主题2 第2章 第6节 对数与对数函数（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 聚焦对数与对数函数核心素养，以题载法构建从定义到应用的逻辑体系，强化单调性、对称性等关键能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础训练组|12题|含概念辨析、大小比较、图象识别、零点计算、性质综合题|从对数定义（互化）到函数单调性（比较大小），再到复合函数（如ln cosx）及对称性（如f(x)对称直线），形成“定义-性质-应用”递进链，培养运算能力与逻辑推理| |能力提升组|4题|含实际应用（AI训练时间）、多选项判断、复合函数零点、恒成立问题|深化对数与指数互化（2ᵃ=5ᵇ=10）、函数建模（T=klog₂N）及参数范围分析，体现模型观念与应用意识，覆盖高考高频考法|

课时冲关12　对数与对数函数 [基础训练组] 1．已知2x＝3，log2＝y，则2x＋y＝(　　) A．3　　 B．5 C．2log23　　 D．23 解析：A　[2x＝3⇔x＝log23，y＝log2， ∴2x＋y＝2log23＋log2＝log2 ＝log28＝3.] 2．(2024·天津卷)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 解析：B　[因为y＝4.2x在R上递增，且－0.3＜0＜0.3，所以0＜4.2－0.3＜4.20＜4.20.3， 所以0＜4.2－0.3＜1＜4.20.3，即0＜a＜1＜b， 因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上递增，且0＜0.2＜1， 所以log4.20.2＜log4.21＝0，即c＜0， 所以b＞a＞c.] 3．函数y＝ln cos x的大致图象是(　　) 解析：A　[在上，t＝cos x是减函数，则y＝ln cos x是减函数，且函数值y＜0，故排除B，C；在上，t＝cos x是增函数，则y＝ln cos x是增函数，且函数值y＜0，故排除D.] 4．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．b>c>a 解析：B　[∵mlogab＝logabm，∴a＝＝＝，b＝＝＝，c＝，因为y＝log7x为增函数，所以log7 6＜log78＜log79，所以b＞a＞c.] 5．已知x1是函数f(x)＝xln x－2 024的一个零点，x2是函数g(x)＝xex－2 024的一个零点，则x1·x2的值为(　　) A．1 012 B．2 024 C．4 048 D．8 096 解析：B　[由f(x)＝xln x－2 024＝0，得ln x＝，由g(x)＝xex－2 024＝0，得ex＝， 设点A的坐标为，点B的坐标为，又因为y＝ln x与y＝ex的图象关于直线y＝x对称，且y＝的图象也关于直线y＝x对称，则点A，B关于直线y＝x对称，即kAB＝＝－＝－1，得x1·x2＝2 024.] 6．若ea＝4，eb＝25，则(　　) A．a＋b＝100 B．b－a＝e C．ab＜8ln22 D．b－a＞ln 6 解析：D　[对于A，由ea＝4，eb＝25，得a＝ln 4，b＝ln 25，所以a＋b＝ln 4＋ln 25＝ln 100，故A错误；对于B，b－a＝ln 25－ln 4＝ln ，故B错误；对于C，ab＝ln 4×ln 25＞2ln 2×ln 16＝8ln22，故C错误；对于D，b－a＝ln 25－ln 4＝ln ＞ln 6，故D正确．] 7．(多选)已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则(　　) A．f(x)在(2,6)上单调递增 B．f(x)在(2,6)上的最大值为2ln 2 C．f(x)在(2,6)上单调递减 D．y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称 解析：BD　[f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2,6)．令t＝(x－2)(6－x)，则y＝ln t．因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线x＝4，又f(x)的定义域为(2,6)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，且在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，当x＝4时，t有最大值，所以f(x)max＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2.] 8．(多选)已知函数在[1，＋∞)上先增后减，函数在(0，＋∞)上先增后减．若log2(log3x1)＝log3(log2x1)＝a＞0，log2(log4x2)＝log4(log2x2)＝b，log3(log4x3)＝log4(log3x3)＝c＞0，则(　　) A．a＞c B．b＜a C．c＜a D．a＜b 解析：BC　[∵log2(log3x1)＝log3(log2x1)＝a， ∴log3x1＝2a，log2x1＝3a，∴. 设，∵f(0)＝f(1)＝1＞0，f(2)＝81－512＜0，在[1，＋∞)上先增后减，∴a∈(1,2)． ∵log2(log4x2)＝log4(log2x2)＝b， ∴log4x2＝log2x2＝2b，log2x2＝2b＋1，log2x2＝4b， ∴4b＝2b＋1，∴b＝1. ∵log3(log4x3)＝log4(log3x3)＝c＞0， 9．若函数f(x)满足：①∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，都有＜0；②f＝f(x1)－f(x2)，则f(x)＝________(写出满足这些条件的一个函数即可)． 解析：对于条件①，不妨设x1＜x2，则x2－x1＞0， ∵＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0， ∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)为(0，＋∞)上的单调递增函数，对于条件②，刚好符合对数的运算性质，故这样的函数可以是一个单调递减的对数函数． 答案： 10．已知函数f(x)＝(x－2a)·lg的图象关于直线x＝b对称，则a＋b＝________. 