第2章 第8讲 对数函数（Word练习）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

**基本信息** 以对数函数为核心，通过三级梯度训练系统构建"概念-性质-应用"逻辑链，融合定义法、单调性分析等方法，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础过关|9题|反函数定义应用、定义域不等式组求解、绝对值对数比较|从指数对数互化切入，通过定义辨析夯实基础| |B级能力提升|4题|复合函数单调性分解、参数分类讨论、恒成立问题转化|以性质应用为核心，强化函数与不等式综合思维| |C级拓广探索|2题|多函数图象比较、抽象函数奇偶性与单调性综合|立足跨知识点整合，培养数学建模与创新意识|

[对应学生用书P323] 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，解答题共30分，本试卷共97分． A级　基础过关 1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A．log2x B． C．logx D．2x-2 解析　由题意得，f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，因为f(2)＝1，所以loga2＝1.所以a＝2，所以f(x)＝log2x.故选A. 答案　A 2．函数f(x)＝＋lg (5－3x)的定义域是(　　) A． B． C． D． 解析　函数f(x)＝＋lg (5－3x)的定义域满足即x∈.故选C. 答案　C 3．已知函数f(x)＝|lg x|，若a＝f，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b 解析　因为a＝＝|－lg 4|＝lg 4，b＝＝|－lg 2|＝lg 2，c＝|lg 3|＝lg 3，且y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，所以lg 4＞lg 3＞lg 2，即a＞c＞b.故选C. 答案　C 4．函数f(x)＝log2·log4(4x2)的最小值为(　　) A．－ B．－2 C．－ D．0 解析　由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以f(x)＝(－2＋log2x)(1＋log2x)＝(log2x)2－log2x－2＝2－≥－.当log2x＝，即x＝时，函数取得最小值－.故选A. 答案　A 5．(多选)对于函数f(x)＝lg x的定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，下列结论中正确的是(　　) A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2) B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2) C．＞0 D．f＜ 解析　对于选项A，f(x1＋x2)＝lg (x1＋x2)≠lg x1·lg x2，即f(x1＋x2)≠f(x1)·f(x2)，故A错误．对于选项B，f(x1·x2)＝lg (x1x2)＝lg x1＋lg x2＝f(x1)＋f(x2)，故B正确．对于选项C，f(x)＝lg x在定义域中是增函数，＞0，故C正确．对于选项D，x1，x2＞0(x1≠x2)，利用基本不等式知f＝lg ＞lg ，又＝＝＝lg ，则f＞，故D错误．故选BC. 答案　BC 6．(多选)已知函数f(x)＝ln ，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞) 解析　f(x)＝ln ，令＞0，解得x＞或x＜－，所以f(x)的定义域为∪，又f(－x)＝ln ＝ln ＝ln -1＝－ln ＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确，B错误．又f(x)＝ln ＝ln ，令t＝1＋，t＞0且t≠1，所以y＝ln t，又t＝1＋在上单调递减，且y＝ln t为增函数，所以f(x)在上单调递减，故C正确；因为t＞0，且t≠1，所以y＝ln t的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确．故选ACD. 答案　ACD 7．已知实数a＞0，且满足53a+2＞54a+1，则不等式loga(3x＋2)＜loga(8－5x)的解集为____________． 解析　由实数a＞0，且满足53a+2＞54a+1，根据指数函数的单调性，可得3a＋2＞4a＋1，解得0＜a＜1，所以函数y＝logax为减函数，由不等式loga(3x＋2)＜loga(8－5x)，可得解得＜x＜，即不等式的解集为. 答案　 8．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)＞0，则实数a的取值范围是____________． 解析　由题意得或解得＜a＜1. 所以实数a的取值范围是. 答案　 9．(15分)已知函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数． (1)求a的值与函数f(x)的定义域； (2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)＞m恒成立，求实数m的取值范围． 解析　(1)因为函数f(x)＝log2是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 所以log2＝－log2，即log2＝log2，由＝， 解得a＝1或a＝－1(不合题意，舍去)， 所以f(x)＝log2， 令＞0，解得x＜－1或x＞1， 所以函数f(x)的定义域为{x|x＜－1，或x＞1}． (2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)， 当x＞1时，x＋1＞2，所以log2(1＋x)＞log22＝1. 