第2章 第5讲 二次函数与幂函数（Word练习）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

**基本信息** 聚焦幂函数与二次函数性质应用，通过分级训练构建"定义-性质-综合应用"的解题方法体系，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂函数|5题|定义法求解析式、奇偶性判定、单调性比较|从幂指数定义出发，结合图象特征推导性质，形成"定义→图象→性质→应用"的逻辑链| |二次函数|10题|对称轴分析、区间最值分类、根分布条件转化|以开口方向和对称轴为核心，构建"解析式→图象特征→单调性→最值/零点"的问题解决路径|

[对应学生用书P317] 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，解答题共30分，本试卷共97分． A级　基础过关 1．已知幂函数f(x)的图象经过点(8，4)，则函数f(x)的图象大致为(　　) 解析　设幂函数f(x)＝xα，则8α＝4，即23α＝22，解得α＝，即f(x)＝x，f(x)的定义域是R，f(－x)＝(－x)＝[(－x)2]＝(x2)＝x＝f(x)，函数为偶函数，由0＜＜1，则f(x)在[0，＋∞)上递增且越来越慢，故选A. 答案　A 2．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a＞0，f(0)＜0，a＋b＋c＝0，则(　　) A．∀x∈(0，1)，都有f(x)＞0 B．∀x∈(0，1)，都有f(x)＜0 C．∃x∈(0，1)，使得f(x)＝0 D．∃x∈(0，1)，使得f(x)＞0 解析　由a＞0，f(0)＜0，a＋b＋c＝0可知a＞0，c＜0，抛物线开口向上．因为f(0)＝c＜0，f(1)＝a＋b＋c＝0，即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，所以∀x∈(0，1)，都有f(x)＜0，B正确，A，C，D错误，故选B. 答案　B 3．已知幂函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，设a＝f(m)，b＝f(n)，c＝f(ln 2)，则(　　) A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜b＜c 解析　因为f(x)＝mxn为幂函数，故m＝1.因为函数f(x)＝mxn的图象过点(，2)，所以()n＝2，解得n＝3.故函数f(x)＝x3，且函数为增函数．因为n＞m＞ln 2，故c＜a＜b. 答案　B 4．已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．[0，3] C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．[3，＋∞) 解析　二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1，∵对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[－1，2]上是单调函数，∴a－1≤－1或a－1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞). 答案　C 5．(2026·上海交大附中模拟)设y＝f(x)与y＝g(x)是两个不同的幂函数，记M＝{x|f(x)＝g(x)}，则M中的元素个数可能是(　　) A．0，1，2 B．1，2，3 C．1，2，3，4 D．0，1，2，3 解析　设f(x)＝xa，g(x)＝xb，a≠b. ①由幂函数图象恒过点(1，1)可知，f(x)＝g(x)至少存在一个实数解x＝1； ②若f(x)，g(x)在0处都有意义，则f(0)＝g(0)＝0，此时M＝{0，1}； ③若f(x)，g(x)同为奇函数或者同为偶函数，由对称性可知，f(－1)＝g(－1)＝－1或f(－1)＝g(－1)＝1，此时M＝{0，1，－1}或M＝{1，－1}； ④因为f(x)与g(x)的图象在第一象限只有一个交点，所以f(x)与g(x)的图象在其他象限最多有一个交点，因此M中的元素个数不可能超过3. 综上所述，M中的元素个数可能是1，2，3，故选B. 答案　B 6．(多选)已知二次函数y＝(m－2)x2＋2mx＋m－3的图象与x轴有两个交点(x1，0)，(x2，0)，则下面说法正确的是(　　) A．该二次函数的图象一定过定点(－1，－5) B．若该函数图象开口向下，则m的取值范围为 C．当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为4m－5 D．当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1，x2满足－3＜x1＜－2，－1＜x2＜0时，m的取值范围为 解析　由y＝(m－2)x2＋2mx＋m－3可得y＝m(x＋1)2－2x2－3，当x＝－1时，y＝－5，故二次函数的图象一定过定点(－1，－5)，A正确；若该函数图象开口向下，且与x轴有两个不同交点，则解得＜m＜2，故B正确；当m＞2时，函数图象开口向上，对称轴为x＝－＜0，故函数在1≤x≤2时单调递增，当x＝2时，y＝9m－11，故y的最大值为9m－11，C错误；当m＞2时，函数图象开口向上，又－3＜x1＜－2，－1＜x2＜0时，则x＝－3时，y＝4m－21＞0，且x＝－2时，y＝m－11＜0，且x＝－1时，y＝－5＜0，且x＝0时，y＝m－3＞0，解得＜m＜11，则m的取值范围为，D正确，故选ABD. 答案　ABD 7．已知f(x)＝为奇函数，则g(x)＝x2＋ax＋b的单调递增区间为____________． 解析　易知函数f(x)的定义域为(－1，1).因为f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，所以a－1＝0，即a＝1.经检验，a＝1符合题意，所以g(x)＝x2＋x＋b，该二次函数图象的开口向上，对称轴为直线x＝－，所以g(x)的单调递增区间是. 答案　 8．已知函数f(x)＝3x2－12x＋5在区间[0，n]上的最大值为5，最小值为－7，则n的取值范围是____________． 解析　因为函数f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，且函数 f(x)的最小值为f(2)＝－7.令f(x)＝5，解得x＝0或4，因为f(x)在区间[0，n]上的最大值为5，最小值为－7，所以n的取值范围是2≤n≤4. 答案　[2，4] 9．