专题2.14 函数与方程（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 聚焦函数零点问题，通过7类题型系统分类与分层训练，构建从基础判断到综合参数讨论的递进逻辑，培养数学思维的逻辑性与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型专练|7类28题|覆盖零点区间判断、个数求解、参数范围、嵌套函数零点等|从零点存在性（基础）到参数讨论（综合），再到多零点比较（拓展），形成完整认知链条| |分层突破|A/B/C三组|基础巩固、能力提升、真题实战三级训练|衔接教材概念与高考命题，实现知识应用到应试能力的转化|

专题2.14 函数与方程（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 函数零点所在区间的判断】 1 【题型2 求函数的零点或零点个数】 3 【题型3 根据函数零点的个数求参数】 4 【题型4 根据零点的范围求参数】 7 【题型5 嵌套函数的零点问题】 9 【题型6 用二分法求方程的近似解】 12 【题型7 多零点的大小与范围问题】 14 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 函数零点所在区间的判断】 1．（25-26高二上·山东临沂·期末）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【解答过程】因为与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，， 即，所以函数的零点所在区间是. 故选：B. 2．（25-26高一上·河北沧州·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先判断的单调性，进而使用零点存在性定理求解零点所在区间即可. 【解答过程】因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 又因为， 所以函数的零点所在区间是. 故选：B. 3．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据零点存在性定理逐项判断. 【解答过程】因为在上是连续的增函数， 对于A：时，，，不满足零点存在性定理，A错误； 对于B：，，不满足零点存在性定理，B错误； 对于C：因为，， 根据零点存在性定理，，，C正确； 对于D：，，不满足零点存在性定理，D错误； 故选：C. 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对数函数性质及零点存在性定理可得结果. 【解答过程】易知函数的定义域为且函数单调递增， 由时可知当，，即； 所以在2的右侧附近必存在一点，使得， 又，所以； 由零点存在性定理可知函数的零点所在的区间为. 故选：A. 【题型2 求函数的零点或零点个数】 5．（25-26高二下·四川雅安·期末）函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】根据函数零点的定义令，解出即可求解. 【解答过程】由题意令有，解得或， 所以的零点为和，所以有2个零点. 故选：C. 6．（25-26高一上·广东·期末）若函数有一个零点是1，则函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据的零点是1可得，代入令即可求得的零点. 【解答过程】由题意可得，可得； 可得， 令，因此， 解得或或； 因此函数的零点是. 故选：D. 7．（2026·广东·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】令，转化为求，图象交点个数即可. 【解答过程】令，则， 在同一直角坐标系中分别作出，的图象，如图所示， 观察可知，它们有3个交点，即有3个零点. 故选：D. 8．（2026·湖南长沙·三模）已知函数 ，方程 的根的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】根据解析式画出和的函数图象，判断图象交点个数即可. 【解答过程】当时， ，故是的一个周期， 又时，，则， 作出函数和的函数图象， 因， ， 结合图象可知，和的函数图象交点个数为. 故选：B. 【题型3 根据函数零点的个数求参数】 9．（2026·陕西西安·一模）已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用零点的意义将问题转化为函数的图象与直线交点，再利用数形结合求出范围. 【解答过程】由，得，因此有一个零点， 当且仅当函数的图象与直线有且仅有一个公共点， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为R， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线的图象， 观察图象知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 当时，函数的图象与直线有1个交点， 所以m的取值范围是. 故选：C. 10．（2026·湖南·二模）若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】画出函数的图象，结合图像求解即可. 【解答过程】画出的图象， 由图象可知a的范围是. 故选：D. 11．（2026·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解. 【解答过程】⑴ 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，函数图象如下： 令，，解得或， 即或，根据图象有2个解，有1个解， 所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下： 令，，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又有8个零点，所以要有3个解， 即，解得， 故选：D. 12．（2026高三·全国·专题练习）已知函数若关于的方程恰有两个不同的根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据对数有意义的条件求出，然后分和进行讨论，再利用数学结合的思想，列出不等式组进行求解即可． 【解答过程】因为对任意恒成立，所以． 当时，在上单调递减，且当时，，要使得关于的方程恰有两个不同的根，则函数的图象与直线恰有两个交点，如图，      所以，，解得． 当时，，，不满足方程有两个根，故舍去， 故选：B． 【题型4 根据零点的范围求参数】 13．（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据零点存在定理可得，解不等式求的取值范围． 【解答过程】因为的零点在内，所以，即， 解得或， 故选：A. 14．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）函数零点所在的大致区间为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出的值. 【解答过程】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，，， 故函数的零点所在区间为， 又因为函数零点所在的大致区间为，故. 