因为x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)＞m恒成立， 所以m≤1，所以实数m的取值范围是(－∞，1]. B级　能力提升 10．已知函数f(x)＝log2(x＋2)，若a＞b＞c＞0，则(　　) A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 解析　，，可分别看作函数f(x)图象上的点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))与坐标原点O(0，0)连线的斜率．作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知，当a＞b＞c＞0时，＜＜.故选A. 答案　A 11．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)满足f(1)＞1，且函数y＝loga(x2－ax－1)在[2，3]上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A．(1，＋∞) B．(1，4] C． D． 解析　因为函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)满足f(1)＞1，即f(1)＝a1＞1，所以a＞1，又函数y＝loga(x2－ax－1)在[2，3]上单调递增，所以函数g(x)＝x2－ax－1在[2，3]上单调递增，所以解得a＜，所以1＜a＜.故选C. 答案　C 12．(2025·西南大学附中期末)已知实数m满足·log5m＝－1，且函数f(x)＝logm在[1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是____________． 解析　由 ·log5m＝－1，知log5m<0，则0<m<1，所以函数y＝logmx在(0，＋∞)上单调递减．令t＝1－，因为函数f(x)＝logm在[1，＋∞)上单调递减，所以t＝1－在[1，＋∞)上单调递增且函数值恒大于零， 故解得0<a<1，所以实数a的取值范围是(0，1). 答案　(0，1) 13．(15分)已知函数f(x)＝log(x2－mx－m). (1)若m＝1，求函数f(x)的定义域； (2)若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围； (3)若函数f(x)在区间(－∞，1－)上是增函数，求实数m的取值范围． 解析　(1)由题设得x2－x－1＞0，则x＞或x＜， 所以函数f(x)的定义域为∪. (2)由函数f(x)的值域为R，得(0，＋∞)是y＝x2－mx－m的值域的子集， 所以Δ＝m2＋4m≥0，解得m∈(－∞，－4]∪[0，＋∞)，即实数m的取值范围为(－∞，－4]∪[0，＋∞). (3)因为t＝x2－mx－m在上单调递减，在上单调递增，而y＝logx在定义域上单调递减， 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减， 又f(x)在(－∞，1－)上是增函数，故 可得2(1－)≤m≤2. 故实数m的取值范围是[2－2，2]. C级　拓广探索 14．(2025·全国一卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是(　　) A．x>y>z B．x>z>y C．y>x>z D．y>z>x 解析　方法一　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以令m＝2，则x＝1，y＝3-1＝，z＝5-3＝，此时x>y>z，A有可能； 令m＝5，则x＝8，y＝9，z＝1，此时y>x>z，C有可能； 令m＝8，则x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y>z>x，D有可能． 故选B. 方法二　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以x＝2m-2，y＝3m-3，z＝5m-5. 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数y＝2x-2，y＝3x-3，y＝5x-5的图象，以上方程的根分别是函数y＝2x-2，y＝3x-3，y＝5x-5的图象与直线x＝m的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着m的变化可能出现：x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x. 故选B. 答案　B 15．(2025·湖北咸宁阶段练习)已知函数f(x)＝2 026x－2 026－x＋log2 026(＋x)＋1 013，则关于x的不等式f(4x＋1)＋f(2x＋1)－2 026<0的解集为____________． 解析　设g(x)＝2 026x－2 026－x＋log2 026(＋x)，函数定义域为R， 则g(－x)＋g(x)＝2 026－x－2 026x＋log2 026(－x)＋2 026x－2 026－x＋log2 026(＋x)＝0，故函数g(x)为奇函数．y＝2 026x－2 026－x，y＝log2 026(＋x)在R上均单调递增，故g(x)在R上单调递增，f(x)＝g(x)＋1 013，f(4x＋1)＋f(2x＋1)－2 026<0，即g(4x＋1)＋g(2x＋1)<0，即g(4x＋1)<g(－2x－1)，即4x＋1<－2x－1，解得x<－.故不等式的解集为. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $