主题2 第2章 第5节 指数与指数函数（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 以指数函数性质为核心，通过分层训练构建"概念理解-性质应用-实际建模"的逻辑体系，渗透换元法、函数思想等解题方法，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|1-4、7-9题|单调性比较大小、奇偶性求参数、值域分析|从指数函数定义出发，结合单调性、奇偶性构建性质应用框架| |综合应用|5、10-12题|换元法解指数方程、参数分离处理恒成立问题|通过方程与函数转化，建立指数运算与二次函数的关联| |实际情境|3、6、14题|数学建模解决AI函数、生物代谢、工作效率问题|将实际问题抽象为指数模型，体现数学应用意识|

课时冲关11　指数与指数函数 [基础训练组] 1．设x＞0，且1＜bx＜ax，则(　　) A．0＜b＜a＜1　　　 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b 解析：C　[因为1＜bx，所以b0＜bx， 因为x＞0，所以b＞1，因为bx＜ax，所以x＞1， 因为x＞0，所以＞1，所以a＞b，所以1＜b＜a.] 2．函数y＝(0<a<1)图象的大致形状是(　　) 解析：D　[函数定义域为{x|x∈R，x≠0}，且y＝＝当x>0时，函数是一个指数函数，因为0<a<1，所以函数在(0，＋∞)上是减函数；故排除A，C；当x<0时，函数图象与指数函数y＝ax(x<0,0<a<1)的图象关于x轴对称，在(－∞，0)上是增函数．故排除B.] 3．自“ChatGPT”横空出世，全球科技企业掀起一场研发AI大模型的热潮，随着AI算力等硬件底座逐步搭建完善，AI大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用．Sigmoid函数和Tanh函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，Tanh函数的解析式为tanh x＝，经过某次测试得知tanh x0＝，则当把变量减半时，tanh＝(　　) A.　　 B．3 C．1　　 D.或3 4．已知函数f(x)＝是奇函数，若f(2 023)＞f(2 024)，则实数a的值为(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．0 解析：B　[因为函数f(x)＝是奇函数， 所以f(－x)＝＝＝－f(x) ＝－＝，解得a＝±1， 又因为f(x)＝＝＝1－， 所以当a＞0时，函数为增函数，当a＜0时，函数为减函数，因为f(2 023)＞f(2 024)，所以a＜0，故a＝－1.] 5．甲、乙两人解关于x的方程2x＋b·2－x＋c＝0，甲写错了常数b，得到的根为x＝－2或x＝log2，乙写错了常数c，得到的根为x＝0或x＝1，则原方程的根是(　　) A．x＝－2或x＝log23 B．x＝－1或x＝1 C．x＝0或x＝2 D．x＝－1或x＝2 解析：D　[令t＝2x，则方程2x＋b·2－x＋c＝0可化为t2＋ct＋b＝0，甲写错了常数b， 所以和是方程t2＋ct＋m＝0的两根， 所以c＝－＝－， 乙写错了常数c，所以1和2是方程t2＋nt＋b＝0的两根，所以b＝1×2＝2， 则可得方程t2－t＋2＝0，解得t1＝，t2＝4， 所以原方程的根是x＝－1或x＝2.] 6．1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇题为《body size and metabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的次幂成正比，即，其中F为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的(参考数据：≈1.778 3)(　　) A．5.4倍 B．5.5倍 C．5.6倍 D．5.7倍 解析：C　[设该哺乳动物原体重为M1、基础代谢率为F1，则， 经过一段时间生长，其体重为10M1，基础代谢率为F2，则， 7．(多选)已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，其中正确的是(　　) A．a2＋a－2＝7 B．a3＋a－3＝18 C． D．a＋＝2 解析：ABD　[在选项A中，因为a＋a－1＝3，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，故A正确；在选项B中，因为a＋a－1＝3，所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝(a＋a－1)·[(a＋a－1)2－3]＝3×6＝18，故B正确；在选项C中，因为a＋a－1＝3，所以＝a＋a－1＋2＝5，且a＞0，所以，故C错误；在选项D中，因为a3＋a－3＝18，且a＞0，所以2＝a3＋a－3＋2＝20，所以a＋＝2，故D正确．] 8．(多选)下列不等关系中一定成立的是(　　) 9．已知函数f(x)＝则f(x)的值域为__________． 解析：由题意可知x≥0时，y＝ex＋e－x－2≥2－2＝0，当且仅当x＝0时取得等号，x＜0时，y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1≥－1，当且仅当x＝－1时取得等号，故f(x)≥－1，即f(x)的值域为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞) 10．已知函数f(x)＝9x－m·3x＋m＋6，若方程f(－x)＋f(x)＝0有解，则实数m的取值范围是________． 解析：由题意得：9x＋9－x－m(3x＋3－x)＋2m＋12＝0有解， 令3x＋3－x＝t(t≥2)，则9x＋9－x＝t2－2， ∴t2－mt＋2m＋10＝0有解，即m(t－2) ＝t2＋10有解，显然t＝2无意义， ∴t＞2，令t－2＝y(y＞0)， ∴m＝＝y＋＋4≥2＋4，当且仅当y＝，即y＝时取等， ∴m∈[2＋4，＋∞)． 