故选：C. 15．（25-26高一上·河北张家口·期末）已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】判断函数的单调性，由条件结合零点的性质列不等式求的范围. 【解答过程】因为函数和在都单调递增， 所以函数在都单调递增， 又函数在区间上存在零点， 所以，故， 所以, 所以的取值范围是. 故选：D. 16．（25-26高一上·全国·课后作业）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由函数的单调性，根据零点存在性定理列不等式求解即得. 【解答过程】函数在上的图象连续不断，且为增函数， 若在区间上存在零点， 根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 【题型5 嵌套函数的零点问题】 17．（2026·贵州毕节·一模）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解题思路】由可得或，作出图形，结合图形即可求解. 【解答过程】由题意，令，解得或， 作出的图象，如图，    由图可知，直线与图象有3个交点， 直线与图象有4个交点， 所以原方程有7个解， 即函数有7个零点. 故选：C. 18．（2026·安徽池州·二模）已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求解方程，得到的表达式，再结合函数的图象，分析取不同值时方程根的个数，进而确定的取值范围. 【解答过程】令，则方程可转化为. 对进行因式分解可得，则，. 所以或. 当时，，因为指数函数在上单调递增，所以在上单调递增，且. 当时，，对其求导，. 令，即，解得（）. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得极小值，也是最小值，. 对于： 当时，，即，，解得，有个根. 因为有个互不相同的根，已经有个根，所以需要有个不同的根. 结合的图象可知，当时，与有个不同的交点，即有个不同的根. 的取值范围为. 故选：B. 19．（25-26高一下·浙江衢州·期末）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据的表达式，先画出函数图象，再令，利用数形结合即可求出函数恰有3个不同的零点时，的取值范围. 【解答过程】由，可画出函数的图象，如图所示， 易知处的函数值为，即如图中的点，所以， 令，则，由图可知， 当时，与无交点； 当时，与有2个交点； 当时，与有1个交点. 令，则，化简得，解得，， 要使函数恰有3个不同的零点， 则当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点， 满足题意，此时的取值范围为； 或者，当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点， 满足题意，此时的取值范围为， 当时，，此时只有1个零点，不合题意， 综上，函数恰有3个不同的零点时，的取值范围为. 故选：C. 20．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据解析式画出的草图，将问题化为的图像与直线和，共有6个交点，数形结合有的图像与直线有2个交点，从而得解. 【解答过程】画出函数的图像如图所示， 函数有6个零点， 等价于有6个解， 即或共有6个解， 等价于的图像与直线和直线，共有6个交点， 由图得的图像与直线有4个交点， 所以的图像与直线有2个交点， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故选：A. 【题型6 用二分法求方程的近似解】 21．（25-26高一上·吉林延边·期末）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【解题思路】由零点存在定理及二分法求解即可. 【解答过程】由表格可得，函数的零点在区间（1.75，1.8125）内， 且， 结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C． 22．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】通过二分法的精确度公式求解. 【解答过程】二分法中，经过次等分后，区间长度变为原区间长度的 ，初始区间为 ，长度为， 要满足精度 ，即：，则， 因为， 所以需要将区间等分的最少次数为次， 故选：B. 23．（25-26高一上·安徽·阶段检测）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 3 1.3418 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.85 【答案】C 【解题思路】根据表格及二分法的定义，结合精确度求零点的近似解. 【解答过程】因为，可知零点在内， 又区间长度，满足条件， 所以方程的近似解可取为. 故选：C. 24．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 【答案】C 【解题思路】由零点存在性定理结合二分法的定义即可得出答案. 【解答过程】由表格可得，， 函数的零点在之间， 结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.01)可以是1.41. 故选：C. 【题型7 多零点的大小与范围问题】 25．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将问题化为、、与的交点横坐标，画出大致函数图象，数形结合比较大小即可. 【解答过程】由题意，的零点分别为、、与的交点横坐标为，    它们的大致图象如上图示，易知，其中. 故选：A. 26．（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据零点的定义转化问题为函数与函数的交点问题，再结合图象判断大小即可. 【解答过程】由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是． 作出函数图象如图，可知． 故选：A. 27．（2026·陕西西安·二模）已知函数，若函数的四个零点从小到大排列依次为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】条件可转化为以函数的图象与函数的图象有四个交点，作函数的图象，观察图象可得，，结合条件及对勾函数性质求的范围可得结论. 【解答过程】因为函数有四个零点，所以方程有四个根， 所以方程有四个根， 所以函数的图象与函数的图象有四个交点， 作函数的图象可得 观察图象可得，，且， 所以，所以， 所以，故， 令可得，，故， 所以， 所以， 因为函数在上单调递减， 所以，即， 又， 所以， 所以的取值范围为， 故选：D. 28．（2026·四川·模拟预测）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数解析式画出函数大致图象，数形结合有且，结合解析式有、、，最后由指数函数、对勾函数性质求目标式的范围. 【解答过程】根据函数解析式，可得函数大致图象如下， 由图知，且， 由，得，即，故， 由，则，由，则， 所以，且在上单调递增， 所以. 故选：A. 一、单选题 1．