(13分)已知幂函数f(x)＝x(m∈N＋)，且该函数的图象经过点(2，). (1)确定m的值； (2)求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围． 解析　(1)因为该函数的图象过点(2，)， 所以2＝＝2， 所以m2＋m＝2，所以m＝1或m＝－2， 又m∈N＋，故m＝1. (2)由(1)知f(x)＝x，故f(x)为[0，＋∞)上的增函数，又由f(2－a)＞f(a－1)， 得解得1≤a＜. 所以满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围为. B级　能力提升 10．已知函数f(x)＝x2－2tx＋1在区间(－∞，1]上单调递减，且当x∈[0，t＋1]时，有f(x)max－f(x)min≤2，则实数t的取值范围是(　　) A．[－，] B．[1，] C．[2，3] D．[1，2] 解析　由题意得，函数f(x)＝x2－2tx＋1的图象的对称轴为直线x＝t，∵f(x)在区间(－∞，1]上单调递减，∴t≥1，∴当x∈[0，t＋1]时，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，∴1－(－t2＋1)≤2，解得－≤t≤，又t≥1，∴1≤t≤，即实数t的取值范围是[1，]，故选B. 答案　B 11．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝x|x－a|－2a2，若当x＞2时，f(x)＞0，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．[－2，1] C．[－1，2] D．[－1，＋∞) 解析　当a＞2，x＞2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝ 当2＜x＜a时，f(x)＝－x2＋ax－2a2，此时Δ＝a2－4×2a2＝－7a2＜0，所以f(x)＜0，不满足当x＞2时，f(x)＞0，故a＞2不符合题意；当0＜a≤2，x＞2时，由f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)＞0，解得x＞2a，由于x＞2时，f(x)＞0，故2a≤2，解得0＜a≤1；当a＝0，x＞2时，f(x)＝x2＞0恒成立，符合题意；当a＜0，x＞2时，由f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)＞0， 解得x＞－a，由于x＞2时，f(x)＞0，故－a≤2，解得－2≤a＜0.综上－2≤a≤1， 故选B. 答案　B 12．(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋a有两个不同的零点x1，x2，以下结论正确的是(　　) A．a＜1 B．若x1x2≠0，则＋＝ C．f(－1)＝f(3) D．函数y＝f(|x|)有四个零点 解析　二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a＝4－4a＞0，a＜1，故A正确；由根与系数的关系得，x1＋x2＝2，x1x2＝a，＋＝＝，故B正确；因为f(x)的对称轴为x＝1，点(－1，f(－1))，(3，f(3))关于对称轴对称，故C正确；当a＝0时，y＝f(|x|)＝|x|2－2|x|＝|x|(|x|－2)＝0有三个零点，故D不正确． 答案　ABC 13．(17分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋4x，函数f(x)在y轴左侧的图象如图所示． (1)画出f(x)在y轴右侧的图象，并写出函数f(x)(x∈R)的单调区间； (2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式； (3)若函数g(x)＝f(x)＋(3－a)x＋4(x∈[2，4])，求函数g(x)的最小值． 解析　(1)函数f(x)是定义在R上的奇函数，即函数f(x)的图象关于原点对称， 则函数f(x)图象如图所示． 故函数的单调递减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递增区间为(－2，2). (2)根据题意，令x＞0，则－x＜0， 则f(－x)＝x2－4x， 又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数， 所以－f(x)＝f(－x)＝x2－4x， 即f(x)＝－x2＋4x， 所以f(x)＝ (3)当x∈[2，4]时，f(x)＝－x2＋4x， 则g(x)＝－x2＋4x＋(3－a)x＋4＝－x2＋(7－a)x＋4， 其对称轴为x＝， 当＜3，即a＞1时，g(x)min＝g(4)＝16－4a， 当≥3，即a≤1时，g(x)min＝g(2)＝14－2a， 故g(x)min＝ C级　拓广探索 14．已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m(0＜m＜1)与y＝xa，y＝xb的图象分别交于A，B，C，D四点，且|AB|＝|CD|，则ma＋mb等于(　　) A． B．1 C． D．2 解析　由题意，|AB|＝|(m2)a－(m2)b|，|CD|＝|ma－mb|，根据图象可知b＞1＞a＞0，当0＜m＜1时，(m2)a＞(m2)b，ma＞mb，因为|AB|＝|CD|，所以m2a－m2b＝(ma＋mb)(ma－mb)＝ma－mb，因为ma－mb＞0，所以ma＋mb＝1. 答案　B 15．若f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则实数a的取值范围为____________． 解析　因为f(x)在(－∞，2]上是减函数，所以a≥2.所以f(x)在[1，a]上单调递减，在[a，a＋1]上单调递增，又函数f(x)的对称轴为直线x＝a， 所以f(x)min＝f(a)＝5－a2， f(x)max＝max{f(1)，f(a＋1)}， 又f(1)－f(a＋1)＝6－2a－(6－a2)＝a(a－2)≥0， 所以f(x)max＝f(1)＝6－2a. 因为对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4， 所以f(x)max－f(x)min≤4， 即6－2a－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3. 又a≥2，所以2≤a≤3. 即实数a的取值范围为[2，3]. 答案　 [2，3] 学科网（北京）股份有限公司 $