主题1 第1章 第4节 一元二次函数与一元二次不等式（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（北师大版）

**基本信息** 聚焦一元二次函数与不等式的综合应用，通过基础到提升的层级设计，覆盖集合运算、参数讨论、函数性质等题型，强化逻辑推理与转化思想。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础训练组|12题|集合与不等式结合、含绝对值不等式、参数不等式有解/恒成立|从一元二次不等式解法（概念）到韦达定理应用（原理），结合函数单调性（性质）构建问题链| |能力提升组|4题|二次函数综合、不等式与函数奇偶性/单调性综合、含参不等式分类讨论|深化参数分类讨论（思维），关联函数图象与不等式解集（数形结合），体现数学应用意识|

课时冲关5　一元二次函数与一元二次不等式 [基础训练组] 1．已知集合M＝，N＝{x|y＝log3(－6x2＋11x－4)}，则M∩N＝(　　) A.　　　　　 B. C. D. 解析：C　[易得集合M＝＝{x|1＜x≤3}，集合N＝{x|y＝log3(－6x2＋11x－4)}＝{x|－6x2＋11x－4＞0}＝， 所以M∩N＝.] 2．不等式|x2－3x|＜2－2x的解集是(　　) A. B. C. D. 解析：C　[当x2－3x≥0，即x≥3或x≤0时， 不等式|x2－3x|＜2－2x等价于x2－3x＜2－2x，即x2－x－2＜0， 解得－1＜x＜2，所以－1＜x≤0； 当x2－3x＜0，即0＜x＜3时，不等式|x2－3x|＜2－2x等价于不等式3x－x2＜2－2x， 即x2－5x＋2＞0，解得x＞或x＜，所以0＜x＜. 综上，不等式|x2－3x|＜2－2x的解集是.] 3．若不等式x2－2x－m＜0在x∈上有解，则实数m的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C. D．(0，＋∞) 解析：B　[因为不等式x2－2x－m＜0在x∈上有解，所以不等式m＞x2－2x在x∈上有解， 令t＝x2－2x＝(x－1)2－1，则tmin＝－1，所以m＞－1，所以实数m的取值范围是(－1，＋∞)．] 4．关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是(　　) A．(4,5) B．(－3，－2)∪(4,5) C．(4,5] D．[－3，－2)∪(4,5] 解析：D　[∵关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0， ∴不等式化为(x－1)(x－a)＜0， 当a＞1时，得1＜x＜a，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a≤5， 当a＜1时，得a＜x＜1，此时解集中的整数为－2，－1,0，则－3≤a＜－2， 故a的取值范围是[－3，－2)∪(4,5]．] 5．已知关于x的不等式ax2＋2bx＋4＜0的解集为，其中m＜0，则＋的最小值为(　　) A．－2　 B．1 C．2　　 D．8 解析：C　[ax2＋2bx＋4＜0的解集为，则ax2＋2bx＋4＝0的两根为m，， ∴m·＝，∴a＝1，m＋＝－2b， 则2b＝－m＋≥4，即b≥2， ＋＝＋≥2，当且仅当b＝4时取“＝”．] 6．若关于x的不等式＞0的解集是(－1, 2)，则a·b＝(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 解析：B　[∵sin x－2＜0恒成立，故x2＋ax＋b＜0的解集为(－1, 2)，即方程x2＋ax＋b＝0的两根为－1和2，由韦达定理可知－1＋2＝－a，－1×2＝b，所以a＝－1，b＝－2，故a·b＝2.] 7．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－y)＝f(x)－f(y)，且当x＜0时，f(x)＞0，则关于x的不等式f(mx2)＋f(2m)＞f(m2x)＋f(2x)(其中0＜m＜)的解集为(　　) A. B. C. D. 解析：A　[任取x1＜x2，由已知得f(x1－x2)＞0，即f(x1)－f(x2)＞0，所以函数f(x)单调递减．由f(mx2)＋f(2m)＞f(m2x)＋f(2x)，可得f(mx2)－f(2x)＞f(m2x)－f(2m)， 即f(mx2－2x)＞f(m2x－2m)，所以mx2－2x＜m2x－2m，即mx2－(m2＋2)x＋2m＜0， 即(mx－2)(x－m)＜0， 又因为0＜m＜，所以＞m，此时原不等式的解集为.] 8．(多选)设区间[m，n]的长度为n－m.已知一元二次不等式(x＋a)≤0(a＞0)的解集的区间长度为l，则(　　) A．当a＝1时，l＝6 B．l的最小值为4 C．当a＝1时，l＝5 D．l的最小值为2 解析：AD　[因为一元二次不等式(x＋a)·≤0(a＞0)的解集为， 所以l＝－(－a)＝a＋， 当a＝1时，l＝6，故A正确，C错误；因为a＞0，所以l＝a＋≥2＝2(当且仅当a＝，即a＝时，等号成立)，所以l的最小值为2，故D正确，B错误．] 9．(多选)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则(　　) A．a2－b2≤4 B．a2＋≥4 C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0 D．若不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4 解析：ABD　[因为f(x)＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，故可得Δ＝a2－4b＝0，即a2＝4b>0. 