（2026·河北沧州·二模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【解答过程】因为与均在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 又， ，， ， 又， 函数的零点所在区间是． 故选：B． 2．（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】易得函数在上单调递增，由求解. 【解答过程】因为函数，在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数在区间上有零点， 得即解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 3．（25-26高一·全国·课后作业）用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中的数据，可得方程的一个近似解（误差不超过0.1）为（    ） A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 【答案】B 【解题思路】由图表知，故由二分法思想再取的中点，当区间长度小于精确度时便得到近似解. 【解答过程】因为，故根据二分法的思想，知函数的零点在区间内， 但区间的长度为，因此需要取的中点1.312 5， 两个区间和中必有一个满足区间端点的函数值符号相异， 又区间的长度为，因此1.312 5是一个近似解． 故选：B. 4．（2026高一上·江苏·专题练习）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A．0 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【解题思路】由函数，，的零点分别为，得函数，，与函数的交点的横坐标分别为，结合图象及函数的对称性可求得. 【解答过程】如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，它们的图象与函数的交点的横坐标就是. 因为，互为反函数，其图象关于直线对称. 因为与垂直，所以与的中点是直线与的交点. 由得. 所以. 又，所以. 所以. 故选：B. 5．（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用零点求法可得，结合图象交点位置可判断大小，进而可得答案. 【解答过程】由得， 由得，由得. 在同一平面直角坐标系中画出的图象，由图象知. 故选：B. 6．（2026·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 【答案】C 【解题思路】根据指数函数、反比例函数的性质及图象的平移变换可知：函数与函数的图象共有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解.根据是方程的解得，再由对称性可知是方程的解，即可求解. 【解答过程】∵， ∴函数的图象由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的. 根据反比例函数的性质可知在和上单调递减，又在上单调递增， 故在同一平面直角坐标系下画出函数与函数的图象如下图所示. 由图可知：函数与函数的图象共有两个交点， 不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解. 若是方程的解，即. 又，∴是方程的解， ∴，则. 故选：C. 7．（25-26高二下·天津和平·期末）已知函数的零点分别是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由得，分别计算，由零点存在性定理得的范围，从而比较的大小关系. 【解答过程】令得，因为，所以即； ，因为，所以，所以， 又在R上单调递减，由零点存在性定理得； ，因为，所以，所以， 又函数在上单调递减，由零点存在性定理得， 所以， 故选：A. 8．（2026·河北·模拟预测）已知为定义在上的偶函数，当时，，若方程恰有6个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据偶函数的性质和函数解析式画出图像，然后结合方程的6个根求出结果即可. 【解答过程】设，由于函数为偶函数，且当时，，故的大致图象如图所示， 当时，函数的图象与直线有四个交点，横坐标分别设为，，且， 故四个方程的根的个数分别为0，0，4，2， 故方程恰有6个不同的根，因此B选项正确．容易验证取其他值时，不符合题意． 故选：B. 9．（2026·广西柳州·模拟预测）已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】分析函数的性质并作出其图象，数形结合求出实数的取值范围. 【解答过程】当时，函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为； 当时，在上递增，函数值集合为R， 在直角坐标系内作出函数的图象与直线，    由图象知，当或时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程有两个实数解. 故选：C. 二、填空题 10．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）函数的零点在区间内，则正整数__________. 【答案】 【解题思路】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【解答过程】因为定义域为， 又与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，， 所以，所以在上存在唯一零点，所以. 故答案为：. 11．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 【答案】 【解题思路】先得到零点位于，由精确到，得到近似值. 【解答过程】，且， 函数在区间内存在一个零点，故零点位于， 精确到，故零点的近似值为. 故答案为：. 12．（2026·北京海淀·三模）已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为___________． 【答案】 【解题思路】分离变量，转化成与的交点问题，作出的图像，即可得到答案. 【解答过程】易知为的零点，当时，令，得， 令，可得到，作出的图像， 如下图，依题意，只需与有两个交点即可. 由图可得. 故答案为：.    一、单选题 1．（2026·浙江·二模）定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间内的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】由题设条件可得，从而可先分析在上的零点个数为1，再结合前者可得内的零点个数. 【解答过程】因为，故，故， 即， 而当时，， 故当时，，故， 故， 当时，， 而在上为减函数，在为增函数， 故在有有且只有一个实数解为； 当时，， 而，故，此时在上无解； 故当时，，则， 结合上的性质可得在上有且只有一个实数解， 且该实数解为，在无实数解， 而且， 故在上的实数解为，，， ，共4个实数解， 故共有4个不同的零点. 故选：B. 2．（25-26高一下·浙江衢州·期中）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先画出分段函数图象，然后利用数形结合，结合韦达定理先得出，再由对数函数性质得出，所求式子可化为，换元后利用函数单调性求范围. 【解答过程】作函数的大致图象，如图， 当时，，即，化简可得， 所以，所以， 当时，又，即， 则，则， 由图形可知，即，解得， 令，又在上单调递增，所以， 故的取值范围是. 故选：C. 3．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．函数有6个零点 【答案】C 【解题思路】作出函数的图象，对于A：直接观察即可；对于B：根据图象得到，，进一步计算求解；对于C：通过求解；对于D：令，求出的根，代入，继续根据图象可求根的个数. 【解答过程】因为， 当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 作出函数的图象如下： 对于A：关于x的方程有四个不同的根， 即函数与的图象有4个交点，由图象可得，故A错误； 对于B：由图象知，所以，且， 所以， 又由， 所以，故B错误； 对于C：知，即，解得，故C正确； 对于D：对于函数，令，则， 即，因为，，， 可得， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 当时，由图可得，有个根， 综合得函数有个零点，故D错误. 故选：C. 二、填空题 4．（2026·上海闵行·一模）已知函数，若函数有三个零点，且，则的取值范围是________. 【答案】 【解题思路】由函数图象得到函数零点的关系，然后得到的取值范围.由等量关系化简，利用双勾函数的单调性求出的取值范围，从而得到的取值范围. 【解答过程】函数大致图象如下， 若，且，则 所以 ∵，当且仅当，即时取等号， 当时，，当时，， 由双勾函数的单调性可知， 即， ∴. 故答案为：. 三、解答题 5．（25-26高二下·福建福州·阶段检测）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个不相等的实根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据对数的运算及对数函数的单调性求解即可. （2）将有两个不相等的实根转化为有两个不相等的实根，结合对数函数的性质得到 ，令，则化为与有两个不同的交点，结合二次函数性质求解即可. 【解答过程】（1）由，得， 所以，即，解得， 故的取值范围为. （2）因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根， 也即有两个不相等的实根，所以，即 ， 设，即与有两个不同的交点， 的简图如下： 当时，单调递减，当时，单调递增，则， 又当时，， 所以结合图像可知， 故的取值范围为. 6．（2026·江苏南通·模拟预测）已知． (1)求的最小值； (2)若方程有两个不等的实根，求的取值范围． 【答案】(1)的最小值为 (2)的取值范围是 【解题思路】（1）对函数求导，根据导数符号判断单调性，进而求得最小值； （2）先确定是方程的一个根，将问题转化为时仅有一个实根，构造函数分析其单调性和值域，确定参数范围即可. 【解答过程】（1）函数的定义域为，. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，. 故的最小值为. （2）方程整理为，显然是方程的一个实根. 要使方程有两个不等实根，只需有且仅有一个非零实根，即时仅有一个实根. 令 ，则 . 令，则，解得. ①当时，，单调递减，此时， 且时，，时，，此时值域为， 因此当时，在有唯一解； ② 当时，，单调递减，时，，单调递增，所以在处取最小值， 当时，， 因此当时，在上有唯一解； 当时，在上无实数解； 当时，在上有2个解； 因此，满足条件. 综上，的取值范围是. 7．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）已知，函数． (1)判断的单调性，说明理由; (2)若有两个零点， ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)函数在上单调递减, 在上单调递增 (2)①;②证明见解析 【解题思路】（1）根据函数的单调性定义分类判断即得； （2）①根据函数有2个零点转化成函数与在上有2个交点，结合函数的单调性和图象趋势即得参数范围；② 将待证命题等价转化为，先证，即需证，这由在上恒成立即可得证. 【解答过程】（1）任取，且， 由 ， 当时，，，因，则， 则，故，即函数在上单调递减； 当时，，，因，则， 则，故，即函数在上单调递增. （2）①有两个零点即方程有两个正根， 即方程有两个正根，也即函数与在上有两个交点. 由（1）可得在上单调递减，在上单调递增， 且当时，，当时，，， 故需使，即实数的取值范围为； ②依题意，，，两式相减，得，即. 因，则，则，即，故得； 另一方面，要证，需证，即证①， 因，则代入①，，即，② 因且，则，，则， 则 ② 式左边大于. 设，因在上恒成立， 故② 式成立，从而① 式成立，故有， 综上，得证. 8．（2026·福建泉州·模拟预测）设a，b为实数，且，函数． (1)求函数的单调区间； (2)若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围； (3)当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点 ，满足． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用导数分类讨论和的函数单调区间; （2）转化零点问题，求的导数与单调性，确定的取值范围； （3）根据（2）的结论得，利用分析法进行证明. 【解答过程】（1）， ①若，则，所以在上单调递增； ②若，当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上可得，时，的单调递增区间为,无减区间； 时，函数的单调减区间为，单调增区间为. （2）有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解， 令，则， 记， 记， 又，所以时，时，， 则在上单调递减，上单调递增，， . 即实数的取值范围是. （3）有2个不同零点， 则，故函数的零点一定为正数. 由（2）可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为， ， 注意到函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，又由知， ， 要证，只需， 且关于的函数在上单调递增， 所以只需证， 只需证， 只需证， ，只需证在时为正， 由于，故函数单调递增， 又，故在时为正， 从而题中的不等式得证. 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【解答过程】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B. 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【解答过程】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 二、填空题 3．（2026·全国二卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解题思路】方法一：令,则即，,转化为一元二次方程有两个正根的问题. 