|为偶函数，则2－x2＝lg|x|有两个解，不符合；对于D，因为cos x∈[－1,1]，|x|＋1≥1，当且仅当x＝0时cos x＝|x|＋1，即cos x＝|x|＋1有唯一解，符合．] 8．(多选)已知函数f(x)为定义在R上的单调函数，且f(f(x)－2x－2x)＝10.若函数g(x)＝有3个零点，则a的取值可能为(　　) A．2　　 B. C．3　　 D. 解析：BC　[因为f(x)为定义在R上的单调函数，所以存在唯一的t∈R，使得f(t)＝10， 则f(x)－2x－2x＝t，f(t)－2t－2t＝t， 即f(t)＝2t＋3t＝10， 因为函数y＝2t＋3t为增函数，且22＋3×2＝10，所以t＝2，f(x)＝2x＋2x＋2. 当x≤0时，由g(x)＝0，得a＝2x＋2；当x＞0时，由g(x)＝0，得a＝|log2x|－1. 结合函数的图象可知，若g(x)有3个零点，则a∈(2,3]．] 9．已知x0是函数f(x)＝x2ex＋ln x的零点，则·ln x0＝______. 令f(x)＝xex(x＞0)，则f(x)单调递增， 且f(x0)＝f， 所以x0＝ln，所以＝，ln x0＝－x0， 所以·ln x0＝·(－x0)＝－1. 答案：－1 10．函数f(x)＝则函数y＝f[f(x)]＋1的所有零点所构成的集合为________． 解析：由题意知f[f(x)]＝－1，由f[f(x)]＝得函数y＝f[f(x)]＋1的零点就是使f(x)＝－2或f(x)＝的x值， 解f(x)＝－2得x＝－3或x＝； 解f(x)＝得x＝－或x＝， 从而函数y＝f[f(x)]＋1的零点构成的集合为. 答案： 11．已知f(x)是以2e为周期的R上的奇函数，当x∈(0，e)时，f(x)＝ln x，若在区间[－e,3e]上关于x的方程f(x)＝kx恰好有4个不同的解，则实数k的取值范围是________． 解析：由f(x)是以2e为周期的R上的奇函数， 可得f(0)＝0，f(－e)＝f(2e－e)＝f(e)＝－f(e)， 所以f(e)＝0，f(3e)＝0， 当x∈(0，e)时，f(x)＝ln x， 可得x∈(－e,0)时，f(x)＝－ln (－x)， 作出函数f(x)在[－e,3e]上的图象， 由已知在区间[－e,3e]上关于x的方程f(x)＝kx，可得f(0)＝0，当直线y＝kx过(e，－1)，可得k＝－； 当直线y＝kx过(3e,1)，可得k＝； 由图象和在区间[－e,3e]上关于x的方程f(x)＝kx恰好有4个不同的解，可得实数k的取值范围是. 答案： 12．有一道题“若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1,1)内恰有一个零点，求实数a的取值范围”，某同学给出了如下解答：由f(－1)f(1)＝(24a－5)(24a＋3)＜0，解得－＜a＜.所以，实数a的取值范围是.上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答． 解：上述解答不正确，原解答没有考虑函数为一次函数还是二次函数的问题，即没有分类讨论a＝0和a≠0两种情况；而a≠0时，在区间(－1,1)内的零点可能不是“变号零点”． 正确解答如下： (1)当a＝0时，f(x)＝4x－1， 令f(x)＝0，得4x－1＝0， 解得x＝∈(－1,1)， ∴当a＝0时，f(x)在(－1,1)内恰有一个零点． (2)当a≠0时，Δ＝42－4×24a×(－1)＝16＋96a， ①若Δ＝0，即a＝－，则函数f(x)的图象与x轴交于点，∴x＝是(－1,1)内的唯一零点． ②若Δ＞0，即a＞－， 则ⅰ. 解得－＜a＜. ⅱ.当f(－1)＝0，即a＝时，f(x)＝5x2＋4x－1，解得x1＝－1，x2＝， ∴x＝是(－1,1)内的唯一零点． ⅲ.当f(1)＝0时，即a＝－时，f(x)＝ －3x2＋4x－1，解得x1＝1，x2＝， ∴x＝是(－1,1)内的唯一零点 综上可得，a的取值范围是∪. [能力提升组] 13．已知函数f(x)＝则f(x)在(0,10)上的零点个数为(　　) A．6　　 B．7 C．8　　 D．9 解析：B　[由题意，当0＜x≤3时，作出函数y＝|ln x|与y＝sin x的图象． 由图可知，函数y＝|ln x|与y＝sin x在(0,1)和[1,3]内各有一个交点， 所以f(x)在(0,3]上有2个零点． 由当x＞3时，f(x)＝f(x－3)，由函数周期性的性质可得 当3＜x≤6时，f(x)上有2个零点，当6＜x≤9时，f(x)上有2个零点， 当9＜x＜10时，f(x)上有1个零点， 所以f(x)在(0,10)上有7零点个数．] 14．(多选)已知实数x，y，z满足2x＝＝log2z，则下列不等式中可能成立的是(　　) A．y＜x＜z B．x＜y＜z C．y＜z＜x D．x＜z＜y 解析：ABD　[如图在同一坐标系中分别作出函数y1＝2x，y2＝，y3＝log2x的图象，依题意直线y＝k与三个函数都有交点，需判断这些交点的横坐标之间有怎样的大小关系． 由图知，有三种不同的情况：当直线y＝k在①位置时，显然有y＜x＜z； 当直线y＝k在②位置时，显然有x＜y＜z； 当直线y＝k在③位置时，显然有x＜z＜y.] 15．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x)f(1－x)＝1，则f＝______.若m，n∈R且mn＝－1，记函数g(x)＝f(x)－1，则g(x)在[m, n]上最少存在________个零点． 解析：由已知，令x＝，则ff＝1，因f(x)＞0，所以f＝1，又f(x)f(1－x)＝1⇒f(－x)f(1＋x)＝1，因f(x)为偶函数，所以f(x)f(1＋x)＝1，故f(x)＝＝f(x＋2)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，故f＝f＝f＝1； 由题意知，mn＝－1，m＜0，n＞0，且n－m＝n＋≥2①，当n＝1时，等号成立，①式说明区间长度大于等于2，而g(x)＝f(x)－1，易知x＝k＋，k∈Z是g(x)的零点，而相邻零点的距离为1，故g(x)在[m, n]上至少存在2个零点． 答案：1　2 16．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)为偶函数． (1)求k的值； (2)若方程f(x)＝log4(a·2x－a)有且只有一个根，求实数a的取值范围． 解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)， 即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx， 即(2k＋1)x＝0，∴k＝－. (2)依题意有log4(4x＋1)－x＝log4(a·2x－a)， 即 令t＝2x，则(1－a)t2＋at＋1＝0(*)， 只需其有一正根即可满足题意． ①当a＝1时，t＝－1，不合题意． ②(*)式有一正一负根t1，t2， 即 得a>1，经验证正根满足at－a>0，∴a>1. ③(*)式有相等两根，即Δ＝0⇒a＝±2－2， 此时t＝， 若a＝2(－1)，则有t＝<0，此时方程(1－a)t2＋at＋1＝0无正根，故a＝2(－1)舍去； 若a＝－2(＋1)，则有t＝>0， 因此a＝－2(＋1)． 综上所述，a>1或a＝－2－2. 学科网（北京）股份有限公司 $