对于A，a2－b2≤4等价于b2－4b＋4≥0，显然(b－2)2≥0，故A正确；对于B，a2＋＝4b＋≥2＝4，当且仅当4b＝>0，即b＝时，等号成立，故B正确；对于C，因为不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，故x1x2＝－b<0，故C错误；对于D，因为不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则方程x2＋ax＋b－c＝0的两根为x1，x2，故可得＝＝＝2＝4，故可得c＝4.故D正确．] 10．若关于x的不等式－x2＋(a＋2)x－2a＞0恰有1个正整数解，则a的取值范围是______________． 解析：不等式－x2＋(a＋2)x－2a＞0等价于x2－(a＋2)x＋2a＜0.令x2－(a＋2)x＋2a＝0，解得x＝2或x＝a. 当a＞2时，不等式x2－(a＋2)x＋2a＜0的解集为(2，a)，要想恰有1个正整数解，则3＜a≤4； 当a＝2时，不等式x2－(a＋2)x＋2a＜0无解，所以a＝2不符合题意； 当a＜2时，不等式x2－(a＋2)x＋2a＜0的解集为(a,2)，则a＜1. 综上，a的取值范围是(－∞，1)∪(3,4]． 答案：(－∞，1)∪(3,4] 11．(2025·天津卷)若a，b∈R，∀x∈[－2,2]，均有(2a＋b)x2＋bx－a－1≤0恒成立，则2a＋b的最小值为________． 解析：取x＝－，得(2a＋b)－(2a＋b)－1≤0，即2a＋b≥－4. 另一方面，取2a＋b＝－4，－＝－，此时b＝－4，a＝0， (2a＋b)x2＋bx－a－1≤0即－4x2－4x－1≤0，亦即(2x＋1)2≥0，显然恒成立，符合题意．故2a＋b的最小值为－4. 答案：－4 12．设函数f(x)＝－ax，其中a＞0.解不等式f(x)≤1. 解：因为f(x)＝－ax(a＞0)， 不等式f(x)≤1等价于≤1＋ax， 又因为≥1，所以1≤1＋ax，即ax≥0，其中a＞0，所以x≥0， 所以原不等式等价于 即 所以当0＜a＜1时，不等式组 的解集为； 当a≥1时，不等式组的解集为[0，＋∞)． 综上，当0＜a＜1时，不等式f(x)≤1的解集为； 当a≥1时，不等式f(x)≤1的解集为[0，＋∞)． [能力提升组] 13．已知二次函数f(x)＝mx2－4mx＋12m－3(m＜0)，若对任意x1≠x2，则(　　) A．当x1＋x2＝4时，f(x1)＝f(x2)恒成立 B．当x1＋x2＞4时，f(x1)＜f(x2)恒成立 C．∃x0使得f(x0)≥0成立 D．对任意x1，x2，均有f(xi)≤8m－3(i＝1,2)恒成立 解析：AD　[依题意，二次函数f(x)＝mx2－4mx＋12m－3(m＜0)的对称轴为x＝－＝2. 因为m＜0，所以其函数图象为开口向下的抛物线， 对于A选项，当x1＋x2＝4时，x1，x2关于直线x＝2对称， 所以f(x1)＝f(x2)恒成立，所以A选项正确；对于B选项，当x1＋x2＞4，若x1＞x2，则不等式可化为x1－2＞2－x2， 所以f(x1)＜f(x2)； 若x1＜x2，则不等式可化为x2－2＞2－x1，所以f(x2)＜f(x1)，所以B选项错误； 对于C选项，因为m＜0，所以Δ＝(－4m)2－4m(12m－3)＝－32m2＋12m＜0，所以二次函数f(x)＝mx2－4mx＋12m－3(m＜0)的图象开口向下，且二次函数与x轴无交点，所以不存在x0使得f(x0)≥0成立，所以C选项错误； 对于D选项，f(x)max＝f(2)＝4m－8m＋12m－3＝8m－3， 所以对任意x1，x2，均有f(xi)≤8m－3(i＝1,2)恒成立，所以D选项正确．] 14．设奇函数f(x)在[－1,1]上是单调函数，且f(－1)＝－1.若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1,1]都成立，则当a∈[－1,1]时，t的取值范围是__________． 解析：∵f(x)为奇函数，f(－1)＝－1， ∴f(1)＝－f(－1)＝1. 又∵f(x)在[－1,1]上是单调函数， ∴－1≤f(x)≤1， ∴当a∈[－1,1]时，t2－2at＋1≥1恒成立， 即t2－2at≥0恒成立． 令g(a)＝t2－2at，a∈[－1,1]， ∴解得t≥2或t＝0或t≤－2. 答案：(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞) 15．已知函数f(x)＝则不等式f(x＋2)＜f(x2＋2x)的解集是________． 解析：函数f(x)＝可得x≥0，f(x)递增； 当x＜0时，f(x)递增；且x＝0时函数连续，所以f(x)在R上递增， 不等式f(x＋2)＜f(x2＋2x)， 可化为x＋2＜x2＋2x，即x2＋x－2＞0，解得x＞1或x＜－2， 则原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞) 16．已知关于x的不等式(kx－k2－4)(x－4)＞0，其中k∈R. (1)当k变化时，试求不等式的解集A； (2)对于不等式的解集A，若满足A∩Z＝B(其中Z为整数集)．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由． 解：(1)当k＝0时，A＝{x|x<4}；当k>0且k≠2时，A＝； 当k＝2时，A＝{x|x≠4}；当k<0时，A＝. (2)由(1)知，当k≥0时，集合B中的元素的个数有无限个；当k<0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集． 因为k＋＝－≤－4，当且仅当k＝－2时取等号， 所以当k＝－2时，集合B中的元素个数最少， 此时A＝{x|－4<x<4}，故集合B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}． 学科网（北京）股份有限公司 $