答案：[2＋4，＋∞) 11．若实数b∈[－1,2]，使得2b(a＋b)≥4恒成立，则实数a的取值范围是______________． 解析：要使2b(a＋b)≥4在实数b∈[－1,2]时恒成立等价于a≥22－b－b在实数b∈[－1,2]时恒成立，则a≥(22－b－b)max， 令f(b)＝22－b－b＝4×b－b，∵y＝b，y＝－b均为减函数， ∴f(b)＝22－b－b在b∈[－1,2]上为减函数，故当b＝－1时，(22－b－b)max＝9， 即实数a的取值范围是[9，＋∞)． 答案：[9，＋∞) 12．已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0, b∈R)在区间[2, 4]上有最小值1和最大值9，设f(x)＝. (1)求a，b的值． (2)若不等式f(3x)－k·3x≥0在x∈[－1,1]上有解，求实数k的取值范围． 解：(1)函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a＞0，b∈R)， 则对称轴x＝－＝1，故函数g(x)在[2, 4]上为增函数， 所以当x＝2时，g(x)min＝1， 当x＝4时，g(x)max＝9， ∴解之得 故a的值为1，b的值为0. (2)由(1)得g(x)＝x2－2x＋1，f(x)＝＝x＋－2， 因为不等式f(3x)－k·3x≥0在x∈[－1,1]上有解，所以3x＋－2－k·3x≥0在x∈[－1,1]上有解， 设t＝，t∈，所以t2－2t＋1≥k在上有解，即(t2－2t＋1)max≥k. 设h(t)＝t2－2t＋1，t∈，对称轴t＝1，则当t＝3时，h(t)max＝h(3)＝9－6＋1＝4， 所以实数k的取值范围是(－∞，4]． [能力提升组] 13．已知函数y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，满足f(2－x)＝f(x)，且f(x)在(－1,0)上递减，若，b＝f(－ln 2)，c＝f(log318)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c 解析：A　[由函数y＝f(x－1)关于x＝1对称，可得函数f(x)关于x＝0对称，即f(－x)＝f(x)， 又由函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，可得f(－x)＝f(2－x)，即f(x)＝f(x＋2)， 所以函数f(x)是以2为周期的周期函数， 则，b＝f(－ln 2)＝f(ln 2)，c＝f(log318)＝f(log318－2)＝f(log32)， 又由－2＜－2＝，且＝log3＜log32＜ln 2， 因为f(x)在(－1,0)上递减，可得函数f(x)在(0,1)上是递增函数， 所以f()＜f(log318)＜f(－ln 2)，即a＜c＜b.] 14．(多选)某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r(r＞0)，劳累程度T(0＜T＜1)，劳动动机b(1＜b＜5)相关，并建立了数学模型E＝10－10T·b－0.14r.已知甲、乙为该公司的员工，则下列说法正确的有(　　) A．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强 B．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱 C．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高 D．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高 解析：BCD　[设甲与乙的工人工作效率E1，E2，工作年限r1，r2，劳累程度T1，T2，劳动动机b1，b2， 对于A，r1＝r2，E1＞E2，b1＜b2,0＜＜1， 即甲比乙劳累程度弱，故A错误； 对于B，b1＝b2，E1＞E2，r1＜r2， ∴E1＞E2，即甲比乙工作效率高，故C正确； 15．已知函数f(x)＝若关于x的方程[f(x)]2＋(2a－1)f(x)＋a2－a＝0有5个不同的实数根，则a的取值范围为________． 解析：由题意得[f(x)＋a－1][f(x)＋a]＝0，即f(x)＝1－a或f(x)＝－a， f(x)的图象如图所示， 关于x的方程[f(x)]2＋(2a－1)f(x)＋a2－a＝0有5个不同的实数根， 则或 解得－1＜a≤1. 答案：(－1,1] 16．定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有－M≤f(x)≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知f(x)＝4x＋a·2x－2. (1)当a＝－2时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的值域，并判断函数f(x)在(0，＋∞)上是否为有界函数﹐请说明理由﹔ (2)若函数f(x)在(－∞，0)上是以2为上界的有界函数，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝－2时，f(x)＝4x－2×2x－2＝(2x－1)2－3, 令2x＝t，由x∈(0，＋∞)，可得t∈(1，＋∞)， 令g(t)＝(t－1)2－3，有g(t)＞－3，可得函数f(x)的值域为(－3，＋∞)， 故函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数． (2)由题意有，当x∈(－∞，0)时，－2≤4x＋a·2x－2≤2 可化为0≤4x＋a·2x≤4，必有a＋2x≥0且a≤－2x， 令2x＝k，由x∈(－∞，0)，可得k∈(0,1)， 由a＋2x≥0恒成立，可得a≥0, 令h(t)＝－t(0＜t＜1)，可知函数h(t)为减函数，有h(t)＞4－1＝3， 由a≤－2x恒成立，可得a≤3， 故若函数f(x)在(－∞，0)上是以2为上界的有界函数， 则实数a的取值范围为[0,3]． 学科网（北京）股份有限公司 $