解析：函数f(x)＝(x－2a)lg的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)， 由函数f(x)的图象关于直线x＝b对称， 得f(x)的定义域关于数b对称， 则b＝＝，此时必有f(－1)＝f(2)，即(－1－2a)lg 2＝(2－2a)lg，解得a＝， 此时f(1－x)＝lg＝lg＝lg＝f(x)，因此函数f(x)的图象关于直线x＝对称，即a＝，b＝满足题意，所以a＋b＝. 答案： 11．已知函数则不等式f(x)＜f(x－1)的解集为________． 解析：当x≤1时，不等式f(x)＜f(x－1)为1－x2＜1－(x－1)2，解得＜x≤1； 当1＜x≤2时，不等式f(x)＜f(x－1)为＜1－(x－1)2，易知， 1－(x－1)2≥0，解得1＜x≤2； 当x＞2时，不等式f(x)＜f(x－1)为，解得x＞2. 综上，解集为. 答案： 12．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)＝2. (1)求a的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)在区间上的最大值． 解：(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a＞0，a≠1)， ∴a＝2. 由得x∈(－1,3)， ∴函数f(x)的定义域为(－1,3)． (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x) ＝log2(1＋x)(3－x) ＝log2[－(x－1)2＋4]， ∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数； 当x∈(1,3)时，f(x)是减函数， 函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2. [能力提升组] 13．(2025·北京卷)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位：小时)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加(单位：小时)(　　) A．2 B．4 C．20 D．40 解析：B　[设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3， 由题意，T1＝klog2106＝6klog210， T2＝klog2(1.024×109)＝klog2(210×106)＝k(10＋6log210)， T3＝klog2(4.096×109)＝klog2(212×106)＝k(12＋6log210)， 因为T2－T1＝k(10＋6log210)－6klog210＝10k＝20，所以k＝2， 所以T3－T2＝k(12＋6log210)－k(10＋6log210)＝2k＝4， 所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时．故选：B.] 14．(多选)已知2a＝5b＝10，则(　　) A.＋＞1 B．a＞2b C．ab＞4 D．a＋b＞4 解析：BCD　[∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510， 对于A，＋＝＋＝log102＋log105＝log102×5＝log1010＝1，故A不正确； 对于B，∵a＝log210,2b＝2log510＝log5102＝log5100， 23＝8,24＝16,52＝25,53＝125， log28＜log210＜log216⇒3＜a＜4； log525＜log5100＜log5125⇒2＜2b＜3，a＞2b，故B正确； 对于C，ab＝log210·log510＝· ＝· ＝(1＋log25)(1＋log52) ＝1＋log25＋log52＋log25·log52 ＝2＋log25＋log52， ∵log25＞log24＝2，log52＞log51＝0， ∴ab＞2＋2＋0＝4，故C正确； 对于D，由B知，3＜a＜4,2＜2b＜3， ∴1＜b＜，∴4＜a＋b＜，故D正确．] 15．已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1有________个零点． 解析：令y＝0，则f(f(x))＝－1，设f(x)＝m，则f(f(x))＝－1等价于f(m)＝－1，则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数问题即为f(f(x))＝－1解的个数问题． 二次函数y＝x2＋4x＋1，其图象开口向上，过点(0,1)，对称轴为x＝－2，最小值为－3， 由题意得f(x)＝作出函数 f(x)的图象如图所示． 由图可知f(m)＝－1有3个根，当m＞0时，log2m＝－1，即m＝； 当m≤0时，m2＋4m＋1＝－1，即m＝－2±. 则对于f(x)＝，当log2x＝时，x＝； 当x2＋4x＋1＝时，x＝－2±，此时共有3个解． 对于f(x)＝－2＋，此时log2x＝－2＋有1个解，x2＋4x＋1＝－2＋，即(x＋2)2＝1＋有2个解． 对于f(x)＝－2－，此时log2x＝－2－有1个解，x2＋4x＋1＝－2－，即(x＋2)2＝1－＜0无解．因此，此时函数y＝f(f(x))＋1有7个零点． 答案：7 16．已知函数f(x)＝ln. (1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性； (2)对于x∈[2,6]，f(x)＝ln＞ln 恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)由>0，解得x<－1或x>1， ∴定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时， f(－x)＝ln＝ln ＝－ln ＝－f(x)， ∴f(x)＝ln 是奇函数． (2)由x∈[2,6]时，f(x)＝ln ＞ln 恒成立． ∴＞＞0，∵x∈[2,6]， ∴0<m<(x＋1)(7－x)在x∈[2,6]上成立． 令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2,6]， 由二次函数的性质可知x∈[2,3]时函数g(x)单调递增，x∈[3,6]时函数g(x)单调递减， x∈[2,6]时，g(x)min＝g(6)＝7，∴0<m<7. 学科网（北京）股份有限公司 $