方法二：把函数 有两个零点转化为方程有两个实数根的问题，再转化为,即函数与函数交点问题. 【解答过程】令，得，即， 方法一： 令，则，即，, 则一元二次方程有两个正根， 那么， 所以，的取值范围是. 方法二： 设，那么设，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 故答案为：. 4．（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 【答案】①②③④ 【解题思路】①，构造函数并求其单调性和奇偶性，求出的奇偶性，分在内有零点和在内无零点两种情况讨论，即可判断；②，求出在上的单调性，即可判断；③，求出在取任意实数的单调性，结合零点存在性定理即可求出时的值，即可判断；④，求出，结合单调性即可得出与直线的交点个数，即可判断. 【解答过程】由题意， ①在中，，， ，函数为偶函数， 在中，， ∴函数单调递增， ∵， ∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴函数在处取最小值，， 在中， ，为偶函数， 当在内有零点时， 即，，使得， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ，，， ∵， ∴， ∴在和处取最小值，， 在处取最大值， 当在内无零点时，， 在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得最小值，， 在处取得最大值，， 故①正确； ②当时， ，，， 由①可得，在上单调递增， ∵，， ∴，使得， ∴在中，， 此时在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取最大值， ②正确； ③同①可得推广结论， 在中，， ，为偶函数， 即，，使得，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， ∴在和处取极小值， 当时，，，， ∵在上单调递减，， ∴，使得， ∵在上单调递增，， ∴，使得， ∴当时，， ∴，有3解， 故③正确； ④由③可得， 在中，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， 在中，， ，开口向上， ∴函数，即恒成立， ∴ ∴在下方， ∵， ∴在轴上方， 此时与有4个交点， 故④正确. 故答案为：①②③④. 5．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解题思路】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【解答过程】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为：. 6．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解题思路】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得. 【解答过程】令，即， 由题可得， 当时，，有，则，不符合要求，舍去； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，或（正值舍去）， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 令，即， 故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得， 由的渐近线方程为， 即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，（负值舍去）或， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递减， 故有，解得，故符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 三、解答题 7．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】(1)不是； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【解答过程】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.14 函数与方程（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 函数零点所在区间的判断】 1 【题型2 求函数的零点或零点个数】 2 【题型3 根据函数零点的个数求参数】 2 【题型4 根据零点的范围求参数】 2 【题型5 嵌套函数的零点问题】 3 【题型6 用二分法求方程的近似解】 4 【题型7 多零点的大小与范围问题】 4 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 函数零点所在区间的判断】 1．（25-26高二上·山东临沂·期末）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·河北沧州·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【题型2 求函数的零点或零点个数】 5．（25-26高二下·四川雅安·期末）函数的零点个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26高一上·广东·期末）若函数有一个零点是1，则函数的零点是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·广东·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2026·湖南长沙·三模）已知函数 ，方程 的根的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型3 根据函数零点的个数求参数】 9．（2026·陕西西安·一模）已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·湖南·二模）若函数与直线恰有三个交点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（2026高三·全国·专题练习）已知函数若关于的方程恰有两个不同的根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 根据零点的范围求参数】 13．（25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）函数零点所在的大致区间为，则为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·河北张家口·期末）已知函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·全国·课后作业）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型5 嵌套函数的零点问题】 17．（2026·贵州毕节·一模）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 18．（2026·安徽池州·二模）已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高一下·浙江衢州·期末）已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（      ） A． B． C． D． 20．（25-26高三上·山东聊城·期末）已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数的范围是（   ） A． B． C． D． 【题型6 用二分法求方程的近似解】 21．（25-26高一上·吉林延边·期末）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： 1 1.5 1.75 1.8125 1.875 2 0.5796 1.342 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（   ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 22．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知在区间内有一个零点，若用二分法求的近似值的精确度为0.1，则需要将区间等分的最少次数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 23．（25-26高一上·安徽·阶段检测）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 3 1.3418 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.85 24．（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（   ） A．1.25 B．1.375 C．1.41 D．1.5 【题型7 多零点的大小与范围问题】 25．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 26．（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 27．（2026·陕西西安·二模）已知函数，若函数的四个零点从小到大排列依次为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 28．（2026·四川·模拟预测）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2026·河北沧州·二模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·海南海口·阶段检测）已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一·全国·课后作业）用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中的数据，可得方程的一个近似解（误差不超过0.1）为（    ） A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 4．（2026高一上·江苏·专题练习）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A．0 B．3 C．4 D．6 5．（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 7．（25-26高二下·天津和平·期末）已知函数的零点分别是，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·河北·模拟预测）已知为定义在上的偶函数，当时，，若方程恰有6个不同的根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·广西柳州·模拟预测）已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 10．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）函数的零点在区间内，则正整数__________. 11．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为，其参考数据如下： 则这个零点的近似值为___________．（精确到） 12．（2026·北京海淀·三模）已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为___________． 一、单选题 1．（2026·浙江·二模）定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间内的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26高一下·浙江衢州·期中）已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．函数有6个零点 二、填空题 4．（2026·上海闵行·一模）已知函数，若函数有三个零点，且，则的取值范围是________. 三、解答题 5．（25-26高二下·福建福州·阶段检测）已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)若有两个不相等的实根，求的取值范围． 6．（2026·江苏南通·模拟预测）已知． (1)求的最小值； (2)若方程有两个不等的实根，求的取值范围． 7．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）已知，函数． (1)判断的单调性，说明理由; (2)若有两个零点， ①求实数的取值范围； ②证明：． 8．（2026·福建泉州·模拟预测）设a，b为实数，且，函数． (1)求函数的单调区间； (2)若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围； (3)当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点 ，满足． 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 二、填空题 3．（2026·全国二卷·高考真题）若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 4．（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论： ①在上有最小值和最大值； ②，时，有最大值； ③，有3个解； ④，与有4个交点. 其中正确结论的序号是________． 5．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为__________． 6．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为__________． 三、解答题 7．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $